走出困境:執果索因走著瞧(下)

主 講：許志鋒

中學高級教師，臺州市教學能手，擁有20余年高三教學經驗，參加過“國家級骨干教師”培訓并被授予合格證書.

推薦名言

數學中的一些美麗定理具有這樣的特性：它們極易從事實中歸納出來，但證明卻隱藏得極深．

——卡爾·弗里德里希·高斯 （德國數學家，發現了質數分布定理和最小二乘法，被譽為“數學王子”）

上期內容中所謂的“題外有題”，其實就是指如何將ln（1+x）>（x>0）演繹推理至19＜的問題：第一步，將目標19＜調整為1+19>e2；第二步，把指數式轉化為對數式ln1+>；第三步，對ln（1+x）>取特殊值x=，恰好有ln1+>，問題順利解決． 顯然，求同思維貫穿于整個解題過程．通俗地講，這就是“瞧著走”，對目標不等式進行等價變形，使它跟已證的函數不等式“同構”．但有的時候，要找到函數題中各個小題之間聯系的難度更大，這時，我們就該采取“走著瞧”的策略． 現在，我們就以2011年高考數學湖北卷（理科）第21題為例進行講解．

例 （1） 已知函數f（x）＝lnx-x+1，x∈（0，+∞），求函數f（x）的最大值；

（2） 設ak，bk（k=1，2，…，n）均為正數，證明：

①若a1b1+a2b2+…+anbn≤b1+b2+…+bn，則a1b1·a2b2·…·anbn≤1；

②若b1+b2+…+bn=1，則≤b1b1·b2b2·…·bnbn≤++…+．

問題（1）解答

f（x）的定義域為（0，+∞）， f′（x）=-1．令f′（x）=0，解得x=1．當00，∴ f（x）在（0，1）上單調遞增；當x>1時， f′（x）<0，∴ f（x）在（1，+∞）上單調遞減． ∴ f（x）max=f（1）=0．

問題（2）解答

問題（１）的結論 f（x）max=0實際上證明了一個不等式：lnx-x+1≤0，即lnx≤x-1（①）．

所以，解答問題（２）的關鍵在于：如何對題中的數列不等式進行變形，使①式能有“用武之地”？

題①分析：從條件a1b1+a2b2+…+anbn≤b1+b2+…+bn出發來考慮問題顯然比較困難，我們可以嘗試從結論出發． 由于a1b1·a2b2·…·anbn≤1是指數不等式，而①式是對數不等式，故應先將a1b1·a2b2·…·anbn≤1等價轉化為b1lna1+b2lna2+…+bnlnan≤0（②）．運用①式，將lna1≤a1-1，lna2≤a2-1，…，lnan≤an-1代入②式，只要能證明b1（a1-1）+b2（a2-1）+…+bn（an-1）≤0，即可證明a1b1·a2b2·…·anbn≤1． 化簡b1（a1-1）+b2（a2-1）+…+bn（an-1）≤0，可得a1b1+a2b2+…+anbn≤b1+b2+…+bn，而這就是題目的條件！題①得證．

題②分析：除了考慮①式，我們更應考慮用題①的結論來證明題②，因為這兩者更接近．

先證明b1b1·b2b2·…·bnbn≥．為了與a1b1·a2b2·…·anbn≤1同構，可先將b1b1·b2b2·…·bnbn≥變形為·b1·b2·…·bn≤1．麻煩來了，如何將這個“多余”的“滲透”到b1·b2·…·bn中呢？

同學們都有逆代的經驗，由于b1+b2+…+bn=1，所以可看做.由于=b1b2·…·bn，所以·b1·b2·…·bn≤1可轉化為b1·b2·…·bn≤1，這就與題①的結論a1b1·a2b2·…·anbn≤1完全同構了！其中，a1=，a2=，…，an=．

將a1=，a2=，…，an=代入a1b1+a2b2+…+anbn，可得a1b1+a2b2+…+anbn=++…+=1=b1+b2+…+bn. 根據題①的結論“若a1b1+a2b2+…+anbn≤b1+b2+…+bn，則a1b1·a2b2·…·anbn≤1”，可知b1·b2·…·bn≤1成立，即b1b1·b2b2·…·bnbn≥成立．

同樣地，要證明b1b1·b2b2·…·bnbn≤++…+，可將不等式看做b1b1·b2b2·…·bnbn≤（++…+）b1+b2+…+bn． 為了與a1b1·a2b2·…·anbn≤1同構，可將不等式轉化為b1·b2·…·bn≤1 （③），只要證明③式，即可證明b1b1·b2b2·…·bnbn≤++…+.

令ai=（i=1，2，…，n），顯然有a1b1+a2b2+…+anbn＝＝1=b1+b2+…+bn．根據題①的結論“若a1b1+a2b2+…+anbn≤b1+b2+…+bn，則a1b1·a2b2·…·anbn≤1”可得b1·b2·…·bn≤1，即b1b1·b2b2·…·bnbn≤++…+ 成立.

題②得證．

點 評

與其說解答問題（２）需要運用問題（１）的結論，倒不如說問題（１）就是因問題（２）的需要而設置的“引子”． 所以，解決函數問題“題外有題”的策略，就是本著同構的目的逆向思考，執果索因． 當然，有了總體策略并不意味著能夠成功實施，高考數學壓軸題不僅會考查中學數學的基礎知識和基本技能，也會考查數學思想方法.

上述解答中最難的一步就是用代替，要邁出這一步，需要足夠的經驗和敏銳的觀察力．沒有日積月累，便談不上熟能生巧．

練一練

已知g（x）=ln，求證：g（k）>．

參考答案

證明： g（k）=ln+ln+ln+…+ln=ln···…·＝ln=-ln．題目轉化為證明ln< （①）．

∵ n2+n=n（n+1）， ∴ ①式兩邊均可看做關于的函數．由題意可知≥3.為了在解題中運用導數判斷函數的單調性，應當令自變量在［3，+∞）上連續取值． 設t=（n≥2，t≥3），題目轉化為證明lnt＜（t≥3）（②）．

構造函數F（t）=lnt-，并在區間［3，+∞）上討論其單調性．

F′（t）＝-+＝． ∵ t>0，∴+＞2，∴ F′（t）＜0， F（t）在［3，+∞）上單調遞減． 又F（3）=ln3-＜ln10-＜0， ∴ F（t）=lnt-＜0 （t≥3），∴②式成立. g（k）>得證．