解析幾何:注重方法,常考常新

主 講： 沈新權

浙江省數學特級教師，嘉興市數學會副會長.

推薦名言

最有價值的知識是關于方法的知識．

——勒內·笛卡爾 （法國數學家，創立了解析幾何，引入了坐標系及線段的運算概念，被稱為“解析幾何之父”）

作為自主招生考試的必考內容之一，解析幾何重點考查三類問題：一是直線、圓、圓錐曲線中的基本概念、標準方程、幾何性質等基礎知識，二是直線與圓錐曲線的位置關系問題，三是二次曲線與二次曲線的位置關系問題.這三類問題常考常新．

解析幾何體現了典型的數形結合思想.在解析幾何題中，計算占了很大的比重，對運算能力要求很高.曲線的定義和性質是解題的基礎，同學們應根據題意，充分利用曲線的性質簡化計算. 此外，解析幾何題還考查函數與方程思想、化歸轉化思想、特殊與一般的思想等數學思想方法．

一、方程與幾何性質問題

例1 （2011年“北約”自主招生考試第2題） 求過拋物線y=2x2-2x-1，y=-5x2+2x+3兩交點的直線方程．

解析： 將方程y=2x2-2x-1的兩邊同乘以，得y=5x2-5x-（①），①式與方程y=

-5x2+2x+3相加可得y=-3x+，整理得6x+7y-1=0． 若（a，b）是兩拋物線的交點，則（a，b）必滿足方程6x+7y-1=0，∴ 6x+7y-1=0即為所求直線方程．

點評： 一般來說，同學們會直接聯立方程，求出兩拋物線的交點，再求出直線方程．這種方法比較尋常，但運算比較復雜. 上述解法可以大大減少運算量，方便地求出目標方程. 但運用這種方法的前提是判斷拋物線確有兩個交點．

例2 （2011年“華約”自主招生考試第14題） 已知雙曲線-=1（a>0，b>0），F1，F2是左、右焦點，P是雙曲線右支上一點，且∠F1PF2＝，S△FPF＝3a2. （1）求離心率；（2）若點 A為雙曲線左頂點，Q為右支上任一點，問是否存在常數λ，使∠QAF2＝λ·∠QF2A恒成立？

解析： （1） 我們可以在△F1PF2中考慮問題，尋找PF1·PF2與S△FPF的關系． ∵ F1F22=PF12+PF22-2PF1·PF2cos=（PF1-PF2）2+2PF1·PF2-2PF1·PF2cos，即（2c）2=（2a）2+PF1·PF2，∴PF1·PF2＝4c2-4a2=4b2， ∴ S△FPF=PF1·PF2sin=b2=3a2，即b2=3a2， ∴ e=2．

（2） 由（1）得，雙曲線方程可表示為-=1.此時F2（2a，0），A（-a，0）． 如圖1所示，設Q（x1，y1）且存在符合題意的常數λ（λ＞0）．

當QF2⊥x軸時，將點Q的橫坐標x1=2a代入雙曲線方程，解得QF2=y1＝3a. 又AF2=3a， ∴△QF2A是等腰直角三角形，∠QAF2＝，∠QF2A＝，此時λ＝．

當點Q為雙曲線右頂點時，∠QAF2＝∠QF2A＝0，∠QAF2＝∠QF2A也成立．

下面證明當QF2不垂直于x軸且Q不為雙曲線右頂點時，∠QAF2＝∠QF2A也成立．

設點Q在第四象限. ∵點Q在雙曲線的右支上，∴直線QA的斜率kQA存在且kQA=. ∵ QF2不垂直于x軸， ∴ 直線QF2的斜率kQF存在且kQF＝.

tan2∠QAF2＝＝＝（①）． ∵-＝1， ∴＝3（-a2）=3（x1+a）（x1-a），代入①式可得 tan2∠QAF2=.又tan∠QF2A=kQF=， ∴ tan2∠QAF2＝tan∠QF2A． 當點Q在第一象限時，同理可得tan2∠QAF2＝tan∠QF2A.

當Q無限趨近于右頂點時，∠QAF2與∠QF2A無限趨近于0．當QF2垂直于x軸時，已證得∠QAF2＝，∠QF2A＝． 由于雙曲線的漸近線方程為y=±x，即兩條漸近線的傾斜角分別為，，要使AQ始終與雙曲線的右支交于點Q，必有∠QAF2始終小于，∠QF2A始終小于，由此可得∠QAF2∈0，∪，，∠QF2A∈0，∪，， ∴ ∠QF2A∈0，∪，，∠QAF2＝∠QF2A成立．

綜上可得，存在常數λ＝使∠QAF2＝∠QF2A恒成立．

點評： 例2的解題過程中運用了特殊與一般的數學思想．

例3 （2009年南京大學自主招生考試第13題） 在x軸上方作與x軸相切的圓，切點橫坐標為. 過B（-3，0），C（3，0）分別作圓的切線，兩切線交于點P. Q是C在銳角∠BPC角平分線上的射影. （1） 求點P的軌跡方程及其橫坐標的取值范圍；（2） 求點Q的軌跡方程．

解析： （1） 如圖2所示，設x軸與圓的切點為D， PB，PC切圓于點E，F. ∵PE＝PF，BE＝BD，CD＝CF，∴PB-PC＝BD-CD＝（+3）-（3-）＝2． ∵ B，C是定點，∴根據雙曲線的定義可知，點P的軌跡是以B，C為焦點的雙曲線-=1的右上支，其中a=，c==3， ∴ b2=6，點P的軌跡方程為-＝1（x>0，y>0）. ∵該雙曲線右頂點的坐標為（，0），恰好為圓與x軸的切點，∴點P的橫坐標的取值范圍是（，+∞）．

（2） 延長CQ交PB于M． ∵ PQ是∠CPM的角平分線，又由題意知CQ⊥PQ，即CM⊥PQ， ∴ △CPM是以CM為底邊的等腰三角形，∴PM＝PC， ∴PB-PC=PB-PM=BM. ∵ PB-PC=2， ∴ BM=2． 聯結OQ，∵ O為BC中點，Q為CM中點， ∴ OQ為△MBC的中位線，OQ=BM=. ∵ O（0，0）， ∴點Q的軌跡方程為x2+y2=3，其中x∈（0，），y∈（0，）．

點評：上述解法結合圖形特征，充分利用幾何性質解決問題，真正體現了數形結合思想．

二、直線與圓錐曲線的位置關系問題

直線與圓錐曲線的位置關系問題，歸根結底是聯立直線方程與圓錐曲線方程所得的方程組的問題．在解決這類問題時，要注意運用直線與圓錐曲線位置關系的相關公式與方法，如“弦長公式”“設而不求”“點差法”等.

例4 （2006年上海交通大學自主招生考試第12題） 橢圓+y2=1（a>0），一頂點A（0，1），問是否存在以A為直角頂點且內接于橢圓的等腰直角三角形？若存在，求出共有幾個；若不存在，請說明理由．

解析： 如圖3所示，設直角三角形的另外兩個頂點分別為B，C. 由題意可知AB的斜率存在. 設AB的方程為y=kx+1（k>0），代入+y2=1，得+k2x2+2kx=0，解得xB=-． 由弦長公式得AB＝·． 由AB⊥AC可得AC的斜率為-，同理可得AC=·． ∵AB＝AC，k>0， ∴化簡可得k3-a2k2+a2k-1=0，即（k-1）［k2+（1-a2）·k+1］=0 （①）， 解得k=1或k2+（1-a2）k+1=0. 下面我們討論方程k2+（1-a2）k+1=0 （a>0）的解的個數．

當Δ＞0即a>時，方程k2+（1-a2）k+1=0顯然有兩個不等于1且大于0的實數根，所以①式共有3個不同的實數解，即滿足條件的三角形有3個；

當Δ=0即a=時，方程k2+（1-a2）k+1=0的解為k=1，所以①式只有1個實數解，即滿足條件的三角形有1個；

當Δ<0即0

綜上可得，當a>時，滿足條件的等腰直角三角形有3個；當0＜a≤時，滿足條件的等腰直角三角形有1個．

點評：在例4中，等腰直角三角形的個數就是直線AB的斜率k的解的個數，因此討論（k+1）［k2+（1-a2）k+1］=0的解的個數就可得到答案．另外，由于AB，AC 的斜率互為負倒數，所以只要將AB＝·中的k換成-就能得到AC．在解答解析幾何問題時，要注意運用類似的運算技巧．

例5 （2010年“華約”自主招生考試第12題） A，B，C，D在拋物線x2=4y上，A，D關于拋物線的對稱軸對稱．過點D作拋物線的切線， BC平行于切線，點D到AB，AC的距離分別為d1，d2，d1+d2＝AD． （1） 試問：△ABC是銳角、鈍角還是直角三角形？（2） 若△ABC的面積為240，求點A的坐標和BC的方程．

解析： （1）如圖4所示，由題意可知AD平行于x軸，設Dx0，，則A-x0，． 設Cx1，，Bx2，，則kAC=（x1-x0）． 由x2=4y可得過點D的切線的斜率為x0， ∴ kBC＝（x1+x2）＝x0， ∴ x2＝2x0-x1，B2x0-x1，（2x0-x1）2，由此可得kAB＝（x0-x1）. ∴ kAC＝-kAB，∠DAC＝∠DAB． ∵ AD?奐∠DAC且AD?奐∠DAB， ∴∠DAC與∠DAB關于AD對稱． 又d1，d2分別為點D到AB，AC的距離，∴ d1＝d2，由d1+d2＝AD可知∠DAC＝∠DAB＝45°， ∴∠BAC=90°，△ABC是直角三角形．

（2） 設點C在AD上方． ∵ ∠DAB＝45°， ∴ kAB＝-1. ∵ A-x0，， ∴ AB的方程為y-＝-（x+x0）． 代入x2=4y，解得Bx0-4，（x0-4）2.同理可得Cx0+4，（x0+4）2. ∴AB＝2x0-2，AC＝2x0+2． 由S△ABC＝·AB·AC＝240解得x0=±8， ∴ A（8，16） ，B（-12，36），C（-4，4）或A（-8，16） ，B（4，4），C（12，36）． BC的方程為4x+y+12=0或4x-y-12=0．

點評： 例5的求解過程充分使用了“設而不求”的方法，避免了復雜計算．

例6 （2009年清華大學自主招生考試第3題） 有限條拋物線及其內部能否覆蓋整個坐標平面？證明你的結論．

解析： 如果有限條拋物線及其內部能夠覆蓋整個坐標平面，則這有限條拋物線及其內部能夠覆蓋坐標平面上任意一條直線．從這個角度出發，我們可以考慮坐標平面上直線與拋物線的位置關系．如果直線與拋物線的對稱軸不平行，則直線與拋物線的位置關系有三種可能：①直線與拋物線總有兩個交點；②直線與拋物線只有一個切點；③直線與拋物線無公共點．

對于①，拋物線及其內部僅覆蓋該直線上的一段線段；對于②，拋物線及其內部僅覆蓋該直線上的一個點；對于③，拋物線及其內部不能覆蓋該直線上的任意一點．因此，用有限條拋物線及其內部不能覆蓋與這有限條拋物線的對稱軸均不平行的直線，而平面中存在著這樣的直線．

假設平面內有n條拋物線，則拋物線的對稱軸也有n條，那么平面中至少存在一條與這n條直線都相交的直線．也就是說，用有限條拋物線及其內部不能覆蓋平面中的一條直線，當然更不能覆蓋整個坐標平面．

三、二次曲線與二次曲線的位置關系問題

二次曲線與二次曲線的位置關系問題，歸根結底是聯立兩個曲線方程得到的方程組的問題. 在方程組的消元過程中，要注意字母取值范圍的等價性，否則容易造成疏漏．

例7 （2008年浙江大學自主招生考試第2題） 橢圓x2+4（y-a）2=4與拋物線x2=2y有公共點，求a的取值范圍．

解析： 聯立方程得2y2+（1-4a）y+2a2-2=0（①）. ∵橢圓與拋物線有公共點，又y=≥0，∴方程①在［0，+∞）上有解．當Δ>0時，設方程①有兩個不同的解y1，y2，則有兩種可能：若方程在［0，+∞）上有一個解，在（-∞，0）上有另一個解（該解不合題意，舍去），則Δ＞0，y1y2=a2-1≤0；解得a∈［-1，1］. 若方程的兩個解都在［0，+∞）上，則Δ＞0，y1+y2>0，y1y2≥0；此時a∈1，. 若方程僅在［0，+∞）上有一個解，則Δ＝0，解得a=，此時y1=y2=∈［0，+∞）. 綜上可得，a的取值范圍為-1，．

點評： 例7也可以通過設橢圓的參數方程為x=2cosθ，y=a+sinθ（θ為參數且θ∈［0，2π）），然后代入拋物線方程，轉化為三角函數問題來求出a的取值范圍．

下期預告

立體幾何問題對空間想象能力要求較高，在解題時該如何化難為易呢？在下期內容中，我們將介紹自主招生考試中立體幾何的考查重點、考查方向以及突破立體幾何問題的方法與技巧．