我對“每隔幾天去一次”的理解

蘇教版五年級數學下冊“公倍數和公因數”單元，出現了這樣一道練習題：“暑假期間，小林和小軍都去參加游泳訓練。小林每隔6天去一次，小軍每隔8天去一次。7月31日兩人同時參加了游泳訓練，幾月幾日他們又再次相遇？”題中“每隔幾天去一次”到底相隔多長時間，引起了廣泛爭議，在蘇教版小學數學編輯部黃為良先生做出解釋后，爭議也未能平息。

筆者注意到，教材中緊鄰的上一題與該題很相似：“1路和2路公共汽車早上7時同時從起始站發車，1路車每隔7分鐘發一輛車，2路車每隔8分鐘發一輛車。列表找出這兩路車第二次同時發車的時間。”然而，對于這一題中“每隔7分鐘發一輛車”的認識和理解，大家的意見卻基本一致。

相似的表述，為何理解不一？先來分析“每隔7分鐘發一輛車”。借助時間軸，把時間看作一條無限長的射線，從7∶00開始，到7∶07正好相間隔7分鐘；然后再從7∶07開始，再隔7分鐘，就到了7∶14……

再看“每隔幾天去一次”的問題，根據生活經驗，“隔幾天”應理解為兩個指定日期之間的天數（不包括兩個指定日期在內）。例如，從7月1日到7月3日，中間隔了1天。但數學是門嚴密的自然科學，從數學層面上看，這樣的理解是不全面的。我們仍然可以利用時間軸來說明，但如果還用與上圖相似的方式來描述，顯然是不妥的，因為7∶00是一個時刻，可以在軸上表現為一個點，而1天是一個時間段，表現在軸上是有長度的。基于這樣的認識，不妨用下圖表示7月1日、7月2日、7月3日這三天的時間。如下：

從數學意義上明確“1天＝24小時”后，不難看出，從7月1日的某個時刻到7月3日的某個時刻之間的時間段，最小值是1天，最大值是3天。如果約定7月1日和7月3日的某個時刻為相應日期中的同一時刻（如都是12:00），那么從7月1日到7月3日相隔的時間就是2天，這和生活中的一般理解是有區別的。生活中7月1日與7月3日相隔1天的看法，其根源在于把每一天都看成了一個“點”，忽略了一天在時間上的持續性。當我們把時間的跨度放大，就能明顯看出生活中這一說法的不妥之處。如按照生活中的看法，2008年與2010年應相隔1年，但認為從2008年1月1日到2010年12月31日仍只相隔1年顯然不合適。

分析后發現，教材中的兩道習題是有區別的。“7∶00”是確定的時刻，“發車”本身不占用時間，在時間軸線上，可以把“發車”事件看作一個時間點，且每兩個時間點之間的時間間隔是恒定的，“每隔7分鐘”在嚴格意義上也是確定的，“車站發車”這一事件的發生是連續的、線性的。“7月31日”是一個時間段，“參加游泳訓練”發生在這一時間段的某一段，并開始于某一時刻，它相對于“7月31日”可以看做是時間軸上的一個時間點，這時事件的發生是連續的、線性的。

“7月31日”相對于“參加游泳訓練”在時間軸上不能看作一個點，當“參加游泳訓練”占用一整天時間（24小時）時，“7月31日”就“坍塌”成一個點，“8月1日”和“8月2日”也相應成為一個點，并且它們是彼此孤立的，三個點形成一個序列，沒有線性關系。不難理解，當“參加游泳訓練占用一整天時間”的時候，“隔1天”就如生活中的說法是8月2日了。事實上，生活中的這一說法，從數學層面上分析其實是一個極端的理解，當“游泳訓練占用一整天時間”的時候，這一連續的線性事件已發生了質的變化，成了離散的事件。

當理清事件（或事物）本身屬于“連續”還是“離散”后，很多問題都能得以解釋。例如：自然數中1和4隔幾個數？這一問題事件本身是離散的，每個自然數應看作各自孤立的點，因此，自然數中1和 4之間隔兩個數。如果問題是“自然數1和4相差多少”，問題事件本身呈連續的線性關系，可以把自然數放在數軸上考慮（如下圖），自然數1和自然數4均是數軸上的1個點，它們相差3。

再如：一排房間依次編號101、102、103、104……①101房和103房隔幾間房？②101房和103房隔多遠？問題①事件本身是離散的，101、102、103三間房均可以看作各自獨立的點，101房和103房之間隔1間房；問題②事件本身是線性關系，最小值是1間房的寬度，最大值是3間房的寬度。

仔細分析會發現：在連續性事件上，“每隔7分鐘發一次車”和“每7分鐘發一次車”的意義是相同的，因為發車不占用時間，且任意每兩次發車之間的時間間隔是恒定的；而在離散性事件中，“每隔6天游一次泳”和“每6天游一次泳”的意義不同，因為“每6天去一次”可理解為“在這6天中的任意一天去”，相鄰兩次所間隔的時間不一定相等。

如此看來，生活中的習慣說法只是事物在數學意義上狀態的一種。7月1日與7月3日之間“隔1天”“隔2天”和“隔3天”的說法都是成立的，“每天游一次泳”與“每隔一天游一次泳”在數學層面上的理解可以是相同的，因為在“每天游一次泳”的兩次游泳之間相隔了24小時，即“隔了一天”，也就是說“每天”即“每隔一天”，這在生活中顯然是無法接受的，也是數學上規范性語言和生活中習慣性語言的矛盾。

數學根植于生活，服務于生活，是不是數學上的“約定”就需服從于生活中的“俗成”，如規定從7月1日到7月3日之間“隔1天”呢？筆者認為這顯然是不妥當的。首先，“隔1天”只是一種極端的情況，不具有代表性；其次，不符合數學敘述的一般邏輯和習慣。數學是門構造的自然科學，相比而言，約定從7月1日到7月3日之間“隔2天”比較科學、合理。一是符合生活中的一般做法，通常人們每次間隔做某事的時間都是固定的。二是符合數學的敘述邏輯和構造體系，具有代表性。如從7∶00到7∶07間隔了7分鐘，而不是6分鐘；數軸上從1到6隔了5個單位，而不是隔了4個單位等。三是計算較方便，在形式上直接用末日期減去首日期即可。

這樣的約定與學生通常的生活經驗是沖突的。在實際教學中，教師需要先通過具體的例子幫助學生統一認識，以明晰數學的這一約定與生活中通常說法的區別。例如，7月1日去參加第一次游泳訓練，“每隔2天去一次”是指第二次參加游泳訓練的日期是7月3日；“每隔4天去一次”是指第二次參加游泳訓練的日期是7月5日。當學生明白數學上的約定與生活語言的區別后，再依據這樣的認識去解答相關的實際問題就不會出錯了。

（責編 杜 華）