例談高中數學知識的強化

高中數學知識中，有許多知識不像“分類討論法”和“換元法”等數學方法那么重要，也不像“定義、定理、公式和運算法則”那么重要，但是，這些知識在解決某些特定類型的問題中能起到事半功倍的作用.因此在新課教學或在高考第一輪復習中，有必要對這些數學知識進行強化，以便提高解題效率.以下舉例加以說明.

強化1：在△ABC中，若sinA≥sinB，則A≥B.

【例1】 在△ABC中，已知cosA=513 ，sinB=35 ，求cosC的值.

解：在△ABC中，∵cosA=513＞0，∴0

∵sinB=35，∴sinA＞sinB，∴π2＞A＞B＞0，

∴cosB=45 (避免得出結論cosB=±45

，從而導致錯誤結果cosC=1665或5665），∴cosC=-cos(A+B)=sinAsinB-cosAcosB=1665 .

強化2：若雙曲線的離心率e=2，則雙曲線是等軸雙曲線，并且兩條漸近線互相垂直.

【例2】 如果雙曲線x2a2 -y2b2 =1的離心率為2，焦點與橢圓x225+y29=1的焦點相同，那么雙曲線的焦點坐標為 ，漸近線方程為 .

解：∵雙曲線離心率為2，∴雙曲線是等軸雙曲線，a=b，

∴雙曲線漸近線方程為y=±x.

∵c=25-9=4，∴雙曲線焦點坐標為（±4，0）.

強化3：已知向量OA，OB不共線，M是線段AB的中點，

則OA+OB=2OM或且OM=12OA +12OB.

【例3】 已知O、A、B是平面上三點，直線AB上有一點C，滿足2AC+CB=0，則OC=（ ）.

A.2OA -OB

B.–OA+2OB 

C.23 OA -13 OB

D.-13 OA +23 OB

解：∵2AC+CB=0 ，∴點A是BC的中點，

∴OB+OC=2OA ，即OC=2OA-OB，

選A.

強化4：若直線y=kx+b與曲線x2m +y2n ＝1交于兩點A(x1，y1)， B(x2，y2)，則k=-nm ?x1+x2y1+y2.

【例4】 以橢圓x216 ＋y24 ＝1內的點M(1，1)為中點的弦所在的直線方程是( ).

A．4x－y－3＝0 B．x－4y＋3＝0

C．4x＋y－5＝0 D．x＋4y－5＝0

解：依公式得直線斜率k＝－416 ＝－14 ，

∴直線方程為y－1＝－14(x－1)，即x＋4y－5＝0，

選D.

強化5：如圖，平面α、β交于直線l，若PA⊥α，A∈α， PB⊥β，B∈β，平面APB交l于點O.則BOA就是二面角α-l-β的平面角，并且∠BOA與∠BPA互補.

【例5】 已知α、β是兩個不同的平面，m、n是平面α及β之外的兩條不同直線．給出以下四個論斷：①m⊥n；②α⊥β；③n⊥β；④m⊥α.以上四個論斷中的三個作為條件，余下一個論斷作為結論，寫出你認為正確的一個命題 ．

解析：以②③④為條件，據題意可將直線m、n平移至空間一點P處，設經過直線m、n的平面與α、β的交線交于一點C，則∠DCE為二面角的平面角，而α、β互相垂直，故∠DCE＝90°，故∠DPE為直角，即兩直線m與n垂直．即α⊥β，n⊥β，m⊥α

m⊥n.

或由m⊥n，n⊥β，m⊥αα⊥β.

答案：②③④①(或①③④②).

總之，對高中數學知識的重點、難點和解題常用的知識、方法和技能給予必要的強化，對提高學生的解題效率起著重要作用.

(責任編輯 金 鈴）