RMI原理在中學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用

化歸法是一種重要的數(shù)學(xué)研究和解題的方法.化歸就是轉(zhuǎn)移，是把需要解決的比較困難的數(shù)學(xué)問(wèn)題轉(zhuǎn)化歸結(jié)為一個(gè)或幾個(gè)比較容易解決的新問(wèn)題或者已經(jīng)解決的問(wèn)題，從而達(dá)到求解原問(wèn)題的目的.用思維結(jié)構(gòu)框如圖所示：

化歸法的目的是化繁為簡(jiǎn)，化難為易，化未知為已知.化歸法的途徑和手段不固定，沒(méi)有固有的模式，需要具體問(wèn)題具體分析，但在中學(xué)數(shù)學(xué)中，化歸法經(jīng)常是通過(guò)恒等變形或者關(guān)系映射反演等原理得以實(shí)現(xiàn).

關(guān)系映射反演原理即：關(guān)系(Relation)、映射(Mapping)、反演(Inversion)原理，簡(jiǎn)稱(chēng)RMI原理.RMI原理的提出有著堅(jiān)實(shí)的哲學(xué)依據(jù)，即：世界是一個(gè)普遍聯(lián)系的有機(jī)整體，世界上事物的聯(lián)系具有普遍性.反映世界的不同量化模式(即關(guān)系結(jié)構(gòu)) 相互之間也具有聯(lián)系性，映射就是聯(lián)系不同量化模式的基本紐帶.RMI原理是一個(gè)十分重要的數(shù)學(xué)方法和思想，是化歸原則在數(shù)學(xué)領(lǐng)域中的具體化與形式化，具有聯(lián)系各個(gè)數(shù)學(xué)分支體系、解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的功能.由于RMI原理反映了數(shù)學(xué)方法的特殊性，因此，在數(shù)學(xué)方法論的發(fā)展史上，它也是一個(gè)真正具有數(shù)學(xué)特色的數(shù)學(xué)方法.

數(shù)學(xué)中的關(guān)系結(jié)構(gòu)是指彼此之間具有某種或某些數(shù)學(xué)關(guān)系(如代數(shù)關(guān)系、函數(shù)關(guān)系、序關(guān)系等等)的數(shù)學(xué)對(duì)象的集合.RMI原理在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用可以這樣描述：對(duì)于給定的一個(gè)含有目標(biāo)原象x的原象關(guān)系結(jié)構(gòu)系統(tǒng)T，當(dāng)在 T中不容易或者不能夠直接確定x時(shí)，如果能找到一個(gè)可定映映射f：T→T*，將T映入映象關(guān)系結(jié)構(gòu)系統(tǒng)T*；在T*中通過(guò)一定的數(shù)學(xué)方法去確定目標(biāo)映象x*=f(x)，然后再通過(guò)反演，即相應(yīng)的逆映射f -1，就可以確定目標(biāo)原象.通過(guò)以下步驟“關(guān)系——映射——定映——反演——獲解”的數(shù)學(xué)解題方法稱(chēng)之為RMI原理，其思維框圖如下圖所示：

運(yùn)用RMI原理關(guān)鍵是尋求適當(dāng)?shù)挠成渑c反演.RMI原理在數(shù)學(xué)領(lǐng)域有著極為廣泛的應(yīng)用，同時(shí)派生出許多具體的數(shù)學(xué)方法，是較高層次的化歸.應(yīng)用RMI原理解決中學(xué)數(shù)學(xué)問(wèn)題常見(jiàn)的情形有以下幾種.

一、方程結(jié)構(gòu)和函數(shù)結(jié)構(gòu)

函數(shù)和方程在中學(xué)數(shù)學(xué)研究中是密不可分的，函數(shù)y=f(x)可以等價(jià)地看做是方程f(x)-y=0，當(dāng)方程f(x，y)=0對(duì)于非空數(shù)集A中任意一個(gè)x0而言，都有唯一確定的一組解

x=x0，y=y0時(shí)，它就可以看做是y關(guān)于x的一個(gè)函數(shù).根據(jù)方程和函數(shù)之間這一互化的關(guān)系，我們可以分別在方程結(jié)構(gòu)和函數(shù)結(jié)構(gòu)之間運(yùn)用RMI原理來(lái)解決很多函數(shù)與方程的問(wèn)題.

1.方程結(jié)構(gòu)映射成函數(shù)結(jié)構(gòu)

【例1】 已知方程sin2x+cosx+a=0有實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

2.函數(shù)結(jié)構(gòu)映射成方程結(jié)構(gòu)

二、代數(shù)結(jié)構(gòu)和三角結(jié)構(gòu)

在中學(xué)數(shù)學(xué)中，以初等函數(shù)為映射工具，利用RMI原理，我們可以將一些代數(shù)、三角問(wèn)題分別映射到代數(shù)關(guān)系結(jié)構(gòu)和三角關(guān)系結(jié)構(gòu)當(dāng)中去，然后再反演回到原結(jié)構(gòu)中來(lái)，從而達(dá)到求解原問(wèn)題的目的.

【例3】 已知x是正實(shí)數(shù)，試證明：(x+1-x)?x＜12 .

三、代數(shù)結(jié)構(gòu)和幾何結(jié)構(gòu)

我們經(jīng)常說(shuō)，用代數(shù)的方法去解決幾何問(wèn)題或者用幾何的方法來(lái)解決代數(shù)問(wèn)題.這實(shí)際上是一種利用代數(shù)的量與幾何的形的關(guān)系來(lái)解決問(wèn)題的一種方法，這種方法本身就是關(guān)系——映射——反演(RMI)的一種應(yīng)用.在中學(xué)數(shù)學(xué)中，有許多代數(shù)問(wèn)題可以通過(guò)坐標(biāo)系尋求映射工具映射到幾何關(guān)系結(jié)構(gòu)中去，然后再反演到原來(lái)的代數(shù)結(jié)構(gòu)中來(lái)，從而解決原來(lái)的代數(shù)問(wèn)題.而幾何問(wèn)題也一樣可以映射到代數(shù)關(guān)系結(jié)構(gòu)中去，然后再反演到原來(lái)的幾何結(jié)構(gòu)中來(lái)，從而解決原來(lái)的幾何問(wèn)題.

例如，在笛卡兒平面上用有序?qū)崝?shù)對(duì)(x，y)來(lái)表示點(diǎn)，它使一個(gè)有序?qū)崝?shù)對(duì)(x，y)與幾何中的點(diǎn)構(gòu)成了一一對(duì)應(yīng)關(guān)系.坐標(biāo)系里點(diǎn)的坐標(biāo)按某種規(guī)則連續(xù)變化，那么，平面上的曲線就可以用方程來(lái)表示.比如，我們用關(guān)于x，y的一次方程來(lái)表示直線，用關(guān)于x，y的二次方程來(lái)表示圓錐曲線.這樣作為原象的幾何圖形便和作為映象的(x，y)及含x，y的方程式建立起對(duì)應(yīng)，這種對(duì)應(yīng)關(guān)系是一種映射關(guān)系.通常情況下，一個(gè)幾何問(wèn)題在本質(zhì)上就是某些特定的幾何圖形之間的關(guān)系問(wèn)題，這種幾何圖形之間的關(guān)系問(wèn)題在上述映射關(guān)系的對(duì)應(yīng)下便可轉(zhuǎn)化為代數(shù)式的關(guān)系問(wèn)題.要解決圖形之間的關(guān)系問(wèn)題，只須解決代數(shù)式的關(guān)系問(wèn)題即可.

1.幾何結(jié)構(gòu)映射成代數(shù)結(jié)構(gòu)

【例4】 已知一個(gè)半圓的直徑AB =2R，直線l與AB的反向延長(zhǎng)線垂直相交于點(diǎn)T，AT=2a(a

求證：AM+AN=AB.

分析：如果用平面幾何的知識(shí)來(lái)解決這個(gè)問(wèn)題會(huì)比較麻煩.要是以AT的中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，射線OB為x軸的正方向建立直角坐標(biāo)系，這個(gè)半圓就可以與方程［x-(a+R)］2+y2=R2建立起對(duì)應(yīng)關(guān)系，由MP=MA，NQ=NA知M、N是以A點(diǎn)為焦點(diǎn)，l為準(zhǔn)線的拋物線上的點(diǎn)，則可將拋物線與方程y2=4ax建立起對(duì)應(yīng)關(guān)系.設(shè)半圓與拋物線的交點(diǎn)M(x1， y1)、N(x2， y2)，則要證的結(jié)論AM+AN=AB化為∣AM∣+∣AN∣=2a+x1+x2=2R的問(wèn)題，聯(lián)立半圓和拋物線的方程即可得解.

從解題的過(guò)程看是解題的關(guān)鍵在于如何通過(guò)建立直角坐標(biāo)系將幾何的形與代數(shù)的量建立起映射關(guān)系，然后利用代數(shù)的量解決問(wèn)題.

2.代數(shù)結(jié)構(gòu)映射成幾何結(jié)構(gòu)

【例5】 求函數(shù)u=x2+9+x2-10x+29的最小值.

分析：建立直角坐標(biāo)系，設(shè)點(diǎn)A(0，-3)、B(5，2)、P(x，0)，?jiǎng)t原來(lái)的代數(shù)問(wèn)題就轉(zhuǎn)化為在x軸上找一點(diǎn)，使得它到A、B兩點(diǎn)的距離之和最小的幾何問(wèn)題.

這個(gè)例題說(shuō)明，尋求某些代數(shù)問(wèn)題的幾何意義，然后利用幾何圖形的直觀性或者相關(guān)的定理和知識(shí)來(lái)解決這些代數(shù)問(wèn)題，這種通過(guò)構(gòu)造幾何圖形來(lái)解決代數(shù)的問(wèn)題的方法也是對(duì)RMI原理的一種應(yīng)用.

四、代數(shù)結(jié)構(gòu)和參數(shù)結(jié)構(gòu)

換元法是中學(xué)數(shù)學(xué)中一種非常常見(jiàn)的解題方法，是將數(shù)學(xué)問(wèn)題映射成參數(shù)結(jié)構(gòu)(或代數(shù)結(jié)構(gòu))，通過(guò)引入?yún)?shù)(或消參)使得原問(wèn)題得以解決.換元法也是在中學(xué)數(shù)學(xué)中運(yùn)用RMI原理的典范.

【例6】 已知(x+2)2+y24=1 ，求x+y的最大值和最小值.

這是一個(gè)隱含限制條件的二元函數(shù)的最值問(wèn)題，隱含的限制條件是一個(gè)橢圓方程，利用橢圓的參數(shù)式方程將原問(wèn)題進(jìn)行三角代換，使得這個(gè)二元函數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化成只含有一個(gè)變量θ的三角函數(shù)的最值問(wèn)題.在中學(xué)數(shù)學(xué)解題中，換元法的形式是多種多樣的，但就其思維結(jié)構(gòu)來(lái)講是統(tǒng)一的，都是應(yīng)用RMI原理的具體表現(xiàn).

五、復(fù)數(shù)向量結(jié)構(gòu)與幾何結(jié)構(gòu)

不管是在平面直角坐標(biāo)系，還是在復(fù)平面上，都是用有序?qū)崝?shù)對(duì)(x，y)來(lái)刻畫(huà)平面中點(diǎn)的位置.在平面內(nèi)，點(diǎn)與有序?qū)崝?shù)對(duì)是一一對(duì)應(yīng)關(guān)系.因?yàn)閺?fù)數(shù)集與復(fù)平面內(nèi)所有的點(diǎn)構(gòu)成的集合形成一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，復(fù)數(shù)集與以原點(diǎn)為起點(diǎn)的向量所構(gòu)成的集合也可以形成一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，所以我們可以以復(fù)數(shù)與向量作為映射工具，將一些解析幾何問(wèn)題分別映射到復(fù)數(shù)關(guān)系結(jié)構(gòu)和向量關(guān)系結(jié)構(gòu)中去，然后再反演到原結(jié)構(gòu)中，達(dá)到求解原問(wèn)題的目的.

利用與復(fù)數(shù)相對(duì)應(yīng)的向量來(lái)解決數(shù)形結(jié)合的問(wèn)題，特別是解決一些幾何圖形的旋轉(zhuǎn)、折疊問(wèn)題，使用這個(gè)方法能收意想不到的效果.我們不但可以從解決問(wèn)題的過(guò)程中看到兩部分知識(shí)之間的內(nèi)在聯(lián)系，也可以從不同角度分析比較解題方式的差異和運(yùn)算方法的優(yōu)劣，這無(wú)疑對(duì)加強(qiáng)學(xué)生對(duì)數(shù)形結(jié)合思想的理解，開(kāi)拓學(xué)生的解題思維都有相當(dāng)大的促進(jìn)作用.

【例7】 若Q為拋物線y２＝4ax(a>0)上一動(dòng)點(diǎn)，A(6a，0)為定點(diǎn)，以A為中心，將AQ按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90°到AP，求P點(diǎn)的軌跡方程.

六、應(yīng)用模型結(jié)構(gòu)和數(shù)學(xué)模型結(jié)構(gòu)

隨著應(yīng)用性問(wèn)題在中學(xué)數(shù)學(xué)中的地位日益提高，在教學(xué)中我們既要重視提高學(xué)生的解題技巧，培養(yǎng)學(xué)生用熟知的數(shù)學(xué)模型解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的能力，又要培養(yǎng)學(xué)生從實(shí)際問(wèn)題中提煉和構(gòu)造數(shù)學(xué)模型的能力和將復(fù)雜陌生的問(wèn)題化歸為簡(jiǎn)單熟悉的數(shù)學(xué)模型來(lái)解決實(shí)際問(wèn)題的能力.

根據(jù)某些對(duì)應(yīng)法則，通過(guò)建模可將一些有關(guān)應(yīng)用模型結(jié)構(gòu)的問(wèn)題映射成中學(xué)數(shù)學(xué)中常見(jiàn)的問(wèn)題結(jié)構(gòu)(例如函數(shù)結(jié)構(gòu)、數(shù)列結(jié)構(gòu)、方程結(jié)構(gòu)、三角結(jié)構(gòu)、不等式結(jié)構(gòu)等)，形成數(shù)學(xué)模型，在數(shù)學(xué)模型中找到解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的方法，得出結(jié)論后再反演回到實(shí)際問(wèn)題原型中，從而解決實(shí)際問(wèn)題.這是運(yùn)用RMI原理解決中學(xué)數(shù)學(xué)問(wèn)題最典型的內(nèi)容.

【例8】 A村、B村坐落在一條小河的同側(cè)，兩村計(jì)劃在河邊共建一座可以供兩村使用的水電站發(fā)電，已知A村到河邊的垂直距離為300m，B村到河邊的垂直距離為700m，兩村相距500m，問(wèn)水電站應(yīng)該建于何處，使得送電到兩村的電線用料最省?

分析：要解決這個(gè)生活問(wèn)題，必須用數(shù)學(xué)語(yǔ)言對(duì)問(wèn)題加以描述，轉(zhuǎn)化為一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題，也是我們常說(shuō)的數(shù)學(xué)建模.我們可以把兩個(gè)村莊看做是兩個(gè)點(diǎn)A、B，而小河則可看做是一條直線l，這樣就可以將原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為：在一條直線的同側(cè)有相距500m的兩點(diǎn)A、B，它們到這條直線的距離分別為300m和700m，求在直線上找一點(diǎn)P，使得∣AP∣+∣BP∣的值最小.這樣一來(lái)，利用解析幾何中的距離公式就可以很快求得P點(diǎn)的坐標(biāo)，最后將P點(diǎn)再反演為水電站的位置即可.

解決這類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵在于怎樣把實(shí)際問(wèn)題歸納或抽象為數(shù)學(xué)問(wèn)題，而數(shù)學(xué)建模能力的缺乏是學(xué)生在解決應(yīng)用問(wèn)題時(shí)遇到的最大困難.首先，我們必須弄清實(shí)際問(wèn)題中已知的信息以及這些信息的關(guān)系，然后緊扣問(wèn)題的主要矛盾提出假設(shè)，運(yùn)用數(shù)學(xué)語(yǔ)言對(duì)已知信息進(jìn)行必要的加工、改述，確定所要建立的數(shù)學(xué)模型中各種量的關(guān)系或圖形之間的關(guān)系，最后找到解決數(shù)學(xué)模型問(wèn)題的方法時(shí)，實(shí)際問(wèn)題也就迎刃而解了.

利用RMI原理研究數(shù)學(xué)問(wèn)題，關(guān)鍵在于選取適當(dāng)?shù)挠成?RMI原理能揭示數(shù)學(xué)上兩種關(guān)系結(jié)構(gòu)的本質(zhì)聯(lián)系，是一種重要的數(shù)學(xué)思想方法.要想靈活地在中學(xué)數(shù)學(xué)中應(yīng)用RMI原理，要求我們熟練掌握數(shù)學(xué)各分支的知識(shí)體系以及各分支之間的聯(lián)系和變化，從而使數(shù)學(xué)各部分知識(shí)形成一個(gè)完整的整體.使用RMI原理指導(dǎo)學(xué)生解題，有助于學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解，既可用以啟發(fā)學(xué)生解題的思路、提高學(xué)生解題的效率，又可用來(lái)指導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn).在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，為了提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維品質(zhì)和解決問(wèn)題的能力，我們要注重培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用RMI原理的意識(shí)和能力.

(責(zé)任編輯 金 鈴）