自主探索 合作交流

【摘 要】該文結合數學新課程教學實踐，以《因式分解》復習課的教學設計為例，就貫徹落實新課程基本理念，促進學生數學綜合素養發展的問題作一探討。

【關鍵詞】初中數學；因式分解；復習課；教學設計

《義務教育數學課程標準(2011版)》指出：“數學教學活動是師生積極參與、交往互動、共同發展的過程。有效的教學活動是學生學與教師教的統一，學生是學習的主體，教師是學習的組織者、引導者與合作者。”這是新課標提出的課程基本理念之一。筆者在平時教學中，努力貫徹落實新課程基本理念，處理好講授與學生自主學習的關系，引導學生獨立思考、主動探索、合作交流，促進學生知識技能、數學思考、問題解決、情感態度的數學綜合素養的發展。下面以《因式分解》復習課的教學設計為例，就此作一探討。

一、本課的教學目標

因式分解是代數式的一種重要恒等變形。它是學習分式的基礎，又在代數式的運算、解方程、函數中有廣泛的應用。本課是繼《因式分解》新課后安排的一堂復習課，旨在達到以下教學目標。

1.進一步理解因式分解的意義及其與整式乘法的區別和聯系。

2.抓住乘法公式的結構特征，熟練應用乘法公式進行分解因式。

3.根據多項式的項數和特點確定因式分解方法，注意因式分解的徹底性。

4.培養學生全面觀察問題與分析問題的能力，通過例題和練習，提高學生的逆向思維能力，打破思維定勢，形成代數意識和嚴謹的學習態度。

二、本課的重點和難點

1．重點是掌握提取公因式法、公式法、十字相乘法、分組分解法四種基本方法。

2.難點是根據題目的形式和特征恰當選擇方法進行因式分解，以提高綜合解題能力。

三、本課的教學方式與理念

教師梳理引導與學生自主學習相結合；學生獨立思考與小組合作探索相結合；師生合作互動與生生實踐體驗相結合；現代信息技術與本課教學內容的有效整合。

四、教學過程設計

（一）知識梳理

1.因式分解概念：把一個多項式化為幾個整式的積的形式，叫做把這個多項式因式分解，也叫做把這個多項式分解因式。

2.因式分解和整式乘法的關系：因式分解和整式乘法是整式恒等變形的正、逆過程，整式乘法的結果是整式，因式分解的結果是乘積式。

3.因式分解的常用方法：提公因式法、運用公式法、十字相乘法及分組分解法。

該環節主要由教師利用多媒體課件結合講解來進行。涉及的公式由學生代表通過板書來演示。梳理和回憶已有知識，是為后續的運用知識，主動探索作鋪墊。

(二)基礎訓練

1.下列由左邊到右邊的變形，哪些是整式乘法，哪些是因式分解？

(1)(x+2)(x-2)=x2-4； (2)x2-4=(x+2)(x-2)；

⑶x2-4+3x=(x+2)(x-2)+3x； (4)x2+4-4x=(x-2)2。

2.4x2-8xy+6x=____(2x-4y+3)

3.16x2-____=(4x+5y)(4x-5y)

4.若x2+mxy+9y2=(x-3y)2，則m=_____

5.a3+(2b)3=(a+2b)(____)

6.利用1個a×a的正方形，1個b×b的正方形和2個a×b的正方形可拼成一個正方形， 從而可得到因式分解的公式_____。

該環節主要由學生通過獨立思考，自主完成。教師用多媒體逐一演示題目，學生舉手搶答。教師應根據題目的難易，留給學生合適的思考時間，同時注意分層教學，根據學生的基礎水平，分別解答不同層次的問題，特別是要讓學習困難學生體驗到成功答題的快樂。

(三) 經典考題剖析

例1：把下列各式分解因式：

(1)xy2-9x (2)a2+a-6

(3)2m2-2m+ (4)4x2+2xy-12y2

分析：

(1)進行因式分解時，如果多項式中有公因式，則首先要提公因式。本題可以先提公因式x，然后再運用平方差公式來分解；

(2)二次三項式的因式分解，可嘗試用十字相乘法來分解；

(3)通過觀察系數特征，可提公因式2或，然后利用完全平方公式進行分解；

(4)應先提取公因數(式)，再用十字相乘法來分解。

例2：把下列各式分解因式：

(1)a6b-a2b5 (2)(a-b)2+6(b-a)+9

(3)a3(a-b)-8(a-b) (4)(x2+3x)2-2(x2+3x+4)

(5)4x2-4xy+y2-z2 (6)a3-a+2b-2a2b

分析：

(1)首先提公因式a2b，然后再用平方差公式分解。注意要對每一個因式分解到不能分解為止；

(2)注意到b-a=-(a-b)或(a-b)2=(b-a)2，再利用整體思想和公式法分解；

(3)先提公因式(a-b)，然后用立方差公式分解；

(4)把x2+3x看作一個整體，然后利用十字相乘法來分解；

（5)(6)對于四項或四項以上的多項式的因式分解，一般采用分組分解法。

該環節包括多媒體演示的不同層次、不同類型的10道題，由小組合作完成。每組重點準備一道題，并派一位同學匯報，重點交流解題思路。在時間有余時，可討論思考其他題目。教師要給學生足夠的時間和空間來觀察、思考、討論，真正體現自主探索、合作共享的理念。

(四)常見錯誤糾正

例1：因式分解(x2+3x)2－(2x+6)2。

誤解一：原式=(x2+3x+2x+6)(x2+3x-2x-6)=(x2+5x+6)(x2+x-6)。

誤解二：原式=(x2+3x+2x+6)(x2+3x-2x-6)=(x2+5x+6)(x2+x-6)=(x+3)(x+2)(x-2)(x+3) =(x2－4)(x+3)2。

分析：誤解一沒有把每一個因式徹底分解；誤解二混淆了因式分解與整式乘法的區別，走了回頭路。

正解：原式=(x2+3x+2x+6)(x2+3x-2x-6)=(x2+5x+6)(x2+x-6)=(x+3)(x+2)(x+3)(x-2)=(x+3)2(x+2)(x-2)。

例2：因式分a2+ab+b2。

誤解：原式=a2+2ab+b2=(a+b)2。

分析：誤解混淆了因式分解的恒等變形與解方程中的同解變形。

正解：原式=(a2+2ab+b2)=(a+b)2。

例3：因式分解－4a3b2+6a2b－2ab。

誤解：原式=-(4a3b2-6a2b+2ab)=-2ab(2a2b-3a)。

分析：當多項式中的某一項恰是公因式時，該項提出公因式后應是1，誤解中漏了項1。

正解：原式=－(4a3b2－6a2b+2ab)=－2ab(2a2b－3a+1)。

該環節的三道題，由師生互換角色合作完成。教師先在多媒體上進行誤解，讓學生來糾錯，并說出錯在哪兒，目的是警示學生不要重犯類似錯誤，體現師生合作學習、共同發展的理念。

(五)拓展延伸

1.計算：1-1-…1-1-。

2.已知 y-x=2，x-3y=-1，求x2-4xy+3y2的值。

3.已知a、b、c是△ABC的三邊，且滿足a2(a2-b2)=(a2-b2)(c2-b2)試判斷三角形ABC的形狀。

分析：

1.先分解因式后約分，則余下首尾兩數；

2．由于x2-4xy+3y2=(x-y)(x-3y)，所以原式的值很快就可求出。想一想，還有沒有其他方法，并對不同的方法進行比較、總結；

3．給出的是三邊之間的關系，通過移項提取公因式可得出結論。

該環節由小組合作探索完成，教師根據題目難易和10個小組的實際情況，完成指定的題目，最后通過交流，共享成果。

(六)小結反思

師生通過互動，反思分解因式的一般方法和常見的思維誤區。由于學生親身體驗了前述五個環節的探索過程，該環節的完成自然是水到渠成、順理成章的事。

1.分解因式的一般方法

1)首先考慮是否有公因式，如有則一定先提取公因式，再考慮其它方法；

2)兩項式：一般可考慮用平方差公式，立方和公式，立方差公式；

3)三項式：一般可考慮用完全平方公式，十字相乘法；

4)四項式及以上，可先進行適當分組，再分解因式。

2.分解因式時常見的思維誤區

1)提取公因式時，應找系數的最大公約數及相同字母的最低次冪，而不是以首項為準；

2)若有一項被全部提出，括號內的項“ 1”易漏掉；

3)分解不徹底。

本課著眼于因式分解的概念、方法及分解因式的一般步驟，由于多項式因式分解的條件限制性，學會觀察、判斷、歸納，從而加強解題技能，發展思維。本課利用現代信息技術與課程內容的整合，順利完成了教學任務，實現了高效、有效教學；在師生互動和生生互動中，在學生主動實踐體驗中，踐行了師生合作，共同發展的過程；達成了知識技能、數學思考、問題解決、情感態度的多維教學目標。

【參考文獻】

[1]教育部.義務教育數學課程標準[S].北京:北京師范大學出版社，2011

（作者單位：江蘇省昆山市玉峰實驗學校）