用數學方法計算搖骰子游戲中的“魚、蝦、蟹”賠率

一、游戲背景

有這樣的一種賭博游戲：一顆正六面體骰子每個面分別印有魚、蝦、蟹、公雞、金錢、葫蘆六種圖案，共有三顆這樣骰子。游戲規則如下：

假如你下注買了“魚”，骰子搖均勻后打開，有下面四種情況出現：（1）若沒有骰子中，則莊家贏了你的賭注；（2）若有一顆骰子中，則莊家賠你1倍的賠率；（3）若有兩顆骰子中，則莊家賠你2倍的賠率；（4）若三顆骰子都中，則莊家賠你3倍的賠率。買其它圖案的賠率跟上面的情況一樣。

二、問題的提出

如果長時間玩這個游戲，最后的贏家總是莊家，輸家總是買家。不是因為莊家的運氣好而買家的運氣差，用數學的辦法分析，答案只有一種，就是莊家贏的概率比買家大，游戲不公平。那么莊家和買家他們贏的概率各是多少？接下來通過兩種分析方法來解決這個疑問。

三、賠率計算方法

（一）方法1：利用排列組合的知識分析賠率

游戲設定：某人下注買了“1”這一面，下面通過組合、方程兩種方法來分析，計算賠率情況。

為了方便畫樹狀圖，把骰子的六個面進行注明：

1——代表“魚”面，2——代表“蝦”面，——代表“蟹”面，4——代表“公雞”面，5——代表“金錢”面，6——代表“葫蘆”面

三顆骰子同時拋出一共有216種排列結果，可將這些結果分成以下四類：（1）沒有“1”的結果有：P51×P51×P51=125（種）；（2）有一個“1”的結果有：C31×C51×P51=75（種）；（3）有兩個“1”的結果有：C32×P51=15（種）；（4）有三個“1”的結果有：C33=1（種）。因此，出現“1”的面共有：75×1+15×2+1×3=108（面）。

錯誤解答：很多人會直接把108和216兩個數一起比較，認為■=■=50%，所以這個游戲莊家和買家贏的概率都為50%，游戲公平。

正確解答：一定要注意這個游戲中輸的次數，在上面游戲中沒有出現“1”面朝上的結果有 125種，莊家贏的概率為：■=■，買家贏的概率為：■=■，因此，莊家贏的概率比買家要大。游戲不公平，那么怎樣在這個游戲中通過改變賠率，從而使游戲變得公平？可以通過構建方程來分析。

設中一個“1”賠率為a，中兩個“1”賠率為b，中三個“1”賠率為c。得方程：75×a+15×b+ 1×c=125 。因為是一個三元一次方程，所以只能用推理的方法來分析：

a不能是2或以上的數，只能是1，所以“一賠一”合理；

當a=1，則b的取值范圍是2

c=125-75×1-15×3=5，所以應改為“一賠五”的賠率。

從而有：75× 1 +15× 3 +1× 5 =125

因此，要使這個游戲公平，規則如下：（1）買中一個面有1倍的賠率；（2）買中兩個面有3倍的賠率；（3）買中三個面有5倍的賠率。

（二）方法2：利用三元一次方程組分析賠率

方法1只能列出一個三元一次方程，用解方程的方法根本解不了未知數a、b、c。如果能夠列出三個這樣的三元一次方程，組成方程組，則就可以精確解出未知數a、b、c的值。

因為每顆骰子中出現“1”這個面朝上的概率均為：P（1朝上）=■，那么三顆骰子同時拋出去，出現“1”的面朝上的累計概率為：■+■+■=■，即做10次投三顆骰子的試驗中，理論上會有累計5個面出現“1”朝上。現在通過三組模擬實驗的數據統計，來列出相應的方程。

設出現一個“1”賠率為a，出現兩個“1”賠率為b，出現出現三個“1”賠率為c。

把方程①②③組成方程組，

得8a+2b+1c=1911a+4b+2c=3330a+7b+2c=61 解得a=1b=3c=5

因此，要使這個游戲公平，規則如下：（1）中一個面有1倍的賠率；（2）中兩個面有3倍的賠率；（3）中三個面有5倍的賠率。

四、游戲的拓展與猜想

（一）游戲的拓展——四顆八面體的骰子

三顆六面體的骰子同時拋出去，出現“1”的面朝上的累計概率為：3×■=■。那么如果四顆八面體的骰子同時拋出去，出現“1”的面朝上的累計概率也應該為：4×■=■。四顆八面體的骰子同時拋出一共有84=4096種排列結果，可將這些結果分成以下五類：（1）沒有“1”：P71×P71×P71×P71=2401（種）； （2）有一個“1”：C41×P71×P71×P71=1372（種）；（3）有兩個“1”：C42×P71×P71=294（種）；（4）有三個“1”：C43×P71=28（種）；（5）有四個“1”：C44=1（種）。

設出現一個、兩個、三個、四個“1”朝上的賠率分別為：a、b、c、d。得方程：1372×a+294×b+ 28×c+ 1d×=2401。

現通過四組模擬實驗數據統計（見52頁表格）列出相應的方程。

把方程①②③④組成方程組，得10a+4b+c+d=3424a+8b+2c+d=6532a+10b+5c+2d=10134a+15b+8c+3d=140 解得a=1b=3c=5d=7

因此，四顆八面體的骰子同時拋出時，要使這個游戲公平，規則如下：（1）中一個面有1倍的賠率；（2）中兩個面有3倍的賠率；（3）中三個面有5倍的賠率；（4）中四個面有7倍的賠率。

（二）游戲的猜想

結合兩個游戲的賠率分析：

1. 三顆六面體的骰子游戲賠率情況：（1）中一個面有1倍的賠率；（2）中兩個面有3倍的賠率；（3）中三個面有5倍的賠率。

2. 四顆八面體的骰子游戲賠率情況：（1）中一個面有1倍的賠率；（2）中兩個面有3倍的賠率；（3）中三個面有5倍的賠率；（4）中四個面有7倍的賠率。

可以得出這樣的一個猜想：

n顆2n面體的骰子游戲賠率情況應該是：（1）中一個面有1倍的賠率；（ 2）中兩個面有3倍的賠率；（3）中三個面有5倍的賠率；（4）中四個面有7倍的賠率 …… （n）中n個面有（2n-1）倍的賠率。

由上面的猜想可以得出兩條這樣的等式：

■C■×（P■）n-1×1+C■×（P■）n-2×3+C■×（P■）n-3×5+…+C■×（P■）0×（2n-1）=（P■）n 或C■×（2n-1）n-1×1+C■×（2n-1）n-2×3+C■×（2n-1）n-3×5+…+C■×（2n-1）0×（2n-1）=（2n-1）n

由于能力有限還未能求證，希望有能力的讀者能證明出來！

五、游戲的變式——賠率的改變

在四顆八面體的骰子中，要4個面都相同的概率為：■=■，概率非常低，而上面的游戲設定4個面相同的賠率只有7倍，很顯然這個游戲不夠吸引。但買中1個面的機會是比較大的，概率為：■，因此，可以把買中1個面的賠率轉移到中2個面、中3個面和中4個面的賠率上。

可令方程1372a+294b+28c+1d=2401 中的a=0，變成一個新的方程：294b+ 28c+ 1d=2401。

雖然一個三元一次方程有無數個解，但恰恰因為它有這么多的解，所以可以使賠率靈活變動。

例如：

令b=4，c=20，d=665，代入方程：294b+ 28c+ 1d=2401。

方程左邊：294×4+ 28×20+ 1×665=1176+560+665=2401，與方程右邊相等。

所以可以設計這樣的賠率：（1）買中一個面有0倍賠率（不賠不輸）；（2）買中兩個面有4倍的賠率；（3）買中三個面有20倍的賠率；（4）買中四個面有665倍的賠率。

這樣的游戲設計，有了很高的賠率，看起來就比較吸引人。

六、教育意義

通過中學學過的數學知識計算出搖骰子“魚、蝦、蟹”的游戲賠率情況后，知道了莊家贏的原因在哪里、贏的概率是多少，也說明了在生活中處處有數學，很多神秘的東西其實都可以利用數學的方法及原理來解析。

賭場上的每一種賭博游戲的設計都是不公平的，處處存在著隱性的欺詐，莊家贏你的概率永遠比你大，所以千萬不要有想靠賭博掙大錢的想法，長期沉迷只會落得傾家蕩產的結果。要教育學生遠離賭博，踏實做人，努力學習才是正道。

本欄責任編輯 羅 峰