樣例視角下的初二幾何說題教學

摘要：初中的平面幾何教學，不但要訓練學生的邏輯思維能力，規范學生的表達過程，還要教會學生如何去分析幾何問題等，可謂困難重重. 本文在初二年級學生幾何證明啟蒙階段，借助于樣例學習理論，采用學生說題的方式，引導學生分析幾何問題，以圖形為紐帶，綜合條件與結論，有效地幫助了學生的幾何學習.

關鍵詞：樣例學習理論；初二幾何；說題

問題提出

李士錡的研究指出，初中學生的幾何學習主要存在以下問題：（1）學生對概念和定理的理解常常停留在表面；（2）學生害怕幾何證明題，對證明經常感到無從下手，不知道要做什么，不知道做到哪一步就算證明出來了；（3）學生已有的幾何知識之間缺乏必要的聯系，導致概念、公式、定理記不住，學過之后就遺忘了；（4）學生對圖形語言與文字語言、符號語言之間的轉換仍存在困難；（5）在進行根據前提推導結論的演繹推理時，學生經常使用非邏輯方式代替演繹推理. 總之，學生在學習幾何時，在幾何概念理解上不深入，在證明和推理方面存在認知困難. 在初中學生開始學習平面幾何時，會遇到 “證明思維中的新形式”問題. 平面幾何證明盡管有幾何圖形做直觀輔助，但仍使學生難以捉摸思路，一個重要的原因在于思維形式.尋找證明方法既要顧及圖形，又要顧及條件，每一步推理都需要定理的支撐，在作業書寫形式上還有遵從教師提出的書寫規范. 總的說來是細節要求過多.

在教學實踐中，我們也是感同身受. 初二學生在學習幾何證明時，特別是在拿到題目后不會對題目中的條件、結論進行整合，缺乏對文字語言、符號語言和圖形語言之間的關系的整合能力.

造成學生學習困難的原因，是學生對證明接觸少了，是學生學習幾何證明的時間短了，沒有與已有的學習內容進行“同化”與“順應” ，沒有形成幾何證明的經驗，沒有形成相應的幾何證明的圖式. 同時，教材中例子過少，減少了學生的學習機會，另外，學生也存在著不會學習的問題. 學生沒有幾何學習的特殊方法，或者說沒有根據學習內容調整學習方法.

《義務教育數學課程標準（2011版）》指出，“義務教育階段要注重學生思考的條理性”，并且“‘證明’的教學應關注學生對證明必要性的感受，對證明基本方法的掌握和證明過程的體驗. 證明命題時，應要求證明過程及其表述符合邏輯，清晰而有條理. 此外，還可以恰當地引導學生探索證明同一命題的不同思路和方法，進行比較和討論，激發學生對數學證明的興趣，發展學生思維的廣闊性和靈活性.”

對照課程標準的要求，結合初中學生幾何學習實際情況，我們認為在初二幾何教學中，教師的教學必須以學生的認知實際情況為立足點，在有限的教學時間內，在不加重學生學習負擔的前提下，提高學生的學習效率，保證學生的學習效果，我們認為樣例學習理論為我們初二學生幾何證明的啟蒙學習提供了理論指導.

樣例學習理論

所謂“樣例”，也就是指具有詳細解答步驟的事例或例題. 樣例不僅僅是一個供模仿的“樣板”，它還能起到對概念、原理、公式等進行解釋的作用，能夠幫助理解概念、強化記憶，能讓學生知道怎樣運用原理或公式來解題. 在某種意義上，樣例為學習者提供了學習和仿效問題解決的模型. 學習者通過研究樣例，歸納出其中隱含的抽象知識來解決問題，這樣的一個學習過程即稱之為“樣例學習”. 樣例學習具有以下幾個突出的優點：有效地減輕學生的認知負荷，易化了認知技能的獲得；提高了解題效率；有利于學生對原理和規則正確歸納和分類；極大地調動學生學習積極性等.

而幾何證明的啟蒙階段學習需要學生借助樣例來體會樣例中“隱含的抽象知識”——邏輯思維順序，邏輯規范表達，這是教師在教學中難以“言傳”的，只可以在“樣例”中讓學生“意會”. 因此，借助經典樣例幫助學生進行幾何證明的啟蒙學習，是一種有效的學習方式.

教學案例

無論是幾何證明這樣的高級思維形式的學習，還是幾何證明的邏輯規范表達，我們認為都需要學生在學習的過程中領悟，需要學生在學習的過程中意會. 針對學生的學習狀況，結合樣例學習理論，我們在八年級下學期第20章《平行四邊形》（《新時代數學》編寫組，2011）一章的教學時，進行了以下教學嘗試.

教師：畫圖幫助理解條件與結論，將條件與結論在圖形表示出來，從而起到了整合條件與結論的作用，也是形成證明思路的基礎. 在證明問題時，要學會從結論去尋找使結論成立的條件（定向思考），同時，看到條件，特別是隱含條件，要會聯想延伸，找到條件與結論的交匯點（交集），再邏輯地表達出來，望同學們課后再品味品味.

教學小結：學生的思維水平很接近，但思考的速度有快有慢，讓先思考成熟的學生說出他們的思路，給其他學生提供一個范例. 幾位學生的思考正好形成一個整體. 同時，引導學生在看到結論時要先朝哪兒想，在結論的引導下，梳理條件，借助圖形整合條件，從而形成一個完整的解題思路.我們認為上述教學過程可以幫助學生掌握整個證明過程的宏觀思路.

我們想通過此例教學，學生從中體會到在面對一道幾何問題時如何思考，聯想什么，怎么整合：條件與結論的整合；數學符號與圖形的整合；解題過程的整合，從而邏輯地規范地表達.

（二）樣例二

在習題講評課上，我們以課本P82《習題20.2》的第16題為例，進行了以下教學：

（三）樣例三

筆者在簡單地介紹后，給學生發放了《四邊形復習題（一）》.

教學小結：學生在做過本復習卷后，要思考改變我們的學習方法，在題海中掙分數是多么的辛苦，我們要向學習的質量要分數. 這些題目，變的是形式，沒有變的是本質. 我們在初次學習時，就要挖掘題目中的本質要素，學會歸納，提煉本質，把握本質要素，提高學習效果.如果我們理解了課本上的例題，從本質上理解了它，我們有必要去做那么多的變式練習嗎？我們就可以省下更多的寶貴時間去思考其他問題，從本質上把握它們，去享受學習的快樂，從題海中解放出來.

其實，不僅在幾何學習中，在整過數學學習中，每個章節，每個部分都存在類似的現象，運用或保留一種方法的本質，從形式上對題目進行變式. 如果我們在學習中注意把握題目的本質，就沒有必要將這些變式題一一做一遍，從而減輕我們的學習負擔，也能提高學習質量. 如果我們只是做題目，當作一個任務，做完之后不反思，不總結，即使做了很多的題目，當它們再出現新的形式時，也還有可能不會做.

4. 需要關注學生的學習方法，關注質量效果，而不能在數量上下工夫，否則將會得不償失.

5. 幫助學生積累圖式.在定理應用時形成定理應用圖式；幫助學生形成幾何證明分析圖式；證明邏輯規范圖式. 學生在逐步接受與訓練后，再慢慢地消化、默會和理解.

6. 讓學生說，延緩教學速度，給了學生更多的思考時間，讓學生有更多的參與時間.

7. 通過樣例學習方式，在定理定理教學時，給出定理的推理形式；在定理應用時的突出表達步驟，讓學生有了更多模仿的機會，在問題分析、規范書寫、學習方法等方面給學生提供了借鑒.