淺議課堂教學(xué)中的有效點(diǎn)撥

很多學(xué)生課堂上目不轉(zhuǎn)睛地聽著課，記著詳細(xì)的筆記，但是解題能力提高緩慢，究其原因是數(shù)學(xué)課堂中的形式參與多于思維參與，只是被動的聽和記.加羅弗羅指出：“如果我們希望學(xué)生成為數(shù)學(xué)的主動學(xué)習(xí)者，而不是對數(shù)學(xué)事實和步驟的了解者，那么我們必須設(shè)計好教學(xué)，使之有助于發(fā)展學(xué)生的元認(rèn)知.”所以在數(shù)學(xué)課堂中我嘗試采用適時有效點(diǎn)撥去改變學(xué)生聽課的現(xiàn)狀.

一、審題過程中的有效點(diǎn)撥能幫助學(xué)生養(yǎng)成良好的審題習(xí)慣

高考中認(rèn)真審題是解題成功的一半，但不少文科學(xué)生將認(rèn)真審題狹隘地理解為認(rèn)真讀題，所以在他們的審題過程中通過有效點(diǎn)撥能幫助他們提高理解題意、分析問題的能力.

【例1】 已知定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(1)=2，f′(x)＜1，則不等式f(x2)＜x2+1的解集為 .

點(diǎn)撥1（針對結(jié)論）：如何解不等式f(x2)＜x2+1，如果要將不等式具體化，需要知道函數(shù)的表達(dá)式，本題沒有這方面的條件，怎么辦？學(xué)生提出利用單調(diào)性.

點(diǎn)撥2（針對條件）：單調(diào)性應(yīng)該是比較f′(x)與0的大小，條件中的“f′(x)＜1”如何處理？學(xué)生提出f′(x)-1＜0，即(f(x)-x)′＜0.

點(diǎn)撥3（針對聯(lián)系）：由條件得到函數(shù)f(x)-x是減函數(shù)，不等式f(x2)＜x2+1如何變形才能用這個結(jié)論？學(xué)生提出將不等式變形為f(x2)-x2＜1，而1=f(1)-1.

這樣的審題點(diǎn)撥持續(xù)一段時間后，學(xué)生良好的審題習(xí)慣逐漸形成，他們開始相互點(diǎn)撥、發(fā)問，最后變成自己獨(dú)立自問自答，學(xué)生的分析問題的能力在這個過程中得到提升.

二、解題過程中適時點(diǎn)撥讓學(xué)生的課堂參與最大化

當(dāng)學(xué)生在課堂解題中碰到障礙時適時的點(diǎn)撥，會讓學(xué)生的解題得以進(jìn)行下去的同時開闊他們的解題思路，提高解題能力.在高三第一輪復(fù)習(xí)后學(xué)生提出解析幾何中的定點(diǎn)問題時常找不到解題思路，在他們的要求下我安排了一節(jié)解析幾何中的定點(diǎn)問題的專題講解，在一組小題中收獲解題的基本方法后，就一道試題與他們展開了討論.

【例2】 已知橢圓x24+y2=1 ，過點(diǎn)A(0，1)作兩條互相垂直的直線分別交橢圓于點(diǎn)M、N.

求證：直線MN恒過定點(diǎn)P(0，-35) .

證明：直線AM的斜率必存在且不為0，設(shè)直線AM的方程為y=kx+1，則直線AN的方程為y=-1kx+1.

由y=kx+1，x24 +y2=1

解得M(-8k4k2+1，-4k2+14k2+1).

點(diǎn)撥1：當(dāng)學(xué)生開始求第二個交點(diǎn)時教者進(jìn)行適當(dāng)?shù)狞c(diǎn)撥.求第二個交點(diǎn)有沒有捷徑？注意觀察兩個方程組的異同點(diǎn).學(xué)生恍然：可以將第一個交點(diǎn)中的k用-1k 替換，

解得N(8kk2+4，k2-4k2+4).

直線MN的方程為：y-k2-4k2+4 =k2-15k2 (x-8kk2+4 ).

點(diǎn)撥2：當(dāng)學(xué)生對方程進(jìn)行化簡時適當(dāng)點(diǎn)撥.將方程y-k2-4k2+4 =k2-15k2 (x-8kk2+4 )

整理成g(x，y)+φ(k)?h(x，y)=0的形式很困難.該題不是探求定點(diǎn)，而是證明直線MN恒過定點(diǎn)P(0，-35) ，我們的方法能否優(yōu)化？學(xué)生提出令方程中的x=0，算出y=-35 ，也就證明點(diǎn)P(0，-35 )在直線上.

∴令x=0，得y=-35 .

∴直線MN恒過定點(diǎn)P(0，-35).

點(diǎn)撥3:當(dāng)學(xué)生已完成解答時進(jìn)行點(diǎn)撥.既然定點(diǎn)已經(jīng)知道，能否不求直線方程說明點(diǎn)P(0，-35)在點(diǎn)M(-8k4k2+1，，-4k2+14k2+1)和點(diǎn)N(8kk2+4，k2-4k2+4)所確定的直線上，學(xué)生提出直接通過斜率相等證三點(diǎn)共線.

kMP=-4k2+14k2+1 +35

-8k4k2+1 =

k2-15k ，

kNP=k2-4k2+4+35

8kk2+4 =

k2-15k ，

∵kMP=kNP，

∴M、N、P三點(diǎn)共線.

∴直線MN恒過定點(diǎn)P(0，-35 ).

這道題如果沒有老師的點(diǎn)撥，不少學(xué)生會由于計算量大或者方法不合適難以進(jìn)行下去，課堂上將會出現(xiàn)“忙”和“閑”兩道風(fēng)景，而當(dāng)學(xué)生解題進(jìn)行時，適時給一個提示，學(xué)生就會豁然開朗，印象深刻.

三、解題后的變式點(diǎn)撥讓學(xué)生的思維更開闊

例題講完后給學(xué)生留幾分鐘時間，他們將解題過程在腦子里過一遍，思路會更清晰.為了開闊他們的思維，我在例2的基礎(chǔ)上安排了兩個變式訓(xùn)練.

【變式1】已知橢圓x24+y2=1 ，過點(diǎn)A(0，1)作兩條互相垂直的直線分別交橢圓于點(diǎn)M、N，求證：直線MN恒過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)坐標(biāo).

點(diǎn)撥：這個定點(diǎn)需要我們探索，而方程整理成g(x，y)+φ(k)?h(x，y)=0的形式依舊困難，怎么辦？無論k取何值，直線都過該點(diǎn).點(diǎn)撥到這里已經(jīng)有學(xué)生躍躍欲試：k取兩個特殊值分別得到兩條直線，他們的交點(diǎn)就是定點(diǎn).追問：特殊可不能代替一般.學(xué)生隨即說出再用三點(diǎn)共線證明.

【變式2】已知橢圓x24+y2=1，過點(diǎn)A(0，1)作兩條互相垂直的直線分別交橢圓于點(diǎn)M、N，過A(0，1)作斜率分別為k1，k2的兩直線，分別交橢圓于M、N兩點(diǎn)，k1?k2=-14 ，判斷直線MN是否過定點(diǎn).

點(diǎn)撥：當(dāng)學(xué)生解出兩定點(diǎn)坐標(biāo)M(-8k4k2+1 ，-4k2+14k2+1) ，N(8k4k2+1，4k2-14k2+1)后，引導(dǎo)學(xué)生觀察兩個點(diǎn)的位置特征——關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對稱，所以恒過定點(diǎn).

變式1是例題的一般化，而變式2是例題的特殊化，這兩個變式的設(shè)置讓學(xué)生的思維更開闊.

教學(xué)過程應(yīng)該是不斷產(chǎn)生矛盾、不斷解決矛盾的學(xué)生的認(rèn)識過程，從這個角度看教師在課堂中的作用是引出矛盾并協(xié)助學(xué)生解決矛盾，而教師適時適度的點(diǎn)撥能開啟學(xué)生的思維，使學(xué)生積極參與到矛盾的解決中，不少學(xué)生會根據(jù)老師的點(diǎn)撥逐漸充實并完善自己的思維體系.

參考文獻(xiàn)

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(責(zé)任編輯 金 鈴）