立體幾何:基本圖形是關(guān)鍵

自主招生考試中，立體幾何問題主要考查空間線面位置關(guān)系的判定、空間角度與距離的求解、空間幾何體的面積與體積的計(jì)算等． 柱體、錐體、臺(tái)體、球體及其簡(jiǎn)單組合體是最基本的圖形，也是研究空間問題的基本載體，同學(xué)們應(yīng)注意理解和運(yùn)用這些幾何體的概念、性質(zhì)、面積和體積公式等內(nèi)容． 解決立體幾何問題時(shí)，往往需要把空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題． 當(dāng)然，也可以建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法來解決問題．

一、空間線面位置關(guān)系的判定

判定空間線面位置關(guān)系是解決立體幾何問題的基礎(chǔ)．同學(xué)們?cè)谂袛嘀本€與直線、直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系時(shí)，除了根據(jù)定義，還應(yīng)結(jié)合空間線面位置關(guān)系的性質(zhì)和定理來解決問題．

例1 （2008年復(fù)旦大學(xué)自主招生考試第26題）若空間內(nèi)三條直線a，b，c兩兩異面，則與a，b，c都相交的直線有

（A） 0條（B） 1條

（C） 多于1條的有限條（D） 無窮多條

解析：要找到與三條直線都相交的直線，我們可以先在直線a上任取一點(diǎn)A，看看過A 的直線中是否有與直線b和直線c都相交的.

假設(shè)同時(shí)過點(diǎn)A與直線b的平面為α，若直線c與平面α存在交點(diǎn) C，則直線AC與直線b有交點(diǎn)B，∴直線ABC或直線ACB與a，b，c均相交．若直線a上兩點(diǎn)A1，A2分別與直線b組成平面α，β，且α，β均不與直線c相交，則c∥α，c∥β，又α與β的交線為b， ∴ b∥c，這與b，c為異面直線矛盾． ∴ 由點(diǎn)A的任意性，可知與a，b，c都相交的直線有無窮多條. 選D．

二、空間角度的求解

空間角度包括兩條異面直線所成的角、直線與平面所成的角和二面角．在計(jì)算時(shí)，一方面要設(shè)法作出這些角（或其平面角），通過解三角形計(jì)算這些角的大小，另一方面要注意這些角的取值范圍．

例2 （2011年清華大學(xué)自主招生考試第6題） 已知異面直線a，b成60°角，A為空間內(nèi)一點(diǎn)，則過A且與a，b都成45°角的平面

（A） 有且只有一個(gè) （B） 有且只有兩個(gè)

（C） 有且只有三個(gè) （D） 有且只有四個(gè)

解析：要確定一個(gè)平面，就要知道它的方向，即考慮平面的法向量. 我們把法向量所在直線稱為法線，已知平面過點(diǎn)A， ∵ 平面與a，b都成45°角， ∴ 平面的法線與a，b也都成45°角． ∵ 一條法線確定一個(gè)平面， ∴ 問題轉(zhuǎn)化為問“過點(diǎn)A且與a，b都成45°角的直線有多少條”．

我們先把a(bǔ)，b平移到A點(diǎn)，過點(diǎn)A作直線a，b所成角的角平分線，這樣的角平分線有兩條，一條與a，b都成30°角，一條與a，b都成60°角．固定A點(diǎn)，把與a，b都成30°角的直線的兩端向上提，這樣就形成兩條與a，b都成45°角的直線. ∴ 過空間內(nèi)一點(diǎn)A且與a，b都成45°角的直線有且只有兩條， ∴ 滿足題意的平面有且只有兩個(gè).選B．

例3 （2009年復(fù)旦大學(xué)自主招生考試第133題） 直三棱柱ABC-A′B′C′的底是邊長(zhǎng)為1的正三角形，高AA′=1，在AB上取一點(diǎn)P，設(shè)△PA′C′與底面A′B′C′所成的二面角為α，△PB′C′與底面所成的二面角為β，則tan（α+β）的最小值是

（A） - （B） -

（C） - （D） -

解析：如圖1所示，作PQ⊥A′B′，則PQ⊥底面A′B′C′且PQ＝1. 過點(diǎn)Q作QH⊥A′C′，則∠PHQ為△PA′C′與底面A′B′C′所成二面角的平面角， ∴ ∠PHQ＝α．設(shè)AP＝x=A′Q （0≤ｘ≤1），則BP＝1-ｘ＝B′Q，QH＝A′Q·sin60°＝x， ∴ tanα＝＝. 同理可求得tanβ＝. ∴ ｔａｎ（α+β）＝≥＝-，當(dāng)且僅當(dāng)ｘ＝時(shí)，等號(hào)成立．選C．

點(diǎn)評(píng)：解題中先作出△PA′C′，△PB′C′與底面所成的二面角的平面角，再建立ｔａｎ（α+β）與變量AP的函數(shù)關(guān)系，最后求出最小值．用定義法、垂線法作二面角的平面角是求解二面角問題的常用方法．

三、空間幾何體體積的計(jì)算

求幾何體的體積常用四種方法：直接法、轉(zhuǎn)換法、分割法和補(bǔ)形法． 計(jì)算體積需要知道幾何體的高與底面積，幾何體的高常常被轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到面的距離．

例4 （2009年南京大學(xué)自主招生考試第14題） 在四面體ABCD中，平行于AB與CD的平面α截四面體所得的截面為EFGH，AB到平面α的距離為d1，CD到平面α的距離為d2，且=k. 求立體圖形ABEFGH與四面體ABCD的體積之比．

解析：立體圖形ABEFGH是不規(guī)則圖形，所以要用分割法把它轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形的組合體后再計(jì)算體積．由于題目要求立體圖形ABEFGH與四面體ABCD的體積之比，所以在轉(zhuǎn)化時(shí)應(yīng)盡量把立體圖形ABEFGH分割成與四面體ABCD同底且彼此間高度成比例的幾何體再計(jì)算．

如圖2所示， ∵ AB∥平面α，CD∥平面α，EF，GH，EH，F(xiàn)G為平面α與四面體各個(gè)面的交線， ∴ AB∥EF∥GH，CD∥EH∥FG， ∴ 四邊形EFGH是平行四邊形. ∵ AB到平面α的距離為d1，CD到平面α的距離為d2， ∴ 由△ABC∽△EFC可知AE ∶ EC=BF ∶ FC=d1 ∶ d2.設(shè)AE=d1k1，EC=d2k1，BF=d1k2，F(xiàn)C=d2k2，則S△CEF=FC·ECsin∠ACB=·k1k2sin∠ACB. 同理可得 S△ABC=（d1+d2）2k1k2sin∠ACB．

∵ S△AEF ∶ S△CEF ＝AE ∶ EC=d1 ∶ d2， ∴ S△AEF =d1d2k1k2sin∠ACB，∴ S△ABF =S△ABC -S△CEF -S△AEF =（+d1d2）k1k2sin∠ACB， ∴ S△ABF ∶ S△AEF ∶ S△CEF ＝（+d1d2） ∶ d1d2 ∶ . ∵ 點(diǎn)G到△AEF與△ABF的距離相等， ∴ =．

∵ EG為平行四邊形EFGH的對(duì)角線， ∴ S△EFG=S△EHG， ∴ VA-EFG=VA-EHG．

∵ AB∥EF， ∴ △ABE與△ABF同底等高， ∴ S△ABE =S△ABF.設(shè)A到平面BCD的距離為h，∴ VG-ABE=VG-ABF=S△BFG·h． ∴ VABEFGH=VG-ABF +VA-EFG+VA-EHG=VG-ABF+2VA-EFG. 由=可得VG-AEF=.VG-ABF=·S△BFG·h， ∴ VABEFGH=S△BFG·h+S△BFG·h·． 又=k， ∴ ===1+·2=．

四、綜合性問題

立體幾何綜合問題往往涉及較復(fù)雜的點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系，有時(shí)甚至?xí)c平面幾何聯(lián)系起來．要解決這類問題，不僅要抓住這些位置關(guān)系的本質(zhì)特征，還要注意題中圖形與基本圖形的聯(lián)系．

例5 （2009年清華大學(xué)自主招生考試第7題） 已知四面體ABCD的三對(duì)對(duì)棱分別相等．設(shè)△ABC，△ABD，△ACD與△BCD所在平面所成的角分別為α，β，γ．求證：cosα+cosβ+cosγ=1．

證明：如圖3所示，要證明α，β，γ的余弦之間的關(guān)系，可以考慮△ABC，△ABD，△ACD與其在△BCD所在平面上的射影的面積之間的關(guān)系．

設(shè)四面體ABCD的頂點(diǎn)A在面BCD上的射影為O，聯(lián)結(jié)BO，CO，DO，則S△OBC +S△OBD+S△OCD=S△BCD. 由題意得S△OBC=S△ABC cosα，S△OBD=S△ABDcosβ，S△OCD=S△ACDcosγ. ∵ 四面體ABCD是三對(duì)對(duì)棱分別相等的四面體， ∴ △ABC，△ABD，△ACD與△BCD是完全相等的三角形， ∴ S△ABC=S△ABD=S△ACD=S△BCD.由S△BCD=S△OBC+S△OBD+S△OCD=S△ABCcosα+S△ABDcosβ+S△ACDcosγ=S△BCD·（cosα+cosβ+cosγ）可得cosα+cosβ+cosγ＝1．

例6 （2009年復(fù)旦大學(xué)自主招生考試第134題） 半徑為R的大球內(nèi)部裝有4個(gè)半徑為r的小球，則小球半徑的最大值為

（A） R（B） R

（C） R（D） R

解析： 四個(gè)小球裝在大球內(nèi)，我們很難畫出其空間圖形，但如果我們能抓住這個(gè)圖形的本質(zhì)特征，即四個(gè)小球的球心與大球球心的位置關(guān)系，并設(shè)四個(gè)小球的球心為四面體的頂點(diǎn)，就能在四面體內(nèi)解決這個(gè)問題．

設(shè)四個(gè)小球的球心分別為A，B，C，D，大球的球心為O．當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)O到A，B，C，D的距離相等時(shí)，圖形具有對(duì)稱性，小球半徑能取到最大值．此時(shí)四個(gè)小球的球心恰好是正四面體ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)，大球的球心O恰好是正四面體的中心．

如圖4所示，聯(lián)結(jié)AO交底面BCD于E，則E為A在BCD上的射影. 聯(lián)結(jié)BE，CE，DE.當(dāng)小球的半徑最大時(shí)，小球必須兩兩相切．易得AB=2r=BC=CD=BD=AC=AD． ∵ OE⊥底面BCD，聯(lián)結(jié)OB，OC，OD，由OB＝OC=OD可得BE=CE=DE， ∴ E為等邊△BCD的外心，BE=BC÷cos=r.由勾股定理可得AE==r． 設(shè)AO=x，由O是正四面體的中心可知OB=x，在Rt△OEB中，有OB2=x2=（AE-AO）2+BE2＝ｒ-ｘ2+ｒ2，解得x=AO=r.由R=AO+r解得r=（-2）R＝． 選B．

【下期預(yù)告】

排列組合、二項(xiàng)式定理和概率統(tǒng)計(jì)是自主招生考試的必考內(nèi)容之一，它們的考查內(nèi)容相對(duì)獨(dú)立，但試題新穎，往往與生產(chǎn)、生活緊密聯(lián)系．在下期內(nèi)容中，我們將討論這方面的問題．