一次函數圖象“平移”的兩次教學設計及反思

摘要：有效操作是新課程提倡的一種學習方式，為學生積極探究、主動獲取幾何知識及函數圖象的性質提供了機會. 本文通過書本上例題從兩個不角度淺述如何通過學生的“操作”、反思的認知過程，把外在的動作物化出來，又通過自己的語言內化成自己的思維動作.

關鍵詞：圖象；操作；反思；理解

有效操作是新課程提倡的一種學習方式，為學生積極探究、主動獲取幾何知識及函數圖象的性質提供了機會. 它是培養學生學習能力、發展空間觀念、數形結合的重要途徑之一. 然而在函數圖象的教學中，教師不是認為其沒新意、簡單，就是認為其很難挖掘而一筆帶過，這對學生形成函數圖象的認識是一極大的浪費.我們要講究函數圖象操作的有效化，使學生在“做數學”的過程中得到知識，形成能力. 那么，在函數圖象的教學中，如何有效操作呢？下面筆者將通過書本上例題從兩個不角度淺述如何通過學生的“操作”、反思的認知過程，把外在的動作物化出來，又通過自己的語言內化成自己的思維動作.

人民教育出版社出版的八年級數學上冊第115頁的例題2是這樣的：

例2畫出函數y=-6x與y=-6x+5的圖象

這道課本思考題的兩次教學設計

1. 第一次教學設計

2. 第二次教學設計

（2）反思抽象.

在“操作”的基礎上，教師提出下面3個問題讓學生反思.

通過學生的獨立思考和交流得到以下結論：①兩個函數的傾斜度一樣，這個主要由k造成；②從函數的解析式來看兩者只有在常數項上數字的差別，其他的沒變，并且正比例函數可以看成是y=kx+0，所以從解析式上看正比例函數是一次函數的特殊情況.從特殊與一般的關系來看，正比例函數的圖象是一條直線，因此一次函數的圖象也應該是一條直線；③從表格的數值來看上下兩行對應的數值差相等. y=-6x+5函數值就在y=-6x的函數值上加上5；④反映在圖象上，就是不論橫坐標為幾，兩個函數圖象的縱坐標總差同一個值，即同一個函數的圖象總比另一個函數的圖象高出同一個高度5；⑤在x軸上任取兩個x值，過它向x軸作垂線與兩個函數分別有四個交點，這四個點組成的四邊形永遠是平行四邊形.

在思考與交流的基礎上，教師進一步要求學生從簡潔美的角度對所得到的結論進行概括，于是繼續突出問題2讓學生思考.

1. 對第一次教學設計的反思

第一次的教學設計是教師直接應用幾何畫板演示圖形變換，然后將結論告訴學生，這里過快的教學過程只能有少部分學生進行有意義的學習，難以引發全體學生的學習活動，大部分學生沒有真正理解，只能靠死記硬背，難怪有些學生過了一段時間也就忘了. 看來，學生沒有自己的獨立思考，沒有自己對數學知識的思維加工，僅停留在模仿、記憶水平的學習方式需要改變.

2. 對第二次教學設計的反思

（1）突出了學生的“操作”

“操作”，包括外在的活動操作與內在的智力操作. 學生要構造自己理解的數學概念，關鍵是一種思想上的飛躍，即皮亞杰提出的“反省抽象”. 為了形成反省，必須將自己的實踐性活動變為思考的對象，即被反省的基礎是“操作”過程，缺少了“操作”，反省無法落實；“操作”達不到一定數量，過程的各種狀態和性質在心理上不易引起注意. 因此，學生“操作”的直接目的是現場積累學習新知識所必需的經驗，或是對自己已具有的相對模糊的經驗進行強化，增強體驗使之處于活躍狀態，從而為進一步的反思活動提供反思的對象和素材.

由于函數平移是學生第一次接觸，缺乏學習新知識所必需的知識經驗，所以必須要學生通過對函數圖象進行描點、列表、連線，平推，對同一個自變量值對應函數值變化情況進行研究等手段的動手“操作”，和問題3的變式思考的內在智力“操作”，通過這些“操作”，為今后學習二次函數的上下平移、左右平移、繞頂點旋轉，以及探究學習其他函數作了良好的鋪墊.

（2）加強了反思抽象

學生通過“操作”活動，已感受到函數“平移”這一概念的直觀背景，及如何研究新舊函數之間關系的一種基本方法與技巧. 當這種“操作”經過多次重復后，才能被個體熟悉，才能上升到通過認知壓縮（抽象、概括、歸納）來形成的數學概念. 這個階段的實質是學生對操作活動的反思，它經歷思維的內化、壓縮，抽象出了數學概念的本質. 反思抽象的過程在短時間內很難完成，這時，教師的作用就發揮出來了，需要教師設計一些具有啟發性、探索性的問題，引導學生回味“操作”過程，讓學生嘗試抽象概括，在本課例中，教師通過問題1、問題2和問題3，給學生有時間和有機會對自己的“操作”活動進行思考、交流、概括等反省的思維活動，從而促進學生對函數“平移”概念的深刻理解.

（3）發展了學生的辯證思維

數學教學中，無論是數學概念，還是數學性質以及數與數、數與形、形與形之間的相互關系，無不充滿著辯證法. 數學是培養學生辯證思維的良田沃土. 發展學生的辯證思維，就是要使學生養成依據辯證思維的規律來思考和解決問題.函數圖象的平移、旋轉運動中的“變”與“不變”既對立又統一. 在教學中，教師從辯證的角度去提出問題，即提出含元認知成分較多的問題：函數圖象平移過程中，點與點是如何變化的？在點與點的變化過程中哪些元素發生了變化？變化了多少？由個體到整體怎么樣？哪些元素沒有改變？這對學生養成用辯證思維規律來思考和解決問題的習慣極為有益. 為下面學習用兩點法、點斜法、特殊點法畫一次函數圖象打下良好基礎，避免了比較煩瑣的描點法，就能得到對函數y=kx+b的圖象的認識，這是一個由此及彼的認知過程. 另外，還使學生初步感知了研究函數先從特殊再到一般的辯證關系.

（4）滲透了函數的數形結合的基本思想

數學教學的核心任務就在于學生習得與學會應用數學的思想方法. 以上的教學設計中，讓學生通過“操作”、從數量差值相等的關系得出圖形之間的直線相互平行關系，及圖形之間的相互平行、平移關系得出兩個函數的k與b的數學關系. 這對培養學生數學思想方法是大有裨益的.

對數學概念形成教學的啟示

美國數學教育家杜賓斯基認為，學生學習數學概念需要進行心理建構，只有在自身已有知識、經驗的基礎上，主動建構新知識的意義，才能達成理解. 而這一建構過程涉及操作階段（包括外在的活動操作與內在的智力操作，如動手操作、歸納、演繹、討論等）、過程階段（對操作的活動進行反省內化，抽象出概念所特有的性質）、對象階段（通過全面的抽象，認識概念的本質，對其賦予形式化的定義及符號，使其達到精確化，成為具體的一個對象. 在以后的學習中，以此為對象去進行新的活動）、圖式階段（一個數學概念的圖式是由相應的活動、過程、對象以及與某些一般原理相聯系的其他圖式所形成的一種存在于個體頭腦中的認知框架）. 依據杜賓斯基的觀點，筆者認為：

1. 在概念學習之初，應設計數學活動讓學生“操作”，為概念的學習積累活動經驗

杜賓斯基強調了在學習概念前的活動經驗的準備與積累. 因此，在數學課堂教學中，教師要創造性地使用教材，對教材進行合理的加工處理，把教材的邏輯順序轉化為數學的活動順序，并結合學生的數學思維特點，設計恰當的數學活動，讓學生親自“操作”，在“操作”中體驗，在過程中感悟，在體驗和感悟中理解數學概念的意義.

2. 留有充裕的時間，為概念的抽象提供時間保證

概念的學習是一個有層次的數學活動過程，從活動階段到過程階段，需要學生提煉出活動的數學意義，能在大腦中描述和反思活動，這個過程在短時間內很難完成. 在教學中，教師不能盲目地趕進度，讓學生快速地接觸抽象概念，而應留有充裕的時間，讓學生去回味活動過程，讓學生去嘗試抽象概括，這個過程還需要教師通過一些問題的啟發，引導學生，幫助學生從“過程”上升到“對象”.

3. 變式教學，符合由特殊到一般的認識規律，學生容易接受

在新課程標準的指引下，數學教學方法也在不斷改進、創新. 數學教學不應局限于一個狹窄的課本知識領域里，應該是讓學生對知識和技能初步理解與掌握后，進一步的深化和熟練，使學生在學習中學會運用課本的知識舉一反三，應用數學“變式教學”的方法是十分有效的手段. 教師不斷更換命題中的非本質特征；變換問題中的條件或結論；轉換問題的內容和形式；配置實際應用的各種環境，從而使學生掌握數學對象的本質屬性. 問題3的變式讓學生能更加清楚認識到函數平移的本質，讓學生從“變”的現象中發現“不變”的本質，從“不變”的本質中探究“變”的規律

值得注意的是，在實際的數學概念教學中，有些教師并沒有讓學生進行“操作”，而只是借助于個別實物、實例很快進入概念定義，這種教學導致的教學后果是：學生失去由操作到定義的中介環節——反思抽象，難以真正完成概念的抽象，難以達到對概念的實質性理解，無法形成相應的“心理意義”.