基于公平博弈視角的我國彩票定價問題研究
2012-04-29 00:00:00姚亞偉
海南金融 2012年8期
摘 要：基于公平博弈的視角，結合彩票的中獎規則和歷史中獎金額，對我國4種彩種的定價有效性進行了實證分析。結果表明：不同彩票的定價基本合理，但實際中獎人數與理論中獎人數之間存在較大偏離且波動較大，這意味著彩民在購買彩票時并非隨機選號投注，彩民行為呈現非理性，風險意識相對較差。為促進我國彩票市場的健康發展，管理機構應加強彩民風險教育，適時修改游戲規則。
關鍵詞：彩票；公平博弈；定價；非理性；風險
中圖分類號：F832.48 文獻標識碼：Ａ 文章編號:１００３－９０３１(２０12)08－００54－０5 DOI:10.3969/j.issn.1003-9031.2012.08.15
一、引言
彩票較高的投機性和彩民追逐短期暴富的心理，在對彩票的游戲規則不充分認識的基礎上盲目從事彩票投資，使得中國彩票市場呈現出“發行彩票是為了幫助窮人，但是窮人卻買了更多的彩票”的彩票悖論現象。事實上，在游戲規則既定下，彩票的中獎是一種依據游戲規則不同中獎概率分布的隨機事件，從科學的設計機制看中獎沒有規律可循。但彩民由于缺少相關的專業知識和在一些能“預測中獎”的網站和機構的誤導下，使得彩民的購彩呈現非理性的行為，主要的表現在于：對于大多數彩票，每期實際中獎人數相對于理論中獎人數（按返獎比例計算的銷售額與中獎概率之積）有較大幅度的偏離的現象，同一彩票不同期的實際中獎人數波動較大。在一個相對理性的彩票市場上，彩民少量購買彩票可以尋求在刺激和娛樂之間的平衡，同時也可以為社會公益作為貢獻，但彩民購彩的非理性行為和由此表現的“彩民病態”卻是值得關注的問題。
本文的研究基于公平博弈的視角，從福利彩票和體育彩票中各選取2種具有代表性的彩種，依據不同彩種的游戲規則和中獎金額設置，結合彩票的返獎率，對不同彩種的定價合理性進行深入探討。同時，我們在假設彩民效用函數的基礎上，分析不同彩民參與不同彩種的意愿和風險態度。本文第二部分為文獻綜述；第三部分研究方法介紹；第四部分為樣本選擇及不同彩票實際定價計算；第五部分為結論及建議。
二、文獻綜述
在對我國彩票定價的研究方面，郁佳敏、王浣塵(2002)較早從效用理論分析了彩票中博彩者和發行人的風險特征，提出了彩票的定價區間和擴大定價區間的方法[1]。陳仕兵、羅瑞炎、莫鏗（2002）利用概率論的方法分析了購買彩票的決策依據[2]。岳嵚、吳相林（2003）討論了博彩心理對博彩行為的影響和博彩行為的一般性規律，并通過分析各種博彩者的風險特征，討論了彩票的最佳發行方式[3]。王金山、王倫夫、黎明曦（2005）根據目前常見的彩票銷售規則及相應的獎金設置方案，綜合分析了高項獎獎金額和低項獎中獎率對彩民的吸引力等因素，將發行方案的合理性問題歸結為發行方案對彩民的吸引力上，引入了表示彩民心理趨向的偏好系數，構造了吸引力函數，同時綜合考慮了封頂值等因素，對現行常見的29 種彩票發行方案進行了綜合評價[4]。郭均鵬、李汶華、劉雅琳（2009）以我國彩票市場的價格體系與供需為基礎分析彩票的供需函數，建立了彩票市場的價格體系，該體系包括彩票的銷售價格、預期價值和有效價格，并基于此，以有效價格作為價格變量，研究了彩票的供給函數與需求函數[5]。李剛（2011）從傳播學的視角對彩票購買者心理不健康的原因進行了較為全面剖析，并提出了相關的對策[6]。以上學者的研究對分析我國彩票的合理定價及彩民行為分析提供了先期的研究基礎，但研究的方法和思路尚有改進之處，本文將做進一步深入的研究。
三、研究方法
所謂公平博弈，又稱“零和博弈”，即參與一場賭局所得的期望收益應當與其支付的成本相等。在不考慮購彩者風險偏好的情況下，彩票制定的游戲規則應該是一場公平博弈。當然，這場“公平”博弈的參與者獲得的潛在收益中是需要剔除掉游戲規則中潛在的成本，如發行費用和公益金的提取。
假設彩民參與一場博弈，共有N種結果，假設第i種結果發生的概率和獲得的收益分別為Pi、Wi（i=1，2，……，N），且Pi=1，彩民參與該博弈的支付為c，則公平博弈應滿足：c=PiWi=E（）1，即彩民參與該博弈的成本支出應與其獲得的期望收益相等。
同時，在假定購彩者效用函數一定的情況下，還可以根據博弈的結果來判斷彩民參與博弈的風險厭惡程度。假設彩民的效用函數為u（?孜），若Piu（Wi）>u（PiWi），則彩民是風險偏好的；若Piu（Wi）=u（PiWi），則彩民是風險中性的；Piu（Wi）
四、研究設計
（一）樣本選擇
我國目前在售的全國性福利彩票和體育彩票共12只①，為比較福利彩票和體育彩票定價的有效性，本文分別選取發行量較大的全國性的2只福利彩票（雙色球、七樂彩）和2只體育彩票（超級大樂透、七星彩6+1）（見表1）。較為詳細地介紹了這4只彩票的游戲規則及中獎規則，這也是計算不同獎等中獎概率的基礎。
（二）不同彩票的定價實證
由于彩票的發行并不是全額返獎，要提取一定的發行費用和彩票公益金，一般兩者之和不超過銷售額的50%。本文所選取的4只彩票的返獎率均為50%，因此，對于這4只彩票的購買者而言，其購買一注彩票期望的回報應該是1元（這里不考慮稅收因素）。在此基礎上，本文的實證分析分為以下三個步驟：一是依據不同彩票的中獎規則，計算不同獎等的中獎概率，并分別計算依據游戲規則不同彩種的理論高等獎中獎金額上限。二是選取不同彩種近120期的各獎等歷史中獎金額數據①，分別計算不同獎等的簡單中獎金額均值和利用中獎注數作為權數計算的加權中獎金額均值。結合不同獎等的中獎概率，分別計算在理論最高中獎金額、簡單中獎金額均值和加權中獎金額均值下不同彩種的期望收益。在假設投資者效用函數為對數函數的條件下，計算投資者參與不同彩種愿意支付的罰金情況，并對這種現象進行解釋分析。三是結合第二步的分析結果展開進一步分析。
1．不同彩種不同獎等的中獎概率和理論最高中獎金額計算
首先分別計算出四個彩種不同獎等下的中獎概率，然后計算不同獎等下的中獎金額。在所選擇的四個彩種中，一等獎和二等獎均為浮動獎，其中超級大樂透和七樂彩的三等獎也為浮動獎。根據中獎規則，可以確定正常狀態下不同彩種在浮動獎等下的理論最高中獎金額，但由于不同彩種在發行期內會通過派獎促銷等活動，使得在某些特定的時期內理論最高金額可能會增加，本文分析中不考慮這些非常態情影。不同彩種不同獎等的中獎概率及中獎金額（見表2）。
2．彩民參與不同彩種的期望收益及愿意支付罰金的計算
如果彩民支付2元購買了一注彩票，在不存在市場套利的情況下，他獲得的期望收益也應為2元，考慮到50%的返獎率，不同彩種的期望收益參考值應為1元。我們可以利用不同獎等下的中獎概率及中獎金額計算持有彩票的期望收益，并與其購買彩票成本進行對比。對于不同彩種，依據其中獎規則，其不同獎等下的中獎概率是不變的，而對于不同獎等的中獎金額，由于有浮動獎，計算三組：一是依據理論最高中獎金額；二是依據樣本區間120期不同獎等的簡單平均中獎金額；三是依據樣本區間120期不同獎等按照中獎注數為權數計算的加權平均中獎金額，并據此計算出期望收益，并基于公平博弈的視角，計算每種彩種購彩者愿意支付的罰金。計算結果如表3所示。
筆者以雙色球為例，計算平均期望收益、加權平均期望收益、最高期望收益和愿意支付的罰金，其余三種彩種的計算過程類似。利用雙色球過去120期不同獎等的中獎金額數據，可以計算出120期的一等獎和二等獎的簡單平均中獎金額分別為755.65萬元、253912.3元，利用中獎注數作為權數計算的一等獎和二等獎加權平均中獎金額分別為627.15萬元、178492.6元。筆者記：P=（5.64299×10-8 8.46449×10-7 9.104165×10-6 0.000434228 0.007757707 0.058892527 0.932905474）T表示不同獎等下中獎概率向量，分別記W1=（7556465 253912.3 3000 200 10 5 0）T、W2=（6271524 178492.6 3000 200 15 5 0）T、W3=（10000000 5000000 3000 200 10 5 0）T表示不同獎等下簡單平均、加權平均和理論最高中獎金額下的中獎金額向量，那么三個期望收益指標分別計算如下：
平均期望收益：PTW1=1.127645
加權平均期望收益：PTW2=0.991276
最高期望收益：PTW3=5.282856
若假設彩民的效用函數u（W）=ln（1+W），則利用加權平均的高等獎金額計算出彩民購買一注雙色球彩票所得到的收益的期望效用為：
E[u（W）]=Piu（Wi）=Piln（1+Wi）=0.126511
而期望收益的效用為ln（1+E（））=ln（1+0.991276）=0.688776，因此彩民愿意交納的罰金為1+0.991276-e0.126511。若利用簡單平均的高等獎金額，則計算的彩民愿意交納的罰金為0.992793。其余三只彩種的相應數據與雙色球原理一致。
由表3結果可知，若依據上述四種彩種的游戲規則，在理論高額獎金的誘惑下，彩民購買四種彩種中的任何一種，在理論上獲得的期望收益均遠高于其購買彩票的成本，這顯然是利于彩民的一種博弈賭局。然而，理論上的最高金額是很難實現的，若依據樣本區間內每一期浮動獎的簡單平均值來計算彩民參與賭局的期望收益，均與1有一定差異，表明定價不太合理。其中四只彩種中雙色球和七樂彩的平均期望收益高于1，是利于彩民的非公平博弈；而超級大樂透和七星彩的平均期望收益小于1，是不利于彩民的非公平博弈。然而，如果利用每期的中獎注數作為權數來計算高等獎的加權平均獎金額作為期望收益的計算依據，則雙色球和超級大樂透的期望收益小于1是不利于彩民的非公平博弈，而七樂彩和七星彩6+1的期望收益大于1是利于彩民的非公平博弈。因此，從期望收益的綜合角度分析，在四種彩種的游戲規則設置中，七樂彩是顯然最利于彩民的，而超級大樂透是最不利于彩民的，而雙色球和七星彩的加權平均收益均接近于1，是相對公平的博弈，也即表明定價較為合理。從彩民參與賭局愿意支付的罰金分析，這四個彩種購彩者愿意支付的罰金基本上都小于所獲得的加權平均期望收益，其中雙色球、超級大樂透和七星彩的購彩者愿意支付的罰金與期望收益相差較大，而七樂彩則相對較小。這表明七樂彩的購彩者相比雙色球、超級大樂透和七星彩的購彩者而言更不愿意冒較高的風險來搏取小概率下的較高收益。這一點可以從四種彩種的銷售額中得到體現，這四種彩種在120期內的平均每期銷售額分別為3.04億、0.86億、0.19億和0.10億，七樂彩的每期銷售額均值最低。
3．彩民購彩行為分析
在公平定價分析的基礎上，本文對購彩者的購彩行為是否理性展開進一步分析。在這里，筆者根據每期不同彩種的銷售額和中獎規則，分析每期不同獎等的理論中獎人數和實際中獎人數之間的偏差度，并依據偏離度指標對購彩者的行為進行判斷。筆者對樣本期內每種彩種前三獎等的偏離度指標進行描述性統計，結果如表4所示。
由表4可知，這四種彩種的偏離度均值指標整體不高，表明理論中獎人數與實際中獎人數整體偏離不大，但偏離度的波動率相對較高。進一步分析，主要原因在所選取的樣本期間內，四種彩種的銷售額均相對比較穩定，因此每一期理論上計算的各獎等中獎人數也比較穩定，但實際不同獎等的中獎人數波動相對較高，呈現出中獎注數分布不均勻的現象。比如以雙色球為例，2011086期開出一等獎113注；2011043期開出一等獎75注等，而2011048期一等獎0注，這表明彩民在購買彩票的存在著非理性行為，這種非理性行為表現為彩民在購買彩票時并未進行隨機的購買和分配，而是對同一組選號碼集中多倍投注，雖然多倍投注對銷售額的影響相對有限，但對于彩民而言卻變相降低了中獎的概率，這在一定程度上加大了彩民購買彩票的風險。
五、結論及建議
本文從公平博弈的角度，選取了雙色球、七樂彩、超級大樂透和七星彩共4種全國發行的彩種，依據不同彩種的游戲規則和中獎規則，利用歷史中獎數據分析了這4種彩種的定價合理性，并結合中獎人數的偏離度來分析判斷彩民的購彩行為是否理性，研究結論如下：
（一）不同彩種的定價基本合理
通過對4種彩種所能夠給彩民帶來的期望回報分析可知，四種彩種的定價整體上基本與依據游戲規則所計算的期望回報吻合，但由于浮動獎的設置，實際中定價存在一定的不確定性，雙色球和七星彩定價相對稍偏高，而七樂彩的定價則偏低是一個利于購彩者的彩種。
（二）購彩者行為非理性、風險意識相對薄弱
從整體上看，在一段時期內不同彩票的理論中獎人數與實際中獎人數之間的偏離不大，這表明不同彩票的運營相對比較穩定。但結合實際中獎人數的標準差和理論人數與實際人數偏離度分析，不同彩票在不同期的浮動獎中獎的注數存在著過于集中和分布不均。這意味著彩票購買者并沒有進行隨機選號，而可能是過于集中某一組號上進行集中投注，產生這種結果的原因可能在于一方面彩票購買者參賭意愿強烈，對自己的選號過于自信而加倍投注；另一方面也可能存在著彩民過于聽信某些彩票預測節目和人士的引導而進行小范圍的投注。事實上，而依據彩票的中獎規則和開獎方式，任何預測都是徒勞的，每一期出現的結果應該都是隨機的。
通過對我國彩票定價的實證分析及彩民的購彩行為剖析，為促使我國彩票市場的健康良性發展，結合我國目前彩票市場的現狀，提出以下兩點建議：
1．加強購彩者風險教育。從目前彩票的銷售網點及銷售渠道看，城鎮居民和在城鎮務工的農民仍然是彩票的主要購買者，但隨著彩票銷售渠道的網絡化和便捷化（如電話投注、門戶網站、手機投注等），彩票購買群體將呈擴大化。但由于我國居民風險意識相對薄弱，媒體在進行彩票宣傳時過于商業營銷而突出高等獎中獎金額，這使得本具有相對公益性質的彩票變成了一種商業活動，使得期望在短期暴富的彩民過多的進行集中投注而幻想中大獎，導致了大量“問題彩民”的出現。彩票是一把“雙刃劍”，不能因為投注金額小而只讓彩民關注收益而忽略了潛在的風險，特別是我國教育水平的現狀不可能使全部彩民都完全理解每種彩票的中獎規則及中獎概率。因此，彩票發行機構以及監管機構可以從提取的銷售額中拔付一部分資金用于彩民的風險教育，特別是對“問題彩民”的救助，以促使彩票市場參與主體的行為趨于相對理性化。
2．適當時調整游戲規則。從文中對不同彩票的定價結果看，盡管從整體上看定價基本合理，但對于超級大樂透、七星彩等彩票的定價仍然偏高，即彩民應以低于2元的價格購買這些彩票。但事實上，既然彩票價格統一制定為2元，那么就應該在游戲規則上進行調整以使彩民參加的賭局比較公平。筆者認為，一方面可以修改中獎規則來增加彩民中獎的概率。另一方面也可以通過適當的促銷或獎金返還的方式來促使游戲的公平性。同時，在制定彩票的游戲規則時，需要有前瞻性和公平性，而不易推出后進行重新的更改。
（責任編輯：張恩娟）
參考文獻：
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