線性規(guī)劃:變形與轉(zhuǎn)化

提問

有些線性規(guī)劃問題中的目標(biāo)函數(shù)并不是簡單的z=ax+by型，相反看上去非常復(fù)雜，請(qǐng)問該如何處理這樣的問題呢？

回答

在線性規(guī)劃問題中，對(duì)于形如z=ax+by的目標(biāo)函數(shù)，可先將其變形為y=-x+，可看做直線在y軸上的截距，問題就轉(zhuǎn)化成求直線縱截距的范圍或極值的問題．

如何處理形式復(fù)雜的目標(biāo)函數(shù)呢？我們舉例來說明．

例 已知2x-y-1≥0，x+y≤4，y≥1表示平面區(qū)域M，若（x，y）∈M，求（1） ｚ1＝的取值范圍；（2） ｚ2＝的取值范圍；（3） ｚ3＝的取值范圍；（4） ｚ4＝ｘ2+ｙ2+ｙ的最小值．

解： （1） 如圖1所示，在坐標(biāo)系中分別作出直線2x-y-1＝0，x+y＝4，y＝1，求得它們的交點(diǎn)為A（1，1），B（3，1），C，，A，B，C圍成的陰影部分即平面區(qū)域M． 把ｚ1＝看做ｚ1＝，可知ｚ1的幾何意義是區(qū)域M內(nèi)的點(diǎn)與原點(diǎn)O（0，0）的連線的斜率．由圖1可判斷kOB≤z1≤kOC， ∴ ≤z1≤．

（2） 把目標(biāo)函數(shù)變形為ｚ2＝. 令t==z1，由（1）得≤z1≤，即t∈，. 設(shè)f（t）=+t，則f′（t）=1-，當(dāng)t∈，1時(shí)，f′（t）≤0，f（t）單調(diào)遞減；當(dāng)t∈1，時(shí)，f′（t）>0，f（t）單調(diào)遞增． ∴ 在區(qū)間，上，f（t）min=f（1）=2. 由f=>f=可得f（t）max=，∴ t+∈2，． 由z2=可求得z2的取值范圍是，．

（3） 把目標(biāo)函數(shù)變形為z3==． 其中，可看做區(qū)域M中的點(diǎn)與D（1，-1）連線的斜率ｋ，即ｋ＝．觀察圖1可得ｋ≥ｋDB， ∵ ｋDB＝＝1， ∴ ｋ≥1． 又DA⊥x軸. ∴ k∈［1，+∞）. 由ｚ3＝解得0＜ｚ3≤．

（4） 把目標(biāo)函數(shù)變形為ｚ4=x2+y+2-=（ｘ-0）2+ｙ--2-，其中，（ｘ-0）2+ｙ--2是區(qū)域M中的點(diǎn)與E0，-的距離的平方，由圖1可以看出區(qū)域M中的點(diǎn)與E的最小距離為AE，由（1）得A（1，1）， ∴ ｚ4ｍｉｎ＝AE2-＝3．

通過對(duì)目標(biāo)函數(shù)的變形，在解決問題（2）和問題（3）時(shí)，我們把目標(biāo)函數(shù)與斜率聯(lián)系起來；在解決問題（4）時(shí)，我們由平方關(guān)系聯(lián)想到了兩點(diǎn)間的距離． 對(duì)于形式復(fù)雜的目標(biāo)函數(shù)，同學(xué)們應(yīng)注意觀察它是否有特定的幾何意義，如果一時(shí)難以明確，可以進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖冃?，再?duì)它進(jìn)行觀察、分析．

答疑人： 杭州市余杭高級(jí)中學(xué) 吳曉曙 釋疑郵箱： tzcdm@qq．com