走出困境:“以舊換新”化概念 (上)

如果你已經(jīng)認真研習(xí)了“破解函數(shù)壓軸題”系列的前八期內(nèi)容，相信你一定收獲了足夠多的信心和對策走出函數(shù)綜合題帶來的種種困境．然而，下一題永遠都可能是新的，每一道陌生的題目都在考驗我們的閱讀、理解和轉(zhuǎn)化能力．常言道：萬變不離其宗，我們要學(xué)的，是如何將新信息與自己已掌握的知識和方法聯(lián)系起來，“以舊換新”，最終讓所有的問題都轉(zhuǎn)化為我們的“拿手好戲”．

例 如果函數(shù)g（x），f1（x），f2（x）在公共定義域D上滿足f1（x）

（1） 若在區(qū)間（1，+∞）上，函數(shù)f（x）是f1（x），f2（x）的“活動函數(shù)”，求a的取值范圍；

（2） 當(dāng)a=時，求證：在區(qū)間（1，+∞）上，函數(shù)f1（x），f2（x）的“活動函數(shù)”有無窮多個．

題意解讀：例題新就新在“活動函數(shù)”這個概念上．粗心的同學(xué)往往會對題中的新概念產(chǎn)生誤解，導(dǎo)致剛開始做題就搞錯方向．比如，有的同學(xué)會將題意理解成要先求出f1（x）的最大值m1和f2（x）的最小值m2，為使f1（x）

f（x）

問題轉(zhuǎn)化：例題的“新”實際上只是“虛張聲勢”. 所謂“函數(shù)f（x）是f1（x），f2（x）的‘活動函數(shù)’”，就是指 f（x）

而要證明問題（2），只要證明“當(dāng)a=時，對于區(qū)間（1，+∞）上的每個x，均有f1（x）

問題（1）解析：

令F（x）=f2（x）-f（x）=-ax2+2ax-lnx，G（x）=f（x）-f1（x）=x2-2ax+a2 lnx.

當(dāng)a>時，觀察F（x）的解析式，因為-ax2+2ax是開口向下的二次函數(shù)，所以當(dāng)x在區(qū)間（1，+∞）上的取值充分大時，-ax2+2ax的值為負．又-lnx<0 （x>1），所以F（x）>0不可能在區(qū)間（1，+∞）上恒成立．

當(dāng)a≤時，觀察F（x）的解析式難以直接判斷其正負，因此求導(dǎo)來解決．F′（x）＝．在區(qū)間（1，+∞）上，當(dāng)a＝時，F(xiàn)′（x）＝＞0，F(xiàn)（x）單調(diào)遞增；當(dāng)a＜時，m（x）=（1-2a）x2+2ax-1的圖象開口向上，對稱軸x==1+∈（-∞，1），又x∈（1，+∞），∴ m（ｘ）ｍｉｎ＞ｍ（1）＝0， ∴ m（ｘ）>0， ∴ F′（x）=>0，F(xiàn)（x）單調(diào)遞增. 即當(dāng)a≤時，F(xiàn)（x）單調(diào)遞增．只要使F（1）=+a≥0，就可使F（x）在區(qū)間（1，+∞）上恒為正，解得a≥-． ∴ -≤a≤.

現(xiàn)在，我們應(yīng)考慮當(dāng)-≤a≤時，怎樣使G（x）=x2-2ax+a2lnx在區(qū)間（1，+∞）上恒為正． 在區(qū)間（1，+∞）上，G′（x）=＞0，G（x）單調(diào)遞增．只要使G（1）＝-2a≥0，就可使G（x）在區(qū)間（1，+∞）上恒為正，解得a≤.

綜上所述，a的取值范圍是-，.

問題（2）解析：

當(dāng)a=時，f1（x）=x2+x+lnx，f2（x）=x2+x. 令B（x）=f2（x）-f1（x）=x2-lnx，可得在區(qū)間（1，+∞）上，B′（x）＝-＝>0，B（x）單調(diào)遞增． 而B（ｘ）ｍｉｎ>B（1）=>0， ∴ 對于區(qū)間（1，+∞）上的每個x，均有f1（x）

取常數(shù)λ∈（0，1），作函數(shù)f1（x），f2（x）的加權(quán)平均函數(shù)T（x）＝λf1（x）+（1-λ）f2（x），則T（x）-f1（x）＝（λ-1）［f1（x）-f2（x）］＞0，f2（x）-T（x）＝λ［f2（x）-f1（x）］＞0，即對于（1，+∞）上的每個x，總有f1（x）

點評：

新穎的問題難就難在理解和轉(zhuǎn)化．通過對新概念“活動函數(shù)”的具體解讀，把例題中的問題轉(zhuǎn)化為同學(xué)們熟悉的“某些函數(shù)在指定的區(qū)間上恒為正，求參數(shù)的取值范圍”的題型，達到了“以舊換新”的目的．看來，無論試題的形式如何變化，由導(dǎo)數(shù)的正負性判斷函數(shù)的單調(diào)性，再求出相關(guān)量之間的大小關(guān)系，始終是函數(shù)綜合題的主旋律！

【練一練】

若一條直線在某區(qū)間上始終位于函數(shù)f（x）的下方，我們就說該直線在該區(qū)間上是f（x）的一條下托直線． 若f（x）＝，y=1+px在區(qū)間（0，+∞）上是f（x）的一條下托直線，求p的最大值．

【參考答案】

解：圖象之間的上下關(guān)系可以解讀為函數(shù)值之間的大小關(guān)系．由題意可知對任意x>0，f（x）＞1+px恒成立．由熟知的不等式ln（1+x）0）（詳見《中學(xué)生天地·高中學(xué)習(xí)版》2012年第3期）可知<1， ∴由f（x）＞1+px （x>0）可得p<0．

題目轉(zhuǎn)化為“當(dāng)f（x）-1-px=＞0（p<0，x>0）恒成立時，求p的最大值”. ∵ x>0， ∴與ln（1+x）-x-px2的正負性一致． 令h（x）=ln（1+x）-x-px2，則h′（x）＝-1-2px=．

當(dāng)2p+1>0即-0， ∴ h（x）單調(diào)遞增． 又h（0）=0， ∴ 當(dāng)x∈（0，+∞）時，h（x）>0，即f（x）>1+px恒成立．

綜上所述，對任意x>0，使f（x）>1+px恒成立的p的最大值為-．