數軸標根法的兩個“為什么”

提問：利用數軸標根法解不等式時，為什么要從數軸的右上方開始穿根？

回答：從數軸的右上方開始穿根其實只是一個慣例． 我們可以舉例講解．

例 解不等式（x-1）（x-2）（x-3）（4-x）>0．

解法一： 當x>4時，（x-1）（x-2）（x-3）（4-x）<０．如圖1所示，應該從數軸的右下方開始穿根．由圖1可判斷不等式的解集為（1，2）∪（3，4）．

解法二： 整理不等式使所有未知數x的系數都為正，則有（x-1）（x-2）（x-3）（x-4）<0． 當x>4時，（x-1）（x-2）（x-3）（x-4）>0. 如圖2所示，應該從數軸的右上方開始穿根．由圖2可判斷不等式的解集為（1，2）∪（3，4）．

由例題可以看出，解不等式時，如果各因式中未知數的系數正負不統一，就要判斷應該從數軸的右上方還是右下方開始穿根. 如果整理不等式，使不等式各因式中未知數的系數均為正，就能直接從右上方開始穿根．

同理，如果要用數軸標根法判斷導數值的正負，也要將所有因式中未知數的系數化為正，轉化后，若導數式前面的符號為正，則從數軸的右上方開始穿根；若導數式前面的符號為負，則從數軸的右下方開始穿根．例如：

函數f（x）=-x2+x+lnx定義域為（0，+∞）， f′（x）＝

-．如圖3所示，在區間（0，1］上，f′（x）≥0；在區間（1，+∞）上，f′（x）＜0.

提問： 為什么在穿根的時候要“奇穿偶不穿”？

回答：設x0為不等式對應函數的某一零點，若該零點的因式是奇次冪，如（x-x0）3，則在x0兩側的函數值異號，函數圖象應穿過零點x0；若零點x0的因式是偶次冪，則在x0兩側的函數值同號，函數圖象無需穿過零點x0．

我們也可以這樣考慮：當零點的因式為偶次冪時，設想使函數圖象在該零點原地穿偶數次，其結果就是函數圖象在該零點直接彈回；當零點的因式為奇次冪時，設想讓函數圖象先在該零點原地穿偶數次，再讓函數圖象在最后一次穿過零點．