換位思考、巧妙解題

【摘 要】在數學的解題上可以說沒有某種固定的解法，思維的角度不同，解題的方式就可以不一樣。通常可以有數與形的轉換、恒等關系轉換、方程與函數之間的轉換、正難則反的轉換、常量與變量的轉換等。這些轉化可以使得題目化繁為簡、優化解題途徑的作用。

【關鍵詞】數學解題；轉換；優化

一、數與形的轉換

數量上的極端性必然與圖形上的特殊性緊密聯系，有時通過數量關系研究圖形性質，有時通過圖形特征研究數量關系。從而可以利用數的嚴謹和圖形的直觀的辯證統一和各自的優勢盡快的找出解題途徑。

例1.若方程組 有兩解，求b的取值范圍

解析：此題可以用代數法來解題，但討論的類型較多，而且理解起來較為抽象。但若換個角度，我們可以發現第一個方程 表示單位圓在x軸上方的部分，而y=x+b則表示一條平行于一三象限角平分線的直線，那么現在問題就轉化成在直線平移的過程中使之要與半圓有兩個交點。觀察直線在此種情況下它在y軸上的截距就是所要求解的b的范圍，作右圖可得：

二、恒等關系的轉換

例2.已知z∈C，解方程

分析：欲直接求復數z是有一定難度的，但從復數的代數形式上思考可發現其實就是求它的實部和虛部，故可以設 ，代入已知，據復數的相等條件得：-3x=3且x2+y2-3y=1，由此解得x=-1，y=0或y=3，從而z=-1或z=-1+3i

點評：“數學解題是命題的連續轉化”，復數問題集中體現在將其等價轉化成是實數問題。

三、方程與函數的轉換

例3.若正數a，b滿足方程ab=a+b+3，求ab的取值范圍（99高考題）

分析：從表面形式看這是關于a，b的一個方程，但從方程的角度是不好解ab范圍的。我們可以將原式化成一個函數：b=，由題意a≠1。所以

設a-1=x，由a>0，知a>-1且x≠0，所以ab=5+x+，又易證ab在（-1，0），（0，2）上均是減函數，[2，+∞）上是增函數，所以x=2，即a=3時，ab≥5+2+=9

函數是中學數學的一條主線，也是高考考查的重點。

四、正難則反的轉換

“正難則反”就是指如果從正面難以說清或根本無法入手時，不妨“正話反說”。

例4.二次方程 有兩個虛根，求 的范圍

分析：因為不是實系數方程，所以不能用“△”根的思路解題，又因為系數中含有參數，解根很繁瑣。方程有兩個虛根即是沒有實根。反過來理解就是“方程有實根時，求出 的范圍，然后再用補集求解”

五、常量與變量的轉換

在不同的變化過程中，常量和變量是相對的而不是絕對的，可以根據題意適當轉換。

例5.對于函數f（x），若存在x0∈R，使f（x0）=x0成立，則稱x0為f（x）的不動點。已知函數f（x）=ax2+（b+1）x+（b-1）（a≠0），若對于任意的實數b，函數f（x）恒有兩個相異的不動點，求a的范圍。

分析：因為f（x）恒有兩個相異的不動點f（x）=ax2+（b+1）x+（b-1）=x，ax2+bx+（b-1）=0（*）

由題意b2-4a（b-1）>0（ ）：恒成立，對于f（x）中的a，b，本來應該視為常數的。但此時得到得這個式子怎么

六、主元與參數的轉換

通常解題時總是把注意力集中到那些主要變元上，但當思維受阻時，若注意在某些特定條件下，從結論與條件的內在聯系出發，變換思維角度，反客為主，使解題得以突破。

例6.曲線系Ck：的方程為 ，證明在坐標平面內任意一點（a，b）（a，b≠0）總存在Ck中的一橢圓和一雙曲線通過該點。

解析：若從曲線系的角度去考慮，即以x，y為主元，思維受阻。若從k來考慮，k<4或4

設點（a，b）（a，b≠0）在曲線Ck上，則

f（9）=5a2>0知f（x）=0，即方程（*）在（-∞，4）和（4，9）內分別有一根。

所以，對平面內任意一點（a，b）總存在曲線Ck中的一橢圓和一雙曲線通過該點。

總結轉化法在高中數學解題中的應用，目的是為了讓學生們在已學知識點的基礎上充分認識到相關知識點所扮演的角色轉化，從而對所學內容更加深入的得以提高并將之深化理解，最終轉化為己用。當然這種思路的解題方法掌握起來并不能一蹴而就，必須循序漸進、必須通過橫向、縱向的梳理才可融會貫通，最終達到舉一反三，甚至對某些問題會有所創新。

（作者單位：江蘇省啟東市第二中等專業學校）