豐富數(shù)學(xué)思維活動(dòng) 培養(yǎng)學(xué)生空間觀念

小學(xué)“圖形與幾何”教學(xué)主要是在學(xué)生已有的知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)之上，通過(guò)觀察和操作、比較和分析、抽象和概括、推理和判斷等活動(dòng)，幫助學(xué)生認(rèn)識(shí)常見(jiàn)的幾何圖形和幾何體的形狀、大小、位置關(guān)系、運(yùn)動(dòng)方式，使學(xué)生更好地認(rèn)識(shí)和描述生活空間，發(fā)展空間觀念、幾何直觀和推理能力，以及運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力。研究表明，發(fā)展學(xué)生空間觀念的基本策略是多種多樣的，經(jīng)驗(yàn)的回憶、觀察與操作、想象與推理、表達(dá)與交流等都是學(xué)生感知和體驗(yàn)空間與圖形的現(xiàn)實(shí)意義，體驗(yàn)數(shù)和形的聯(lián)系，建立空間觀念的重要途徑和方法。

一、經(jīng)驗(yàn)是展開(kāi)幾何學(xué)習(xí)活動(dòng)的前提條件

學(xué)生的幾何知識(shí)來(lái)自豐富的現(xiàn)實(shí)原型，與現(xiàn)實(shí)生活關(guān)系非常緊密。小學(xué)生在生活中已經(jīng)積累了較為豐富的幾何經(jīng)驗(yàn)，這在他們認(rèn)識(shí)和理解幾何圖形、發(fā)展空間觀念的過(guò)程中起著非常重要的作用，是教師組織教學(xué)活動(dòng)的寶貴資源，也是學(xué)生展開(kāi)幾何學(xué)習(xí)活動(dòng)的前提條件。因此，激活并利用學(xué)生的已有經(jīng)驗(yàn)來(lái)幫助他們認(rèn)識(shí)圖形的性質(zhì)和特征，體驗(yàn)幾何學(xué)習(xí)內(nèi)容的實(shí)際價(jià)值是十分必要的。

用量角器量角是小學(xué)幾何教學(xué)中重要的操作技能，而學(xué)生在日常生活中一般不會(huì)直接接觸比較角的大小問(wèn)題，因此學(xué)生缺乏這一方面的直接經(jīng)驗(yàn)，也沒(méi)有量角的實(shí)際需求，要找到學(xué)生熟悉的有關(guān)角的度量的生活原型并不容易。北京市第二實(shí)驗(yàn)小學(xué)的華應(yīng)龍老師就在他的課堂里“制造”了現(xiàn)實(shí)生活中并不存在的兩個(gè)不同角度的滑梯、使之與學(xué)生經(jīng)驗(yàn)中的滑梯形成鮮明的對(duì)比，給學(xué)生以視覺(jué)上的沖擊，不但有效地激活了學(xué)生的已有經(jīng)驗(yàn)，而且啟迪了學(xué)生的思維。當(dāng)學(xué)生先選擇傾斜度最大的滑梯，然后又立刻改變主意選擇傾斜度適中的滑梯時(shí)，他們已經(jīng)強(qiáng)烈地感受到角的大小，意識(shí)到這三個(gè)滑梯的區(qū)別在于角度不同。在這一過(guò)程中，學(xué)生產(chǎn)生了探索量角方法的迫切愿望，并初步體會(huì)到角的度量在現(xiàn)實(shí)生活中的應(yīng)用價(jià)值。

二、觀察是獲得空間知覺(jué)的必要環(huán)節(jié)

觀察是一種有目的、有順序、相對(duì)持久的視覺(jué)活動(dòng)，是學(xué)生了解外部世界不可或缺的一種活動(dòng)。幾何學(xué)習(xí)中的觀察是多樣化和多側(cè)面的，主要是通過(guò)對(duì)具體實(shí)物、幾何模型、幾何圖形等材料的觀察，形成對(duì)研究對(duì)象的形狀特征及構(gòu)成要素的認(rèn)識(shí)，獲得對(duì)研究對(duì)象本質(zhì)屬性以及對(duì)象性質(zhì)之間關(guān)系的感知。小學(xué)生的幾何學(xué)習(xí)往往是從對(duì)具體對(duì)象的觀察開(kāi)始的。只有通過(guò)觀察，學(xué)生才有可能建立圖形的形狀、大小和位置關(guān)系的表象，才有可能獲得對(duì)圖形性質(zhì)的理解，才有可能正確把握?qǐng)D形之間的聯(lián)系。因此，觀察是學(xué)生獲得空間知覺(jué)的必要環(huán)節(jié)，是建立和發(fā)展空間觀念的重要基礎(chǔ)。教學(xué)中要組織多種多樣的觀察活動(dòng)，有目的、有計(jì)劃地對(duì)學(xué)生進(jìn)行觀察方法的指導(dǎo)和良好觀察習(xí)慣的培養(yǎng)，以提高學(xué)生的觀察能力，發(fā)展空間觀念。此外，學(xué)生觀察的效果與學(xué)習(xí)材料的呈現(xiàn)方式有關(guān)。課堂教學(xué)中，既要通過(guò)標(biāo)準(zhǔn)圖形幫助學(xué)生初步建立幾何概念的表象，又要注意通過(guò)變式圖形幫助學(xué)生加深對(duì)幾何概念本質(zhì)屬性的認(rèn)識(shí)和體驗(yàn)。

“三角形的內(nèi)角和等于180°”是三角形的一條重要性質(zhì)。由于學(xué)生在以前的學(xué)習(xí)中有過(guò)測(cè)量三角形三個(gè)內(nèi)角度數(shù)的經(jīng)驗(yàn)，且對(duì)三角尺中三個(gè)角的度數(shù)比較熟悉，讓學(xué)生正確提出有關(guān)三角形內(nèi)角和的猜想并不困難，但教學(xué)中不應(yīng)以學(xué)生能提出猜想為唯一目的，還要注重讓學(xué)生經(jīng)歷提出猜想的過(guò)程，并在這一過(guò)程中獲得一些直觀思考的經(jīng)驗(yàn)。上海市寶山區(qū)第一中心小學(xué)的潘小明老師在執(zhí)教這一課時(shí)就精心組織了三個(gè)層次的活動(dòng)。首先，引導(dǎo)學(xué)生觀察由銳角、直角和鈍角畫(huà)出銳角三角形、直角三角形和鈍角三角形的過(guò)程，討論“哪個(gè)三角形內(nèi)角度數(shù)的和最大”，并針對(duì)學(xué)生中出現(xiàn)的不同意見(jiàn)，通過(guò)觀察、比較和想象，引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)“三角形的一個(gè)角在變大時(shí)，另兩個(gè)角在變小”的現(xiàn)象，初步形成“三個(gè)三角形的內(nèi)角和可能一樣大”的認(rèn)識(shí)。其次，引導(dǎo)學(xué)生從已有的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，由三角尺上三個(gè)內(nèi)角的和是180°進(jìn)一步提出“其他三角形的內(nèi)角和是不是也等于180°”的疑問(wèn)。再次，引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)觀察和想象，進(jìn)一步發(fā)現(xiàn)：鈍角越大，另外兩個(gè)銳角越小；當(dāng)鈍角接近180°時(shí)，另外兩個(gè)銳角接近0°。由此建立“三角形的內(nèi)角和等于180°”的猜想。整個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)，層層深入、步步為營(yíng)，既關(guān)注猜想的結(jié)論，更關(guān)注提出猜想的過(guò)程，使學(xué)生在建立猜想的同時(shí)，思維能力和空間觀念得到了充分的發(fā)展。

三、操作是構(gòu)建空間形式的重要方式

學(xué)生學(xué)習(xí)“圖形與幾何”，并不是一味地識(shí)記圖形的形狀、名稱(chēng)、性質(zhì)或量的計(jì)算公式，而要通過(guò)具體的操作活動(dòng)去感知、發(fā)現(xiàn)，建構(gòu)正確的空間形式和關(guān)系。因此，空間觀念的建立只靠觀察是不夠的，還必須引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行具體的操作活動(dòng)，在搭一搭、折一折、剪一剪、拼一拼、量一量、做一做、畫(huà)一畫(huà)等過(guò)程中，視覺(jué)、觸覺(jué)、聽(tīng)覺(jué)等多種感官協(xié)同作用，完成對(duì)具體對(duì)象的抽象，形成相應(yīng)的空間表象，獲得對(duì)幾何知識(shí)和方法的理解，建立和發(fā)展空間觀念。

探索三角形的三邊關(guān)系是認(rèn)識(shí)三角形的教學(xué)難點(diǎn)。一是由于操作或視覺(jué)上的誤差，有些學(xué)生會(huì)誤認(rèn)為用10厘米、6厘米和4厘米這樣的3根小棒也能?chē)扇切危欢怯捎诮柚庇^進(jìn)行歸納時(shí)，學(xué)生容易得出“三角形中兩條短邊長(zhǎng)度的和一定大于最長(zhǎng)的邊”這一結(jié)論，而再把這樣先入為主的結(jié)論引導(dǎo)到“三角形任意兩邊長(zhǎng)度的和大于第三邊”上來(lái)往往比較困難。因此，組織好學(xué)生的操作和交流活動(dòng)就顯得尤為重要。所以在這一課教學(xué)中我們對(duì)探索三角形三邊關(guān)系的教學(xué)環(huán)節(jié)做了細(xì)致的安排。首先，在呈現(xiàn)操作材料后，是先讓學(xué)生借助直覺(jué)進(jìn)行判斷：從10厘米、6厘米、5厘米、4厘米這4根小棒中任意選擇3根是不是都能?chē)扇切危考ぐl(fā)了學(xué)生進(jìn)一步探索的欲望。其次，在討論用10厘米、6厘米和4厘米這3根小棒能否圍成三角形時(shí)，一方面讓不同意見(jiàn)的學(xué)生展示自己的操作過(guò)程，使他們?cè)诮涣髋c碰撞中逐步形成正確的認(rèn)識(shí)；另一方面通過(guò)多媒體的精確演示，明確這3根小棒不能?chē)扇切蔚牡览恚韧癸@了學(xué)生的主體地位，又充分發(fā)揮了教師的主導(dǎo)作用，實(shí)現(xiàn)了教與學(xué)的和諧統(tǒng)一。再次，完成操作與交流后，教師沒(méi)有就此歸納三角形的三條邊的關(guān)系，而是引導(dǎo)學(xué)生把3根小棒中任意兩根的長(zhǎng)度與第三邊比較，得到4組算式，并由此發(fā)現(xiàn)圍成三角形的3根小棒的必要條件，概括出三角形的三邊關(guān)系。這樣為學(xué)生提供了足夠的探索空間，促使學(xué)生展開(kāi)有效的數(shù)學(xué)思考，并在觀察、操作、比較和交流中自主歸納出三角形的三邊關(guān)系，有效地發(fā)展了空間觀念。

四、想象是建立空間觀念的關(guān)鍵因素

數(shù)學(xué)想象是數(shù)學(xué)思維的基本要素，是數(shù)學(xué)認(rèn)知活動(dòng)中不可缺少的環(huán)節(jié)。一般來(lái)說(shuō)，在各種數(shù)學(xué)新觀念產(chǎn)生的過(guò)程中，或多或少都有數(shù)學(xué)想象的作用。在幾何學(xué)習(xí)過(guò)程中，想象往往伴隨著觀察、操作等活動(dòng)展開(kāi)。學(xué)生通過(guò)想象能直接、有效地獲得圖形的形狀、大小、位置關(guān)系以及物體間距離的表象，形成正確的概念表征。因此，空間想象是小學(xué)生幾何學(xué)習(xí)活動(dòng)中重要的學(xué)習(xí)方式，是學(xué)生發(fā)展空間思維、建立空間觀念的關(guān)鍵因素。

例如教學(xué)正方體的展開(kāi)圖時(shí)，學(xué)生通過(guò)操作得到最基本的正方體展開(kāi)圖后，教師并沒(méi)有進(jìn)一步讓學(xué)生沿著其他的棱把正方體展開(kāi)，而是引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)觀察和想象發(fā)現(xiàn)：這個(gè)圖形中4個(gè)連排的正方形可以看做正方體兩組相對(duì)的面，而正方體上下面“2只耳朵”可以看做另外一組相對(duì)的面，使學(xué)生對(duì)正方體展開(kāi)圖中各個(gè)面的分布規(guī)律有一個(gè)結(jié)構(gòu)性的把握，也為接下來(lái)想象展開(kāi)不同圖形的活動(dòng)積累一定的感性經(jīng)驗(yàn)。在構(gòu)造正方體展開(kāi)圖的活動(dòng)中，教師引導(dǎo)學(xué)生圍繞“這2只耳朵還可以長(zhǎng)在哪兒”的問(wèn)題展開(kāi)想象，并通過(guò)操作進(jìn)行驗(yàn)證，使學(xué)生在正反例的對(duì)比中，發(fā)現(xiàn)“有連排4個(gè)正方形的圖形”是否能折疊成正方體的規(guī)律。在此基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生把判斷一個(gè)圖形是不是正方體展開(kāi)圖的方法推廣到更一般的情況，解決沒(méi)有4個(gè)正方形連排的圖形是否能折疊圍成正方體的問(wèn)題，使學(xué)生在反復(fù)想象和驗(yàn)證的過(guò)程中學(xué)會(huì)判斷一個(gè)由6個(gè)正方形組成的圖形能否折疊圍成正方體的方法。在這個(gè)過(guò)程中，想象始終是學(xué)生學(xué)習(xí)活動(dòng)的主要方式——構(gòu)造展開(kāi)圖時(shí)需要想象“2只耳朵”的位置；判斷一個(gè)圖形能否折疊圍成正方體時(shí)需要在頭腦中嘗試將圖形進(jìn)行折疊并找到三組相對(duì)的面；完成標(biāo)注后，需要想象展開(kāi)圖中正方形與正方體各面之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系。正是因?yàn)榻?jīng)歷了想象的活動(dòng)過(guò)程，學(xué)生才能逐漸積累根據(jù)表象展開(kāi)想象的經(jīng)驗(yàn)，發(fā)展空間觀念。

五、推理是發(fā)展空間思維的主要渠道

推理是數(shù)學(xué)的基本思維方式，也是人們學(xué)習(xí)和生活中經(jīng)常使用的思維方式。小學(xué)生幾何學(xué)習(xí)過(guò)程中的推理很大程度上是依賴(lài)直觀展開(kāi)的，學(xué)生的幾何推理能力主要是在圖形的變換、轉(zhuǎn)化等過(guò)程中得到發(fā)展的。教學(xué)中，要引導(dǎo)學(xué)生在觀察、操作、想象和交流中，通過(guò)比較和分析、抽象和概括、歸納和類(lèi)比等活動(dòng)，逐步認(rèn)識(shí)圖形的特征及性質(zhì)，了解不同圖形之間的關(guān)系，解釋和解答一些簡(jiǎn)單的幾何問(wèn)題，發(fā)展空間觀念、幾何直觀和推理能力。

例如在教學(xué)三角形面積計(jì)算公式的推導(dǎo)時(shí)，引導(dǎo)學(xué)生用兩個(gè)完全一樣的銳角三角形、直角三角形或鈍角三角形，通過(guò)剪、拼得到平行四邊形或長(zhǎng)方形后，組織學(xué)生對(duì)兩個(gè)問(wèn)題展開(kāi)討論。第一個(gè)問(wèn)題主要是幫助學(xué)生建立三角形的底和高與拼成的平行四邊形（或長(zhǎng)方形）的底和高之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，這也是接下來(lái)借助直觀進(jìn)行推理的前提條件。第二個(gè)問(wèn)題主要是引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行兩個(gè)層次的直觀推理：一是由剪、拼圖形的過(guò)程，推出拼成的平行四邊形（或長(zhǎng)方形）的底和高（或長(zhǎng)和寬）與三角形的底和高之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，推出三角形的面積公式。這既需要細(xì)心的觀察和比較，更需要用數(shù)學(xué)來(lái)思考，學(xué)生在這一過(guò)程中，不僅理解了三角形的面積公式，還從中領(lǐng)悟了轉(zhuǎn)化的思想方法，感受到圖形之間的聯(lián)系，數(shù)學(xué)思維能力和空間觀念得到了充分的發(fā)展。揭示三角形的面積公式后，教師進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生討論“底×高”算出的是什么，為什么要除以2，為學(xué)生進(jìn)一步強(qiáng)化三角形面積公式的表象提供了機(jī)會(huì)。

（作者單位：丹陽(yáng)市正則小學(xué)，江蘇 丹陽(yáng)，212300）