橢圓“圓化”的好處

圓是特殊的橢圓，相比橢圓來說具有更多優美的性質．通過換元法可將橢圓“圓化”，從而把橢圓問題轉化為關于圓的問題，使解題過程更簡捷．

首先來看橢圓“圓化”的方法. 已知橢圓C的方程為：+=1（a>b>0），將x=aX，y=bY代入橢圓方程，則橢圓化為單位圓C′: X2+Y2=1，坐標系xOy內的任一點P（x，y）化為坐標系XOY內的點P′（X，Y）．我們可以先在坐標系XOY中利用圓的知識解決問題，再還原結果，即可得到答案．

橢圓“圓化”可以簡化不少問題，如直線與橢圓的位置關系問題、橢圓的切線問題以及與弦中點有關的軌跡問題．

簡化直線與橢圓的位置關系問題

例1 求直線Ax+By+C=0與橢圓+=1（a>b>0）有公共點的充要條件．

解：將x=aX，y=bY代入橢圓方程+=1，則橢圓化為單位圓X2+Y2=1，直線化為AaX+BbY+C=0.由直線與圓有公共點的充要條件≤1可得直線Ax+By+C=0與橢圓+=1（a>b>0）有公共點的充要條件為A2a2+B2b2≥C2．

點評：在解決直線與橢圓的位置關系問題時，通常聯立直線方程與橢圓方程，得到一個一元二次方程，再利用判別式進行判斷．而將橢圓“圓化”后，“利用二次方程的判別式判斷直線與橢圓的位置關系”就轉化為“根據圓心到直線的距離d與圓的半徑r的大小關系判斷直線與圓的位置關系”，避免了煩瑣的運算．

由以上解答易得出如下結論：已知直線Ax+By+C=0與橢圓+=1（a>b>0），則直線和橢圓相交的充要條件是A2a2+B2b2>C2，直線和橢圓相切的充要條件是A2a2+B2b2=C2，直線和橢圓相離的充要條件是A2a2+B2b2

簡化橢圓的切線問題

例2 已知橢圓+=1（a>b>0），求在橢圓上一點P（x0，y0）的切線方程．

解：設x=aX，y=bY.則橢圓+=1化為單位圓X2+Y2=1，點P（x0，y0）化為P′，，于是原問題轉化為求單位圓上一點P′處的切線方程.易知圓X2+Y2=1在點P′，的切線方程為+=1，又X=，Y=， ∴ 所求的切線方程為+=1．

點評：通過換元法將橢圓“圓化”，求橢圓的切線轉化為求單位圓的切線．這種解法避免了聯立直線方程與橢圓方程后再利用判別式求切線斜率的煩瑣運算． 用類似的方法也可以求出過橢圓外一點的橢圓的切線方程．

簡化與弦中點有關的軌跡問題

例3 過橢圓 +＝1內一點P（1，1）引動弦AB，求弦中點M的軌跡方程．

解：設M（x，y）. 根據換元法設x=4X，y=2Y，則橢圓+=1化為單位圓X2+Y2=1，點P（1，1）和M（x，y）化為P′，和M′（X，Y），動弦AB變換為A′B′，橢圓中心O變換為圓心O′. ∵ M′為A′B′的中點， ∴在單位圓X2+Y2=1中，O′M′⊥P′M′恒成立. 由此可得點M′（X，Y）的軌跡是以線段O′P′為直徑的圓，圓心坐標為，，半徑r=·O′P′=·=， ∴ 圓方程為X-2+Y-2=． ∵ X＝，Y＝， ∴ 點M的軌跡方程為-2+-2=，即x-2+y-2=．

點評：在橢圓“圓化”的過程中，點分線段的比例是不變的，比如原線段的中點變成了對應線段的中點．例3正是利用了中點不變的性質和圓的幾何性質，實現了快捷求解．

總結：很多橢圓問題都可通過“圓化”來處理. 需要注意的是，雖然“圓化”的變換過程是一一映射的變換，但直線的傾斜角、角的大小、角平分線、線段的長度等元素在“圓化”后都會發生改變，同學們應留意這些變化，避免解題失誤．

以下3個結論是橢圓+=1“圓化”時常見的變化關系，利用這些結論能更方便地解決更多的橢圓問題．

結論1：橢圓弦長AB與對應圓的弦長A′B′滿足關系式A′B′＝AB（k為直線AB的斜率）；

結論2： 橢圓內三角形變換后仍為三角形，其面積為原來的，即S′＝S；

結論3： 橢圓內直線變換后仍為直線，其斜率為原來的，即k′＝k．

【練一練】

1． 已知橢圓C：x2+=1與直線l：y=2x+m相交于兩點，求m的取值范圍．

2． 已知橢圓C：+y2=1和直線l：x+y+m=0相交于A，B兩點，若AB=，求m的值．

【參考答案】

1． 解： 設x=X，y=2Y，代入換元，則有單位圓C′：X2+Y2＝1，直線l′：2Y-2X-m＝0．由題意可知直線l′與圓C′有兩個公共點， ∴ ＜1，解得ｍ∈（-2，2）．

2． 解： 設x=2X，y=Y，代入換元，則有單位圓C′：X2+Y2＝1，直線l′：2X+Y+m＝0． 在單位圓C′中，圓心O′（0，0）到A′B′的距離為d=，由勾股定理可得A′B′2=41-. 由題意可知AB的斜率k＝-1，又AB=，由正文結論1可得A′B′2＝41-=AB2=·2=，解得m=±1．