自主探索 合作交流

【摘 要】該文結(jié)合數(shù)學(xué)新課程教學(xué)實(shí)踐，以《因式分解》復(fù)習(xí)課的教學(xué)設(shè)計(jì)為例，就貫徹落實(shí)新課程基本理念，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)綜合素養(yǎng)發(fā)展的問題作一探討。

【關(guān)鍵詞】初中數(shù)學(xué)；因式分解；復(fù)習(xí)課；教學(xué)設(shè)計(jì)

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2011版)》指出：“數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)是師生積極參與、交往互動(dòng)、共同發(fā)展的過程。有效的教學(xué)活動(dòng)是學(xué)生學(xué)與教師教的統(tǒng)一，學(xué)生是學(xué)習(xí)的主體，教師是學(xué)習(xí)的組織者、引導(dǎo)者與合作者?！边@是新課標(biāo)提出的課程基本理念之一。筆者在平時(shí)教學(xué)中，努力貫徹落實(shí)新課程基本理念，處理好講授與學(xué)生自主學(xué)習(xí)的關(guān)系，引導(dǎo)學(xué)生獨(dú)立思考、主動(dòng)探索、合作交流，促進(jìn)學(xué)生知識(shí)技能、數(shù)學(xué)思考、問題解決、情感態(tài)度的數(shù)學(xué)綜合素養(yǎng)的發(fā)展。下面以《因式分解》復(fù)習(xí)課的教學(xué)設(shè)計(jì)為例，就此作一探討。

一、本課的教學(xué)目標(biāo)

因式分解是代數(shù)式的一種重要恒等變形。它是學(xué)習(xí)分式的基礎(chǔ)，又在代數(shù)式的運(yùn)算、解方程、函數(shù)中有廣泛的應(yīng)用。本課是繼《因式分解》新課后安排的一堂復(fù)習(xí)課，旨在達(dá)到以下教學(xué)目標(biāo)。

1.進(jìn)一步理解因式分解的意義及其與整式乘法的區(qū)別和聯(lián)系。

2.抓住乘法公式的結(jié)構(gòu)特征，熟練應(yīng)用乘法公式進(jìn)行分解因式。

3.根據(jù)多項(xiàng)式的項(xiàng)數(shù)和特點(diǎn)確定因式分解方法，注意因式分解的徹底性。

4.培養(yǎng)學(xué)生全面觀察問題與分析問題的能力，通過例題和練習(xí)，提高學(xué)生的逆向思維能力，打破思維定勢，形成代數(shù)意識(shí)和嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)習(xí)態(tài)度。

二、本課的重點(diǎn)和難點(diǎn)

1．重點(diǎn)是掌握提取公因式法、公式法、十字相乘法、分組分解法四種基本方法。

2.難點(diǎn)是根據(jù)題目的形式和特征恰當(dāng)選擇方法進(jìn)行因式分解，以提高綜合解題能力。

三、本課的教學(xué)方式與理念

教師梳理引導(dǎo)與學(xué)生自主學(xué)習(xí)相結(jié)合；學(xué)生獨(dú)立思考與小組合作探索相結(jié)合；師生合作互動(dòng)與生生實(shí)踐體驗(yàn)相結(jié)合；現(xiàn)代信息技術(shù)與本課教學(xué)內(nèi)容的有效整合。

四、教學(xué)過程設(shè)計(jì)

（一）知識(shí)梳理

1.因式分解概念：把一個(gè)多項(xiàng)式化為幾個(gè)整式的積的形式，叫做把這個(gè)多項(xiàng)式因式分解，也叫做把這個(gè)多項(xiàng)式分解因式。

2.因式分解和整式乘法的關(guān)系：因式分解和整式乘法是整式恒等變形的正、逆過程，整式乘法的結(jié)果是整式，因式分解的結(jié)果是乘積式。

3.因式分解的常用方法：提公因式法、運(yùn)用公式法、十字相乘法及分組分解法。

該環(huán)節(jié)主要由教師利用多媒體課件結(jié)合講解來進(jìn)行。涉及的公式由學(xué)生代表通過板書來演示。梳理和回憶已有知識(shí)，是為后續(xù)的運(yùn)用知識(shí)，主動(dòng)探索作鋪墊。

(二)基礎(chǔ)訓(xùn)練

1.下列由左邊到右邊的變形，哪些是整式乘法，哪些是因式分解？

(1)(x+2)(x-2)=x2-4； (2)x2-4=(x+2)(x-2)；

⑶x2-4+3x=(x+2)(x-2)+3x； (4)x2+4-4x=(x-2)2。

2.4x2-8xy+6x=____(2x-4y+3)

3.16x2-____=(4x+5y)(4x-5y)

4.若x2+mxy+9y2=(x-3y)2，則m=_____

5.a3+(2b)3=(a+2b)(____)

6.利用1個(gè)a×a的正方形，1個(gè)b×b的正方形和2個(gè)a×b的正方形可拼成一個(gè)正方形， 從而可得到因式分解的公式_____。

該環(huán)節(jié)主要由學(xué)生通過獨(dú)立思考，自主完成。教師用多媒體逐一演示題目，學(xué)生舉手搶答。教師應(yīng)根據(jù)題目的難易，留給學(xué)生合適的思考時(shí)間，同時(shí)注意分層教學(xué)，根據(jù)學(xué)生的基礎(chǔ)水平，分別解答不同層次的問題，特別是要讓學(xué)習(xí)困難學(xué)生體驗(yàn)到成功答題的快樂。

(三) 經(jīng)典考題剖析

例1：把下列各式分解因式：

(1)xy2-9x (2)a2+a-6

(3)2m2-2m+ (4)4x2+2xy-12y2

分析：

(1)進(jìn)行因式分解時(shí)，如果多項(xiàng)式中有公因式，則首先要提公因式。本題可以先提公因式x，然后再運(yùn)用平方差公式來分解；

(2)二次三項(xiàng)式的因式分解，可嘗試用十字相乘法來分解；

(3)通過觀察系數(shù)特征，可提公因式2或，然后利用完全平方公式進(jìn)行分解；

(4)應(yīng)先提取公因數(shù)(式)，再用十字相乘法來分解。

例2：把下列各式分解因式：

(1)a6b-a2b5 (2)(a-b)2+6(b-a)+9

(3)a3(a-b)-8(a-b) (4)(x2+3x)2-2(x2+3x+4)

(5)4x2-4xy+y2-z2 (6)a3-a+2b-2a2b

分析：

(1)首先提公因式a2b，然后再用平方差公式分解。注意要對每一個(gè)因式分解到不能分解為止；

(2)注意到b-a=-(a-b)或(a-b)2=(b-a)2，再利用整體思想和公式法分解；

(3)先提公因式(a-b)，然后用立方差公式分解；

(4)把x2+3x看作一個(gè)整體，然后利用十字相乘法來分解；

（5)(6)對于四項(xiàng)或四項(xiàng)以上的多項(xiàng)式的因式分解，一般采用分組分解法。

該環(huán)節(jié)包括多媒體演示的不同層次、不同類型的10道題，由小組合作完成。每組重點(diǎn)準(zhǔn)備一道題，并派一位同學(xué)匯報(bào)，重點(diǎn)交流解題思路。在時(shí)間有余時(shí)，可討論思考其他題目。教師要給學(xué)生足夠的時(shí)間和空間來觀察、思考、討論，真正體現(xiàn)自主探索、合作共享的理念。

(四)常見錯(cuò)誤糾正

例1：因式分解(x2+3x)2－(2x+6)2。

誤解一：原式=(x2+3x+2x+6)(x2+3x-2x-6)=(x2+5x+6)(x2+x-6)。

誤解二：原式=(x2+3x+2x+6)(x2+3x-2x-6)=(x2+5x+6)(x2+x-6)=(x+3)(x+2)(x-2)(x+3) =(x2－4)(x+3)2。

分析：誤解一沒有把每一個(gè)因式徹底分解；誤解二混淆了因式分解與整式乘法的區(qū)別，走了回頭路。

正解：原式=(x2+3x+2x+6)(x2+3x-2x-6)=(x2+5x+6)(x2+x-6)=(x+3)(x+2)(x+3)(x-2)=(x+3)2(x+2)(x-2)。

例2：因式分a2+ab+b2。

誤解：原式=a2+2ab+b2=(a+b)2。

分析：誤解混淆了因式分解的恒等變形與解方程中的同解變形。

正解：原式=(a2+2ab+b2)=(a+b)2。

例3：因式分解－4a3b2+6a2b－2ab。

誤解：原式=-(4a3b2-6a2b+2ab)=-2ab(2a2b-3a)。

分析：當(dāng)多項(xiàng)式中的某一項(xiàng)恰是公因式時(shí)，該項(xiàng)提出公因式后應(yīng)是1，誤解中漏了項(xiàng)1。

正解：原式=－(4a3b2－6a2b+2ab)=－2ab(2a2b－3a+1)。

該環(huán)節(jié)的三道題，由師生互換角色合作完成。教師先在多媒體上進(jìn)行誤解，讓學(xué)生來糾錯(cuò)，并說出錯(cuò)在哪兒，目的是警示學(xué)生不要重犯類似錯(cuò)誤，體現(xiàn)師生合作學(xué)習(xí)、共同發(fā)展的理念。

(五)拓展延伸

1.計(jì)算：1-1-…1-1-。

2.已知 y-x=2，x-3y=-1，求x2-4xy+3y2的值。

3.已知a、b、c是△ABC的三邊，且滿足a2(a2-b2)=(a2-b2)(c2-b2)試判斷三角形ABC的形狀。

分析：

1.先分解因式后約分，則余下首尾兩數(shù)；

2．由于x2-4xy+3y2=(x-y)(x-3y)，所以原式的值很快就可求出。想一想，還有沒有其他方法，并對不同的方法進(jìn)行比較、總結(jié)；

3．給出的是三邊之間的關(guān)系，通過移項(xiàng)提取公因式可得出結(jié)論。

該環(huán)節(jié)由小組合作探索完成，教師根據(jù)題目難易和10個(gè)小組的實(shí)際情況，完成指定的題目，最后通過交流，共享成果。

(六)小結(jié)反思

師生通過互動(dòng)，反思分解因式的一般方法和常見的思維誤區(qū)。由于學(xué)生親身體驗(yàn)了前述五個(gè)環(huán)節(jié)的探索過程，該環(huán)節(jié)的完成自然是水到渠成、順理成章的事。

1.分解因式的一般方法

1)首先考慮是否有公因式，如有則一定先提取公因式，再考慮其它方法；

2)兩項(xiàng)式：一般可考慮用平方差公式，立方和公式，立方差公式；

3)三項(xiàng)式：一般可考慮用完全平方公式，十字相乘法；

4)四項(xiàng)式及以上，可先進(jìn)行適當(dāng)分組，再分解因式。

2.分解因式時(shí)常見的思維誤區(qū)

1)提取公因式時(shí)，應(yīng)找系數(shù)的最大公約數(shù)及相同字母的最低次冪，而不是以首項(xiàng)為準(zhǔn)；

2)若有一項(xiàng)被全部提出，括號(hào)內(nèi)的項(xiàng)“ 1”易漏掉；

3)分解不徹底。

本課著眼于因式分解的概念、方法及分解因式的一般步驟，由于多項(xiàng)式因式分解的條件限制性，學(xué)會(huì)觀察、判斷、歸納，從而加強(qiáng)解題技能，發(fā)展思維。本課利用現(xiàn)代信息技術(shù)與課程內(nèi)容的整合，順利完成了教學(xué)任務(wù)，實(shí)現(xiàn)了高效、有效教學(xué)；在師生互動(dòng)和生生互動(dòng)中，在學(xué)生主動(dòng)實(shí)踐體驗(yàn)中，踐行了師生合作，共同發(fā)展的過程；達(dá)成了知識(shí)技能、數(shù)學(xué)思考、問題解決、情感態(tài)度的多維教學(xué)目標(biāo)。

【參考文獻(xiàn)】

[1]教育部.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)[S].北京:北京師范大學(xué)出版社，2011

（作者單位：江蘇省昆山市玉峰實(shí)驗(yàn)學(xué)校）