深入研究習題 提高復習效率

每年都有一些學生備考認真、付出很多努力，但高考成績卻不盡如人意，到底是什么原因造成的呢？這個問題也曾困擾了筆者好幾年.經過認真分析，筆者發現造成這種現象的原因在于高考的命題以能力立意、不刻意追求知識覆蓋面、重點知識重點考查，高考試題一般都有一定的新意，都是原創題，對學生的能力要求較高.而目前高三復習比較普遍的情況是教師面面俱到，一味地灌輸，例題接著習題，師生都陷入題海難以自拔，結果卻是學生題目做了不少，但由于獨立思考少，解題能力沒有得到提高，只能做熟悉的題目，而當問題背景發生一點變化就會手忙腳亂．所以復習時提高學生的解題能力才是關鍵、出路、對策.近年來筆者在所教班級開展“深入研究習題提高復習效率”的課題研究，取得了較好的教學效果.本文就這一課題結合幾個課堂教學實例談談筆者在高三數學復習教學中的粗淺體會.

一、解決習題

在習題課或試卷講評課的教學過程中，教師可以有意識地精選那些可用多種思路來完成的典型題，學生通過從多個角度嘗試、探索、廣泛聯想，尋求從不同的思路找到解決問題的方法，可以使學生對基礎知識與基本方法能做到融會貫通，同時學生還可以通過對各種解法的比較，增強求簡意識，優化解題過程，提高解題能力.

【例1】 等腰三角形ABC的腰AC上的中線BD=3，求三角形面積的最大值.

看到題目，很多學生都一籌莫展，甚至有人就猜測當三角形為等邊三角形時面積最大，但自己也沒把握.在教師的啟發下，學生積極思維，先后出現了許多解法，現列舉二種優秀的解法．

解法一：考慮用基本不等式求最大值.取BC邊上的中點E，連結AE交BD于G點，由題意知點G是△ABC的重心，則BG=23BD=2.又GE2+BE2=4≥2BE?GE，而S=12?BC?AE=3BE?GE≤3?2=6.

解法二：考慮BD是△ABC的中線，要使△ABC的面積最大，即求△ABD面積的最大值，而△ABD中BD=3，AB=2AD，由阿波羅尼斯圓可知：點A的軌跡是一個定圓，當點A到BD邊的距離取該定圓的半徑時，△ABD的面積取最大值，從而△ABC的面積也最大.以BD的中點O為坐標原點，BD所在直線為x軸建立如圖2所示的直角坐標系.設A（x，y），由AB=2AD得點A的軌跡方程為：(x-52)2+y2=4，由S=2?12BD?h≤3?2=6.

二、變化習題

開展變式教學，有意識地引導學生從“變”的現象中發現“不變”的本質，從“不變”的本質中探索“變”的規律，使學生深刻理解、掌握所學知識的概念、定義、方法的本質.

【例2】 若C、D為橢圓x2a2+y2b2=1

（a＞b＞0）上的動點，O為坐標原點，且滿足OC⊥OD，求O到直線CD的距離.

解：設C(x1，y1)，D(x2，y2)，直線CD的方程為y=kx+m，

與橢圓方程x2a2+y2b2=1聯立消去y得(b2+a2k2)x2+2a2mkx+a2m2-a2b2=0，

∴x1+x2=-2kma2b2+a2k2，x1x2=m2a2-a2b2b2+a2k2.

又OC⊥OD，∴x1x2+y1y2=0，即(k2+1)x1x2+km(x1+x2)+m2=0，

∴(k2+1)m2a2-a2b2b2+a2k2-2k2m2a2b2+a2k2+m2=0

，

整理得m2(a2+b2)=a2b2(k2+1).

點O到直線CD的距離d=|m|k2+1=aba2+b2.

若條件不變，還可以得到以下的變式：

變式1：求△COD面積的最大值；

變式2：求OC2+OD2的最小值；

變式3：求1OC+1OD的最大值；

變式4：求證：1OC2+1OD2為定值；

變式5：若C、D關于原點的對稱點為E、F，求證：四邊形CDEF為菱形；

變式6：過原點O作CD的垂線，垂足為H，求點H的軌跡.

……

三、拓展習題

從發散的角度進行延伸拓展某些數學問題，可使學生對該類問題有更深層次的認識，從而增強學生的探究能力.

【例3】 （蘇教版課本習題）在△ABC中，B（－6，0），C(6，0)，直線AB、AC的斜率乘積為94，求頂點A的軌跡.

解：設A（x，y），由題意yx+6?yx-6=94

，化簡得x236-y281=1（x≠±6），

∴頂點A的軌跡為雙曲線（除去B、C兩點）.

【例4】 （人教版選修1-1第二章第39頁例3）設點A，B的坐標分別為（-5，0），（5，0），直線AM，BM相交于點M，且它們的斜率之積為-94，求點M的軌跡方程.

【例5】 （人教版選修1-1第二章第52頁探究）設點A，B的坐標分別為（-5，0），（5，0），直線AM，BM相交于點M，且它們的斜率之積為94，求點M的軌跡方程.并由點M的軌跡方程判斷軌跡的形狀.

提問：比較上述三個問題，你有什么發現？

教材例習題其實揭示了一個數學本質屬性，即

平面上到兩定點連線斜率之積為定值的點的集合：

當定值大于0時，為雙曲線；

當定值小于0且不等于-1時，為橢圓；

當定值等于-1時，為圓.

注：以上各集合均不包含兩定點.

類似上述的例題在高三復習中經常遇到，如果教師能做個有心人，對這些習題進行適度地挖掘，既可以減少學生的負擔，使學生跳出題海，還可以培養學生的解題能力，使學生能夠舉一反三、融會貫通，從而更好地挖掘學生的潛能，提高學生的綜合素質，真可謂事半功倍.

(責任編輯 金 鈴）