在“次品”中找真金

美國心理學家布魯納指出：“掌握基本的數學思想方法能使數學更易于理解和更易于記憶，領會基本數學思想方法是通向遷移大道的‘光明之路’，使學生終生受益。”《數學課程標準》中也指出：“學生通過學習，能夠獲得適應未來社會生活和進一步發展所必需的重要數學知識以及基本的數學思想方法。”可見，除了數學知識外，數學思想也是重要的教學內容。

義務教育課程標準五年級下冊教材 “數學廣角”中安排“找次品”這個教學內容，以此為平臺讓學生經歷一次數學探究之旅，讓學生獲得從外表看若干個完全相同的零件，借助天平用最少的次數找較輕或較重次品的方法。在解決問題的過程中還隱含了許多的數學思想，如通過天平可能平衡、可能不平衡這樣的隨機事件，理解掌握基本的邏輯推理；清晰地表達數學思維的過程；利用比較——猜想——驗證的策略發現數學結論的數學思想；培養將具體問題推廣到一般問題的演繹推理的數學思想；通過逐一分析法讓學生理解解決問題的多樣化，并對比分析進行優化的數學思想；引導學生解決數學問題時把復雜問題轉化成簡單問題的數學思想等等。這些蘊含在解決問題過程中的數學思想或許正是教師在教學中最容易忽略和遺漏的，而這些數學思想的培養直接影響學生數學綜合素養的形成，不僅體現在小學階段，而且直接對學生以后的學習和工作起到至關重要的影響。因此，我們應當在小學數學教學中不失時機地進行數學思想方法的滲透。

下面以“找次品”教學為例，談談對學生數學思想培養的探究。

一、利用化歸思想，尋找解題模式

數學教學一方面是由淺入深、由易到難循序漸進的過程，另一方面又是化生為熟、化難為易、以退求進的過程，這兩個相輔相成、雙向互動的過程是學生學好數學的基本數學思想之一——化歸思想。

如教學“找次品”時，課始，教師創設情境：將一瓶較輕的口香糖混在243瓶中，質疑如何從這么多數量中找到這一瓶次品。通過介紹數學家華羅庚的方法“復雜的問題要善于‘退’，足夠地‘退’，‘退’到最原始而不失去重要性的地方，是學好數學的一個訣竅”，引導學生退回來想，從最基本的2瓶開始思考問題的解決方法，并逐瓶依次遞增，體現了數學解決問題的實質化難為易。通過操作3瓶時依次將口香糖放置在天平的左、右、下，充分利用天平的3個區域，得出只要稱一次就能找出次品的最佳方案。然后增加到9瓶時分成3份，每份3瓶稱一次，學生自然地運用化歸的思想。這樣讓學生一開始就接觸規律，建立在分析尋找規律的情景下，既讓學生經歷了邏輯推理的過程，又引導了學生的思維方法，力爭從最少的次數去思考，培養學生有序思考的習慣。同時使學生意識到將大數分解成小數，有效地體現化歸的思想，使學生能運用已知的結論來推導較復雜的數據，養成良好的數學思維習慣。在此基礎上擴展到更多的瓶數，如27瓶等，通過表格的出示讓學生體會到次數與次品數量之間的變化規律，并使其得到延伸和拓展。如2~3瓶只需稱1次，4~9瓶需要2次……并且利用發現的規律來嘗試猜測6次、7次能從多少瓶中找出次品，這樣真正體現了化歸思想學以致用的目的。

二、經歷“比較——猜想——驗證”的過程，尋找解題策略

“比較——猜想——驗證”既是學生主動探求知識的有效方式，也是一種重要的數學思想方法。正如數學教育家弗賴登塔爾所說：“真正的數學家常常憑借數學的直覺思維做出各種猜想，然后加以證實。”因此，在小學數學教學中，教師要重視“比較——猜想——驗證”思想方法的滲透，以增強學生主動探索和獲取數學知識的能力，促進學生創新能力的發展。在猜想的驅動下，學生才能真正自覺地投入到驗證的過程中，通過不同方案的比較真正經歷了知識生成的過程，從而更主動地去發現、去探索。

如教學“找次品”時，我是這樣安排教學環節的：在明確應該應用最不利原則，必須確保找出次品的前提下，安排學生自己用小圓片來嘗試尋找解決問題的最佳方法，通過反饋比較發現的不同方案，找到最優化的方案，猜測解決的方法，并通過驗證來明確解題策略。（以8瓶中找次品為例題進行教學）

第一層次：學生方法的反饋。

生1：分成2份，稱3次。

生2：分成3份，稱2次。

第二層次：比較方法，找到本質。

問題1：分成2份3次才能找出次品，分成3份只需稱2次，為什么這種分法次數就少呢？

得到結論：應將待分物品分成3份。

問題2：那是不是分的份數越多越好呢？（利用了天平的3個區域）

得到結論：每份相差的數盡量小。

第三層次：通過以上教學環節綜合兩個結論，使學生猜測將待分物品分成3份，每份的數量盡可能一樣多，這就是解決問題的方法。

第四層次：從具體情況推廣的一般問題，使猜想——驗證策略得以落實

引導學生明白僅憑一個例子來說明猜想正確不符合數學的嚴謹性，需要通過更多的事例來驗證。9瓶，27瓶，243瓶……你打算怎樣分？邊驗證邊通過練習使學生能真正領會方法的實質。

三、借助優化思想，暴露解題過程

所謂“優化思想”就是在有限或無限種可行方案（決策）中挑選最優方案（決策）的思想。

多樣化是優化的基礎，沒有多樣化也就無所謂優化。那么，如何才能使學生生成多種問題解決的方法和策略呢？在教學時，教師提出只找2次，能從更多的瓶數中找出次品嗎？要求學生小組合作嘗試分小圓片，并把方案記錄下來。學生從4瓶開始依次嘗試，由于限制次數是2次，學生想出各種方案。

數學學習是自主構建的過程，是師生之間、生生之間交往互動與共同發展的過程，這個過程需要對話與交流。有效的數學交流可以促進學生間眾多信息的相互碰撞，使學生的思維由表層走向深入，促進學生數學思維的發展。針對滲透優化思想的有效交流，凸顯優化，教師在課堂上通過8瓶的例子來引領和促進師生、生生之間展開有效的交流。

1．集中展示學生方法的反饋。

師：你是怎么想的呢？（結合學生的回答演示課件）

2．借助問題尋找方法的優缺點。

師：分成2份3次才能找出次品，分成3份只需稱2次，這種方法好在哪里呢？為什么這種分法次數就少呢？

師（追問）：那是不是分的份數越多越好呢？（揭示問題的本質）分成3份正好利用了天平的哪兒啊？

（在明確了將待分物品分成3份是最好的分法后，進一步分析每份該怎么分）

師：分成3份的方法好像不止這樣一種吧？（1，1，6）（2，2，4）至少要稱幾次呢？（制造矛盾沖突，進一步對比探究）

師：都是分成3份（3，3，2），好在那里？為什么只要稱2次就能找到次品呢？

得到結論：考慮最不利的情況，要使最多的一份盡量少，所以我們在分成3份時，每份的差要盡量小。（結合學生思維分析的過程將兩個結論綜合起來，得到了解決該類數學問題的最優化方法）

在此教學環節中學生經歷了自主探索與合作交流的過程，初步體驗了優化思想在解決問題中的作用

問題是數學的心臟，方法是數學的行為，思想是數學的靈魂。不管是數學概念的建立、數學規律的發現，還是數學問題的解決，乃至整個“數學大廈”的構建，核心問題在于數學思想方法的滲透和建立。數學教學不僅僅要使學生獲得數學知識、數學結論，更重要的是讓學生通過數學探究的學習過程，經歷數學的產生、發展過程，使學生在數學思想、數學思考等方面得到發展，讓學生的數學思維能力得到切實、有效的培訓，真正提升學生的數學素養。

（責編 杜 華）