淺談初中數學教學中建模思想的滲透

《義務教育數學課程標準》指出：在數學教學中，應當注重發展學生的數感、符號意識、空間觀念、幾何直觀、數據分析觀念、運算能力、推理能力和建模思想。數學模型就是對于生活實際中的數量之間關系，運用數學工具通過數學語言表達的一種數學結構。數學模型的建立是學生主動聯系數學與生活的重要途徑。《課程標準》明確了數學建模的過程：從現實生活和具體情境中抽象出數學問題，用數學符號建立方程、不等式、函數等表示數學問題中的數量關系和變化規律，求出結果并討論結果的意義。數學教學的實質就是引導學生學習前人已經構建的數學模型和學會如何構建數學模型的過程。數學建模思想滲透于初中數學的各個方面。運用數學建模思想解決實際問題的核心就是培養學生對實際問題通過觀察、分析與相應的數學知識相聯系而構建出數學模型，把實際問題數學化，運用數學觀點方法解決實際問題，感受數學來源于并服務于生活。數學建模與觀察力、分析和綜合能力、抽象和概括能力相聯系。數學教學中要讓學生親身經歷從實際問題抽象成數學模型并得以解決的全過程，促進學生在知識技能、過程與方法、情感態度與價值觀等多方面得到發展與進步。

一、在“數與代數”的教學中滲透數學建模思想

《課程標準》指出：“數與代數”的內容主要包括數與式、方程與不等式、函數，它們都是研究數量關系和變化規律的數學模型，幫助人們從數量關系的角度準確、清晰地認識現實世界。如建立不等式模型解決實際問題：某商店舉行促銷優惠活動，方案一：用168元購買會員卡成為會員后，憑會員卡購買商店內的任何商品，一律按商品價格的8折優惠；方案二：若不購買會員卡，則購買商店內任何商品，一律按商品價格的9.5折優惠。請你幫小麗算一算，所購買的商品的價格在什么范圍時，采用方案一更合算。抓住“采用方案一更合算”建立“方案一的費用＜方案二的費用”這樣不等式的數學模型，從而在實際生活問題中提煉出利用不等式解決的數學問題。再如建立函數模型解決實際問題，函數反映了現實世界中變量之間的關系，函數思想通過提出問題的數學特征，建立函數關系式從而解決實際問題，體現了聯系和變化的辯證唯物主義世界觀。構建函數模型的關鍵是挖掘實際問題中變量之間的關系，建立函數關系式并準確運用函數的性質。如：某電信公司推出甲、乙兩種收費方式供手機用戶選擇：甲種方式每月收費25元，每分鐘通話費為0.2元；乙種方式不收月租費，每分鐘通話費為0.45元；請你根據通話時間的多少選擇一種合適的方式。在這個實際問題中，通話費用隨通話時間的變化而變化，這兩個變量之間存在著一次函數關系，因此應分別建立兩種通話費與通話時間的函數關系式，從而構建函數模型解決問題。設通話時間為x分鐘，甲種通話費為y甲元，乙種通話費為y乙元。y甲=0.2x+25，y乙=0.45x，（1）若y甲＞y乙，即0.2x+25＞0.45x，則x＜100；（2）若y甲=y乙，0.2x+25=0.45x，則x=100；（3）若y甲＜y乙，即0.2x+25＜0.45x，則x＞100。學生通過建模求解，感受了“生活處處有數學”，體會了數學的價值，也體會了數學能夠使人做出正確的決策。

二、在“圖形與幾何”教學中滲透數學建模思想

新課程設計思路指出：在呈現作為知識與技能的數學結果的同時，重視學生已有的經驗，使學生體驗從實際背景中抽象出數學問題、構建數學模型、尋求結果、解決問題的過程。“圖形與幾何”的主要內容包括：空間和平面基本圖形的認識；圖形的性質、分類和度量；圖形的平移、旋轉、軸對稱、相似和投影；平面圖形基本性質的證明；運用坐標描述圖形的位置和運動。這些教學內容中包含著各種幾何模型。教學中要密切聯系生活實際，自覺主動的運用幾何模型解決實際問題。例如，如圖，在電線桿上的C處拉線CE、CF固定電線桿，拉線CE和地面成60°角，在離電線桿6m的B處安置測角儀，在A處測得電線桿C處的仰角為30°，已知測角儀AB高為1.5m，求拉線CE的長（結果保留根號）。要求拉線CE的長，必須在Rt△CDE中求出CD的長，要求CD，又要過點A作AH⊥CD構造直角三角形（如圖），求出CH，CD=AB+CH。從而建立三角函數模型達到解題目的。再如：小明和小麗輪流向一小圓形桌面上放一元硬幣，硬幣不重疊，直至圓形桌面里不能再放入為止，誰放入圓形桌面上最后一個，誰就獲勝，這個游戲公平嗎？解決這個問題要建立圓的中心對稱性數學模型，圓是中心對稱圖形，先將一枚硬幣放在圓心，然后先放者總能把硬幣放在后放者的對稱位置，故先放者勝。

三、在“統計與概率”的教學中滲透建模思想

日常生活是數學問題的源泉之一，統計與概率與現實生活聯系密切，模型很多。數學教學中可以通過實踐活動學習數據處理方法，建立數學模型進行推斷和預測，為決策提供依據和參考。例如，甲、乙兩人玩游戲，他們準備了1個可以自由轉動的轉盤和一個不透明的袋子。轉盤被分成面積相等的三個扇形，并在每一個扇形內分別標上-1，-2，-3；袋子中裝有除了數字以外其它均相同的三個乒乓球，球上標有數字1，2，3。游戲規則：轉動轉盤，當轉盤停止后，指針所指向區域的數字與隨機從袋中摸出乒乓球的數字之和為0時，甲勝；其他情況乙勝（如果指針恰好指在分界線上，那么重轉一次，直到指針指向某一區域為止）。這個游戲規則對甲乙雙方公平嗎，請判斷并說明理由。這是一個典型運用概率模型解決實際問題的游戲，游戲公平與否，就看指針指向區域的數字與摸出乒乓球的數字之和為0的概率與其他情況的概率是否相等，概率相等則游戲公平，否則不公平。

此外，在“綜合與實踐活動”教學中不斷的滲透數學建模思想，讓學生在學習與活動中體驗數學建模思想，強化建模意識，感受數學建模的作用，提高數學建模能力，養成用數學的觀點、方法分析解決實際問題的習慣，提升數學素養。

（作者單位：江蘇省睢寧縣梁集中學）