“隨便怎么乘,都可以!”

前不久，我在執教蘇教版小學數學第五冊“乘法”中的“連乘實際問題”時，恰當的引導活躍了學生的思維，激發了學生探究新知的欲望。同時，學生的獨特發現也開闊了我的教學視野，引發了我的一些教學思考。

一、引導

教材第80頁的例題如下：

依據教學內容和教學目標，我設計了如下教學環節：先用圖出示5個零散的乒乓球和“乒乓球每個2元”的價格，然后讓學生讀圖、獲取信息并提出問題：5個乒乓球多少元？接著我把這5個乒乓球用一個袋子裝起來，整理成，問學生：“這時你會想到什么？”生：“我知道了剛才的問題‘5個乒乓球多少元’還可以說成‘一袋乒乓球多少元’。”這一追問為學生準確理解題意，順利解答所求問題打下了堅實的基礎。最后我出示這樣的6袋乒乓球，讓學生嘗試解決例題中的問題。通過分析和交流，學生出現了如下兩種解法：（1）5×2=10（元），10×6=60（元）；（2）6×5=30（個），30×2=60（元）。

一切按部就班，我暗地自鳴得意。

二、發現

正當我準備結束新授，帶領學生進入練習環節時，一個學生突然舉手發言：“老師，我還有一種解法呢！ 2×6=12（元），12×5=60（元）。” “他的解法可以嗎？”我引導學生們進行討論。

生1：我覺得他的得數是對的。

生2：他的第一步算式2×6=12（元）好像不知道求的是什么。

生3：我認為他的解法是可以的。因為第一步用算式2×6=12（元）求的是上面一排乒乓球多少元，然后再求5排乒乓球一共多少元。（為了讓大家聽得更清楚、明白，生3還特意在教學掛圖上增畫了一條直線，幫助同學理解，如下圖）

通過直觀圖的提示，多數學生豁然開朗了。例題挖掘至此，順風順水。我正準備按常規收尾時，冷不防又有一學生突然冒出一句：“隨便怎么乘，都可以！”“真是這樣嗎？”我很意外，也很震驚。說實話，學生們的這些想法，我在備課時還真沒有認真思考過。雖然這三種解法備課時我已預設，但這類問題是不是都具有同樣的規律呢？教材中的例題確實是隨便怎么乘都可以，那是不是所有類似的實際問題都可以隨便乘呢？根據乘法交換律和結合律的知識，每種不同算式的結果肯定是一樣的，但道理上說得通嗎？為了弄明白這個問題，我決定發動學生一起參與探究，要求大家在練習中留意觀察：是不是所有類似的題目都可以隨便怎么乘？有沒有不可以隨便乘的？

三、驗證

我讓學生帶著問題做練習，鼓勵他們想辦法驗證自己發現的“規律”（還未經驗證），極大地調動了學生探究的興趣。學生通過一系列的練習，發現圖文結合的實際問題都可以隨便乘，但一些文字題目好像不可以隨便乘。如：“一個盒子放6個茶杯，媽媽買了3盒，每個茶杯4元。媽媽一共要付多少元？”學生認為可以先用4×6，求的是一盒茶杯多少元；也可以先用6×3，求的是一共有多少個茶杯，但不能先用4×3，因為每個茶杯的錢數不能乘盒數。這道題與上面的例題很相似，既然例題可以用三種不同的方法解答，為什么這道題就不可以呢？我尋思學生產生這一錯覺的原因。

原來學生在分析題意時，把題目中的“3”僅看作了3盒，這樣用每個茶杯的錢數乘盒數就覺得難以解釋最后的結果。于是，我出示了如下直觀圖，把原來的文字信息轉化成圖示信息，幫助學生分析和理解：如果我們把3盒茶杯疊在一起看，原來的3盒就變成了3層，從圖中不難發現一共有6個豎行的杯子。這時我啟發學生思考：“4×3求的是什么？可以解釋出它的含義嗎？”有了圖的幫助，學生立刻恍然大悟：4×3求的是1個豎行杯子的錢數，這里的“3”還可以看成3層或者是3個。最后，用1個豎行的錢數乘6就得到6個豎行茶杯的錢數，也就是一共需付的錢數。

學生通過實例列舉，最終得出結論：連乘的實際問題隨便怎么乘都可以。有沒有更加科學的方法來幫助學生論證這一發現呢？從上面圖文信息的轉化，我得到了如下啟示：如果把例題中的三個已知信息分別看作一個長方體的長、寬、高的話，那么所求問題不就是這個長方體的體積嗎？任何相關聯的兩個量相乘，乘積都可以用長方形的面積表示，這樣三個量相乘的積，我們也可以用“形”表示出來。比如，我們可以把例題中的信息看作長是6，寬是2，高是5（如下圖）。

第一種解法：5×2=10（元），10×6=60（元）；先求側面的面積，再用側面的面積乘長。

第二種解法：6×5=30（個），30×2=60（元）；先求前面的面積，再用前面的面積乘寬。

第三種解法：2×6=12（元），12×5=60（元）；先求底面積，再用底面積乘高。

無疑，通過這一轉化，我們發現只要是連乘的實際問題，都可以用其中任意兩個相關聯的量先乘，得到長方體一個面的面積，然后乘相應的高就得到了體積。顯然，學生的發現是對的！

四、思考

上述教學內容雖然我教過多次，但從來沒有研究過學生發現的規律，甚至在批改學生的作業時，還花很長的時間和相當多的精力去琢磨學生的解題思路是否正確。在課堂教學中我也只是就教材教教材，停留在教學的表面，缺乏深層次主動思考的意識。學生的慧眼發現，彌補了我這一空白，也啟迪我今后的教學既要不斷增加廣度，更要增加厚度。

回顧這節課，學生之所以有這樣精彩的發現，我覺得首先是得益于課堂上的有效引導，積極啟發學生從多種角度思考同一問題，活躍了學生的思維。其次，當我在課堂上聽到學生不同聲音的時候，并沒有輕易否定或放棄，而是細心琢磨，幫助學生尋找科學的依據，保護了學生創造的積極性。盡管以學生現有的知識水平和思維能力，我們無法幫助他們論證這一“發現”的科學性和嚴密性，但作為教師對學生的正確“發現”要積極給予肯定，鼓勵學生勇于探究和創新，促進他們積極思考，真正讓學生體驗到探究和創新的快樂。同時，在學生今后學習 “長方體和正方體的體積”時，我們不妨相機出示一些上述學過的連乘的實際問題，既讓學生過去的“獨創”得到進一步的論證，也讓學生體會數形結合的思想，并把后續知識的學習與舊知相機結合，豐富了學生的知識結構，拓寬學生數學思維的廣度。

學生經歷上述的探究過程，特別是他們的“發現”得到了科學的論證以后，一定倍感喜悅，這份體驗對學生今后的數學學習都是彌足珍貴的。

（責編 杜 華）