“功能關系”的實際應用

做功的過程是能量轉化的過程，功是能轉化的量度，即W=ΔE。能量守恒和轉化定律是自然界最基本的定律之一。而在不同形式的能量發生相互轉化的過程中，功扮演著重要的角色。功和能的關系幾乎貫穿于整個物理學。可以這么說：能否正確、熟練地運用功能關系解題（包括動能定理、機械能守恒定律、功能原理等）是學生物理學習是否入門的重要標志，是教師判斷學生掌握這方面知識程度的試金石。

需要強調的是：功是一種過程量，它是力在位移上的積累；而能是一種狀態量，它與一個時刻相對應。兩者的單位是相同的（都是J），但不能說功就是能，也不能說“功變成了能”。在力學中功能關系有四方面的實際應用。

一、重力、彈力的功等于重力勢能、彈性勢能的變化，即W= -ΔEP，我們不妨稱其為勢能定理

例1：將兩個質量相同的物體，從同一高度開始運動，甲做自由落體運動，乙做豎直上拋運動，則從拋出到落到水平地面的過程中（ ）

A．乙物體重力做的功比甲物體重力做的功多

B．兩個物體重力做的功相等

C．兩個物體落地時重力做功的功率相等

D．兩個物體重力勢能的減小量相等

解析：題中兩個物體初速度雖不同，但最終重力做的功是相等的。勢能變化量只看重力或彈力做功的多少。所以選項BD正確。

二、物體機械能的增量由重力以外的其他力做的功來量度：W其=ΔE機，（W其表示除重力、彈力以外的其它力做的功），我們不妨稱其為機械能定理

這其實是機械能守恒定律的反面表達——機械能不守恒的條件：有其它力做功。只有當W其=0時，說明只有重力、彈力做功，系統的機械能才守恒，ＥP+EK=E'P+E'K。當研究對象由多個物體組成時，往往根據是否“沒有摩擦和介質阻力”來判定機械能是否守恒。

例2：質量為m的物體在豎直向上的恒力F作用下減速上升了H，在這個過程中，物體的重力勢能增加了 ，物體的機械能增加了 。

解析：由以上兩個定理不難得出正確答案是mgH、 FH。

三、合外力做的功等于物體動能的變化。（這里的合外力指物體受到的所有外力的合力，包括重力、彈力）。表達式為W=ΔEK，這是功能關系中最重要的應用——動能定理

動能定理也可以表述為：外力對物體做的總功等于物體動能的變化。實際應用時，后一種表述比較好操作。不必求合力，特別是在全過程的各個階段受力有變化的情況下，只要把各個力在各個階段所做的功都按照代數和加起來，就可以得到總功。

動能定理沒有分量式，不能對其中一個力應用動能定理列方程或用速度分量列動能定理方程。此外，還能將它推廣為系統動能定理：外力的功加內力的功等于系統動能的增加，即W外+W內=△Ek。

例3：如圖1所示，一根輕彈簧下端固定，豎立在水平面上。其正上方A位置有一只小球。小球從靜止開始下落，在B位置接觸彈簧的上端，在C位置小球所受彈力大小等于重力，在D位置小球速度減小到零。小球下降階段下列說法中正確的是（ ）

A.在B位置小球動能最大

B.在C位置小球動能最大

C.從A→C位置小球重力勢能的減少大于小球動能的增加

D.從A→D位置小球重力勢能的減少等于彈簧彈性勢能的增加

解析：小球動能的增加用合外力做功來量度，A→C小球受的合力一直向下，對小球做正功，使動能增加；C→D小球受的合力一直向上，對小球做負功，使動能減小，所以B正確。從A→C小球重力勢能的減少等于小球動能的增加和彈性勢能之和，所以C正確。A、D兩位置動能均為零，重力做的正功等于彈力做的負功，所以D正確。選B、C、D。

四、一對互為作用力反作用力的摩擦力做的總功，用來量度該過程系統由于摩擦而減小的機械能，也就是系統增加的內能。即W=f·d=Q（d為這兩個物體間相對移動的路程）

例4：如圖2，靜止在光滑水平面上的平板小車長L，質量為M，小物塊質量為m，從車的左端以速度v0向右滑動，當恰好滑動到小車右端時（摩擦因數為μ）二者相對靜止。求：小車的末速度v1與產生的熱量Q？

解析：由系統動能定理得：μmg L=mv02/2-（M+m）v12/2

解得v1=[（mv02 -2μmg L）/（M+m）]1/2

又由Q=fL 得Q=μmgL

（作者單位：江蘇省贛榆縣海頭高級中學）