高考新增知識核心考點揭秘

新增內容的考查已融入高考整體考查之中，不過，仍然是新課程的亮點，是高考命題專家關注的一個重點，也是師生備考關注的焦點之一． 因為“新”，所以對試題的難度、考查的角度等的把握和理解就尤其顯得重要．

一、選修系列1、選修系列2

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算法初步

【考綱要求】 理解程序框圖的三種基本邏輯結構：順序結構、條件結構和循環結構．

【考綱解讀】 算法框圖基本上是新課標試卷的必選項，考查主要集中在程序框圖的理解，特別是其中的循環結構． 雖然在考綱中提出了“理解幾種基本算法語句”，但某些地區沒有將其納入考試范圍．

【經典例題】 執行如圖1的程序框圖，輸出結果S等于（ ）

A． 20 B． 35 C． 40 D． 45

命題意圖 本題主要考查程序框圖，循環結構、條件結構．

思路分析 讀框圖，從第一項開始按部就班地寫起，這是算法思想考查的根本，步驟短的直接得到結果，步驟長的就要注意發現規律．

完美解答 第一次循環輸出：S=-1，i=2；第二次循環輸出：S=-1+4-1=2，i=4；第三次循環輸出：S=2+8-1=9，i=6；第四次循環輸出：S=9+12-1=20，i=8，結束循環，所以輸出S=20． 選A．?搖

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圖1

【命題趨勢】 預測算法初步仍是必考內容，一道客觀題或者是與統計、數列、函數、不等式等結合的解答題，難度不大，重點在程序框圖，內容為對算法框圖功能的認識，寫出輸出的結果，或者是完善框圖中的內容，特別是循環結構、條件結構的考查．

三視圖

【考綱要求】 能畫出簡單空間圖形（長方體、球、圓柱、圓錐、棱柱等的簡易組合）的三視圖，能識別上述的三視圖所表示的立體模型，會用斜二測法畫出它們的直觀圖． 會用平行投影與中心投影兩種方法，畫出簡單空間圖形的三視圖與直觀圖．

【考綱解讀】 《說明》要求對簡單空間圖形——畫出三視圖——想象立體模型，這是一個從實物到視圖再到立體結構圖的過程，這個過程構成了三視圖考查的核心． 簡單空間圖形表面積和體積的計算和上述三視圖到直觀圖的過程結合，構成了新課程高考三視圖考查的主流命題形式．

【經典例題】 一個空間幾何體的三視圖如圖2所示，則該幾何體的表面積為__________．

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圖2

命題意圖 本題主要考查三視圖與直觀圖的轉換，考查空間想象能力以及簡單的多面體表面積計算．

思路分析 能識別長方體、球、圓柱、圓錐、棱柱等的簡易組合的三視圖是基礎． 解題就是“看（三視圖）——想（直觀圖、實物）——算（面積、體積）”，關鍵是“想象”，這是新課程中考查空間想象能力的一個重要“落腳點”．

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圖3

完美解答 由三視圖可知，幾何體是底面為等腰梯形的棱柱． 底面等腰梯形的上底為2，下底為4，高為4，兩底面積和為2×■（2+4）×4=24，四個側面的面積為4×（2+4+2■）=24+8■，所以幾何體的表面積為48+8■．

【命題趨勢】 三視圖仍是知識點考查的必選項，以客觀題為主，也有滲透在解答題中的可能，突出對三視圖的理解，對空間想象能力的考查，通過讀圖，得到直觀圖的一些數據和幾何特征，從而展開計算或證明． 考試中體現的主要是“看”、“想（畫）”、“算”三部曲，看得懂，想（畫）得出、算得對，其中空間想象是根本，是考查的側重點．

函數與零點

【考綱要求】 結合二次函數的圖象，了解函數的零點與方程根的聯系，判斷一元二次方程根的存在性及根的個數，能判斷函數在某個區間上是否存在零點．

【考綱解讀】 考綱中對零點的概念要求“了解”，而對零點存在性、根的個數要求是“判斷”層次，即掌握．體現出兩種考查方向，一種是根據指數函數、對數函數、冪函數、二次函數、三角函數等函數圖象及零點存在定理等，通過估值，判斷根的存在性、存在區間、個數等；另一種則與一元二次方程根的分布相關，如和導數綜合．無論哪種方向都特別強調利用數形結合、函數方程、轉化等思想方法解決問題．

【經典例題】 函數f（x）=■－cosx在［0，+∞）內（ ）

A． 沒有零點

B． 有且僅有一個零點

C． 有且僅有兩個零點

D． 有無窮多個零點

命題意圖 本題考查零點概念，零點存在性的判定方法，無理函數、三角函數圖象，數形結合思想等．

思路分析 零點問題的解決通常有兩種視角：看成一個函數圖象與X軸交點的橫坐標，通過計算（估計）區間端點函數值的符號，利用零點判定定理求解；看成兩個函數圖象交點的橫坐標，通過更簡單的函數形式，畫出圖象，大致判定零點位置，再結合數據得出要求的結果． 這類問題通常出現在客觀題中，如果涉及根的個數還要依據函數單調性等．

完美解答 （法1）數形結合法，令f（x）=■－cosx=0，則■=cosx，設函數y=■和y=cosx，它們在［0，+∞）的圖象如圖3所示，顯然兩函數的圖象的交點有且只有一個，所以函數f（x）=■－cosx在［0，+∞）內有且僅有一個零點；選B．?搖

■

圖4

（法2）在x∈■，+∞上，■>1，cosx≤1，所以f（x）=■－cosx>0；在x∈0，■上， f ′（ｘ）=■+sinx>0，所以函數f（x）=■－cosx是增函數，又因為f（0）=－1， f■=■>0，所以f（x）=■－cosx在x∈0，■上有且只有一個零點． 選B．?搖

【經典例題】 已知函數f（x）=x3，g（x）=x+■，求函數h（x）=f（x）－g（x）的零點個數，并說明理由．

命題意圖 本題綜合考查函數性質，導數的運算、幾何意義及應用，函數零點等基礎知識，考查數形結合思想、轉化思想以及邏輯思維能力和分析、解決問題的能力．

思路分析 對于在一個區間上連續的函數，零點的判定依據是函數值符號的變化，不過，需要對函數的性質有深入的探討了解，需要充分發揮導數的工具作用，在數形結合、轉化思想的引導下分析、解決問題．

完美解答 由h（x）=x3－x－■知，x∈［0，+∞），而h（0）=0，且h（1）= －1<0，h（2）=6－■>0，則x=0為h（x）的一個零點，且h（x）在（1，2）內有零點，因此h（x）至少有兩個零點． 下面加以證明：

h′（x）=3x2－1－■x■． 記φ（x）=3x2－1－■x■，則φ′（x）=6x+■x■．

當x∈（0，+∞）時，φ′（ｘ）>0，因此φ（ｘ）在（0，+∞）上單調遞增，則φ（ｘ）在（0，+∞）內至多只有一個零點． 又因為φ（1）>0，φ■<0，則φ（ｘ）在■，1內有零點，所以φ（x）在（0，+∞）內有且只有一個零點． 記此零點為x1，則當x∈（0，x1）時，φ（ｘ）<φ（x1）=0；當x∈（x1，+∞）時，φ（x）>φ（x1）=0；所以，當x∈（0，x1）時，h（ｘ）單調遞減，而h（0）=0，則h（x）在（0，x1］內無零點；當x∈（x1，+∞）時，h（ｘ）單調遞增，則ｈ（ｘ）在（x1，+∞）內至多只有一個零點；從而h（x）在（0，+∞）內至多只有一個零點． 綜上所述，h（x）有且只有兩個零點．

【命題趨勢】 函數零點處于知識網絡的交匯點，試題難度調控余地大，載體多樣，題型靈活，既可以很好地考查數學基礎知識，又可以自然深入地考查數學思想方法和數學素質，是高考命題者青睞的著眼點之一，相信也是新一年高考中的重點內容之一．

合情推理

【考綱要求】 能利用歸納和類比等進行簡單的推理，掌握演繹推理的基本模式，并能運用它們進行一些簡單推理．

【考綱解讀】 合情推理（主要指類比與歸納）往往超越前提所包含的范圍，其結論不一定成立，卻是創新的必由之路，所以高考對合情推理的考查格外重視，往往成為一份試卷中的亮點之一． 而演繹推理早已在高考中扎下根，無論合情推理或者演繹推理，都重在方法的理解、知識的融會貫通．

【經典例題】 觀察下列等式

1=1

2+3+4=9

3+4+5+6+7=25

4+5+6+7+8+9+10=49

……

照此規律，第n個等式為_______．

命題意圖 本題以數列為載體，考查歸納探索能力、創新意識以及學習的潛能．

思路分析 通過觀察特例，發現特例間的某些相似性，把這種相似性推廣為一個明確表述的一般命題（猜想）． 歸納的重點在觀察，觀察要以熟練的基礎知識掌握為背景，如常見的等差、等比數列、平方數列等，要遵循一定的程序：整體——局部——整體，通過分解、組合更容易發現規律．

完美解答 看等號左邊式子的變化規律，如對應第一、二、三、……等式的第一個數分別是1，2，3，……，項數分別是1，3，5，……，第n個等式左邊一定是n+（n+1）+…+（3n－2），再看右邊的特點，都是完全平方數，與項數相對應，最后歸納出一般結論． 行數、項數及其變化規律是解答本題的關鍵．

n+（n+1）+…+［n+（2n－1）－1］=（2n－1）2，即n+（n+1）+…+（3n－2）=（2n－1）2．

【命題趨勢】 高考選拔人才的目標決定了要重創新、重學習潛能、重數學素質，合情推理作為一個很好的載體，相信會一直放在一個令大家關注的位置．

莖葉圖

【考綱要求】 會畫莖葉圖，理解它的特點．

【考綱解讀】 莖葉圖作為數據統計的一種常見的重要方法，要求“會畫”，重在“理解它的特點”，就是從圖中要能看出、算出它表示的特征數：平均數、中位數、眾數、方差、標準差等． 難度不大，概念清楚是基礎，加倍細心是關鍵．

【經典例題】 莖葉圖（圖4）記錄了甲、乙兩組各四名同學的植樹棵數．乙組記錄中有一個數據模糊，無法確認，在圖中用X表示．?搖?搖

甲組 乙組

9 9 0 X 8 9

1 1 1 0

圖5

（1）如果X=8，求乙組同學植樹棵數的平均數和方差；

（2）如果X=9，分別從甲、乙兩組中隨機選取一名同學，求這兩名同學的植樹總棵數為19的概率．?搖?搖

（注：方差s2=■［（x1－■）2+（x2－■）2+…+（xn－■）2］，其中■為x1，x2，…，xn的平均數）?搖

命題意圖 本題主要考查莖葉圖的定義，平均數、方差的計算，古典概型的求解等．

思路分析 理解莖葉圖的特點，根據公式進行快速準確的運算．

完美解答 （1）當X=8時，由莖葉圖可知，乙組同學的植樹棵數是：8，8，9，10，所以平均數為■=■=■；方差為s2=■8－■2+8－■2+9－■2+10－■2=■．

（2）記甲組四名同學為A1，A2，A3，A4，他們植樹的棵數依次為9，9，11，11；乙組四名同學為B1，B2，B3，B4，他們植樹的棵數依次為9，8，9，10，分別從甲、乙兩組中隨機選取一名同學，所有可能的結果有16個，它們是：（A1，B1），（A1，B2），（A1，B3），（A1，B4），（A2，B1），（A2，B2），（A2，B3），（A2，B4），（A3，B1），（A3，B2），（A3，B3），（A3，B4），（A4，B1），（A4，B2），（A4，B3），（A■，B4），用C表示：“選出的兩名同學的植樹總棵數為19”這一事件，則C中的結果有4個，它們是：（A1，B4），（A2，B4），（A3，B2），（A4，B2），故所求概率為P（C）=■=■．

【命題趨勢】 數據處理能力是新課程提出的一種數學能力，莖葉圖就是其載體之一，特別是文科考生，考查此知識點的概率較大．

全稱量詞與存在量詞

【考綱要求】 理解全稱量詞與存在量詞的意義，能正確地對含有一個量詞的命題進行否定．

【考綱解讀】 全稱量詞、存在量詞的理解是根本，對含有一個量詞的命題進行否定是考試的落腳點．難點在于自覺運用，由于全稱量詞、存在量詞滲透在客觀題、解答題中，與函數、不等式等知識結合，難度自然上升． 對含有一個量詞的命題的否定應成為理性思考的習慣之一．

【經典例題】 參見模擬賽場及《數學金刊》7、8期合刊的相應問題．

【命題趨勢】 試題有兩種模式，一種是客觀題，結合不等式、函數等知識對符號、一個量詞的命題的否定進行考查；再一種滲透在解答題中，作為數學素質、理性思維能力的考查，能根據邏輯關系對問題進行合理的轉化．

獨立性檢驗與回歸分析

【考綱要求】 會作兩個有關聯變量的數據的散點圖，會利用散點圖認識變量間的相關關系． 了解最小二乘法的思想，能根據給出的線性回歸方程的系數公式建立線性回歸方程．了解回歸的基本思想、方法及其簡單應用． 了解獨立性檢驗（只要求2×2列聯表）的基本思想、方法及其簡單應用．

【考綱解讀】 這里對“基本思想、方法”的要求都是“了解”，理論要求不高，但要求中還有“會”、“能”、“簡單應用”等較高要求，重在實際應用，能根據給出的公式進行正確分析、運算．

【經典例題】 2012年春節過后，鐵路返程客流平穩回升，為更好地制定以后的春運方案，有關人員分析了自2012年元月24號（農歷大年初二）及以后4天全國鐵路日發送旅客的數據，如表1（單位：萬人）． 確定的分析方法是：序號與其對應的日發送旅客數量為一組數據，先從這五組數據中選取三組做線性回歸分析，再用剩下的兩組作為對分析結果進行檢驗的數據．

表1

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（1）求選取的3組數據中有且僅有兩天是相鄰數據的概率；

（2）若選取的是中間三組數據，試求出y關于x的線性回歸方程■=bx+a；

（3）若由線性回歸方程得到的估計數據，與所選出的檢驗數據的誤差均不超過15（萬人），則認為得到的線性回歸方程是可靠的，試問（2）中所得的線性回歸方程是否可靠．

（注：■=■=■，■=■-■■）

命題意圖 本題考查古典概型、回歸方程，考查對回歸方程基本思想的了解及其簡單應用．

思路分析 古典概型問題突出列舉，只要簡單運算即可；而回歸方程的運算量較大，需要很細心．

完美解答 （1）設選取的3組數據有且僅有兩天是相鄰的事件為A，從5組數據中選取2組，列舉可以得到，共有10種情況，其中選取的3組數據有且僅有兩天是相鄰的情況有6種，每種情況都是等可能出現的，所以P（A）=■． 即選取的3組數據有且僅有兩天是相鄰的概率是■．

（2）由數據，求得■=■（2+3+4）=3，■=■（450+510+580）=■，3■■=4620．■xiyi=2×450+3×510+4×580=4750，■x■■=22+32+42=29，3■2=27．

由公式，求得■=■=■=65，■=■-■■=■－65×3=■．

所以y關于x的線性回歸方程為■=65x+■．

（3）當x=1時，■=65+■=■，■－370=■<15；

同樣，當x=5時，■=65×5+■=■，■－670=■>15．

所以，該研究所得到的線性回歸方程是不可靠的．

【命題趨勢】 這部分內容往往數據煩瑣，計算量大，不過通過精心調試數據或者給出一些數據仍然能命制出高質量的試題，隨著新課程標準的繼續實施和新課程高考改革的不斷深入，考查數據處理能力，特別是運用計算器等現代技術工具對進行數據處理的能力，將是改革的方向之一．

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幾何概型

【考綱要求】 了解幾何概型的意義．

【考綱解讀】 對幾何概形概念的理解要求是“了解”，會解決一些簡單的幾何概型問題即可． 幾何概型的求解與古典概型的求解都屬于比例解法．在考幾何概型的地區中，考查的重心是利用代數或幾何的方法求面積（長度、體積等）．

【經典例題】 小波通過做游戲的方式來確定周末活動，他隨機地往單位圓內投擲一點，若此點到圓心的距離大于■，則周末去看電影；若此點到圓心的距離小于■，則去打籃球；否則，在家看書． 小波周末不在家看書的概率為_______．

命題意圖 本題考查幾何概形以及簡單的面積計算．

思路分析 向平面區域G任投一點P，符合事件A的點P構成平面區域g，則P（A）=■；計算滿足條件的面積，然后利用幾何概型公式得到答案．

完美解答 不在家看書的概率=■=■·π■■+π－■2π=■．

【命題趨勢】 新課程對幾何概形的考查比較慎重，難度不大，重在轉化并求出相應的長度、面積、體積（比）．

冪函數、定積分等

【考綱要求】 了解冪函數的概念，結合函數的圖象，了解它們的變化情況．了解定積分的實際背景；了解定積分的基本思想，了解定積分的概念． 了解微積分基本定理的含義．

【考綱解讀】 鑒于冪函數性質的復雜性，考綱對概念要求“了解”，提出“結合函數的圖象，了解變化的情況”，沒有像其他基本函數那樣提出“性質”層次的要求，所以不要拔高，只要知道給出的五種冪函數圖象變化情況即可．

定積分與微積分定理一般只涉及定積分的幾何意義、簡單的計算，難度不大，掌握基本公式即可．

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對于工序流程圖、結構圖，條件概率，隨機數的意義以及模擬方法，二分法，算法語句等結合課本復習即可，這里不再分析．

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不等式選講

【考綱要求】 能夠利用三維的柯西不等式，三個正數的算術平均、幾何平均不等式證明一些簡單的不等式，解決最大（小）值問題． 理解絕對值三角不等式的代數證明和幾何意義，能利用絕對值三角不等式證明一些簡單的絕對值不等式． 掌握幾種常見類型絕對值不等式的解法．

【考綱解讀】 考綱要求主要體現在兩個方面，一是對不等式本身的證明、幾何意義的理解；二是應用，表現在三個方面：解（絕對值不等式）、證（簡單的不等式）、求（最大、最小值），其中利用三維的柯西不等式或三個正數的算術平均、幾何平均不等式證明難度會較大，有相當大的靈活性，各個地區要求重點不同，有些側重“解”與“求”，有些則側重“證”與“求”．

【經典例題】 設函數f（x）=x－a+3x，其中a>0．

（1）當a=1時，求不等式f（x）≥3x+2的解集；

（2）若不等式f（x）≤0的解集為｛xx≤－1｝，求a的值．

命題意圖 本題考查絕對值不等式的解法、分類討論思想等．

思路分析 解不等式問題相對模式固定，只要掌握一些類型的等價轉化，把含有絕對值的不等式轉化為不含絕對值的不等式，就可解決． 運算量一般不會太大，含有字母問題要分類討論，或者借助圖形求解．

完美解答 （1）當a=1時，f（x）≥3x+2可化為x－1≥2．由此可得x≥3或x≤－1，故不等式f（x）≥3x+2的解集為｛xx≥3或x≤－1｝．

（2）由f（x）≤0得x－a+3x≤0，此不等式化為不等式組x≥a，x－a+3x≤0或x≤a，a－x+3x≤0，即x≥a，x≤■或x≤a，x≤－■. 因為a>0，所以不等式組的解集為xx≤－■?搖． 由題設可得－■=－1，故a=2.

【命題趨勢】 部分地區會繼續堅持只“求”、“解”不“證”的模式，難度不大，絕對值不等式及其幾何意義是重點；考證明的地區也會注意控制難度，注意各模塊選擇上的平衡，避免與競賽方面關聯，柯西不等式及其他重要不等式是必選項．

極坐標參數方程

【考綱要求】 能在極坐標系中用極坐標表示點的位置，能進行極坐標和直角坐標的互化；能在極坐標系中給出簡單圖形（直線、過極點或圓心在極點的圓）的方程；能選擇適當的參數寫出直線、圓和圓錐曲線的參數方程． 掌握直線的參數方程及參數的幾何意義． 能用直線的參數方程解決簡單的相關問題．

【考綱解讀】 主要內容為三部分：極坐標與直角坐標的互化，參數方程和普通方程的互化，參數方程和極坐標的簡單應用． 其中直線參數方程中參數t是最活躍的元素，涉及直線截圓錐曲線的距離問題，與直線有關的最值問題、軌跡問題等可以借助于它便捷的解決．

【經典例題】 在直角坐標系xOy 中，曲線C1的參數方程為x=2cosα，y=2+2sinα（α為參數），M是C1上的動點，P點滿足■=2■，P點的軌跡為曲線C2■

（1）求C2的方程；

（2）在以O為極點，x軸的正半軸為極軸的極坐標系中，射線θ=■與C1的異于極點的交點為A，與C2的異于極點的交點為B，求AB．

思路分析 求極坐標方程與直角坐標方程的思維方式一樣，如相關點法、代入法等，只是符號以及符號的幾何意義不同，極坐標下只要設出曲線上點坐標M（ρ，θ），然后根據條件建立它們之間的數量聯系即可． 涉及長度問題要利用直線參數方程中t或極坐標方程中ρ的幾何意義，結合一元二次方程的有關內容（韋達定理等）求解．

完美解答 （1）設P（x，y），則由條件知M■，■． 由于M點在C1上，所以■=2cosα，■=2+2sinα，即x=4cosα，y=4+4sinα，，從而C2的參數方程為x=4cosα，y=4+4sinα（α為參數）．

（2）曲線C1的極坐標方程為ρ=4sinθ，曲線C2的極坐標方程為ρ=8sinθ．

射線θ=■與C1的交點A的極徑為ρ■=4sin■，射線θ=■與C2的交點B的極徑為ρ■=8sin■．

所以AB=ρ■－ρ■=2■．

【命題趨勢】 兩類坐標系（極坐標系、直角坐標系）下的兩類互化（坐標、方程）仍是重點，極坐標方程、參數方程的應用是核心，圍繞位置、距離、軌跡等命制問題，題型、難度等將繼續保持平穩．

幾何證明選講

【考綱要求】 直角三角形射影定理、圓周角定理、圓的切線的判定定理及性質定理、相交弦定理、圓內接四邊形的性質定理與判定定理、切割線定理、相似三角形的判定與性質定理等．

【考綱解讀】 主要是相似三角形與圓兩方面的內容，難度不大，是初中平面幾何知識的延伸，其核心是線段成比例、相似三角形、圓的切割線等．

【經典例題】 如圖5，D，E分別為△ABC的邊AB，AC上的點，且不與△ABC的頂點重合． 已知AE的長為m，AC的長為n，AD，AB的長是關于x的方程x2－14x+nm=0的兩個根．

（1）證明：C，B，D，E四點共圓；

（2）若∠A=90°，且m=4，n=6，求C，B，D，E所在圓的半徑．

■

圖5

命題意圖 本題考查三角形相似、四點共圓的判定、輔助線的添加等．

思路分析 根據四點共圓的判定定理，以及題目中隱含的相似關系，考慮利用相似得到角的關系，然后證明四點共圓． 根據（1）得到的結論，需要考慮合理添加輔助線，先確定半徑，再求解．

完美解答 （1）連結DE，根據題意在△ADE和△ACB中，AD×AB=nm=AE×AC，即■=■． 又∠DAE=∠CAB，從而△ADE∽△ACB，因此∠ADE=∠ACB，所以C，B，D，E四點共圓．

（2）m=4，n=6時，方程x2-14x+mn=0的兩根為x1=2，x2=12，故AD=2，AB=12．

取CE的中點G，DB的中點F，分別過G，F作AC，AB的垂線，兩垂線相交于H點，連結DH． 因為C，B，D，E四點共圓，所以C，B，D，E四點所在圓的圓心為H，半徑為DH． 由于∠A=90°，故GH∥AB，HF∥AC，HF=AG=5，DF=■（12－2）=5． 故C，B，D，E四點所在圓的半徑為5■．

【命題趨勢】 幾何證明選講仍將圍繞幾個基本定理命題，難度不大，熟悉基本定理和常見的證明模式是取勝的關鍵．

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矩陣與變換

【考綱要求】 二階矩陣與平面向量、矩陣的復合與矩陣的乘法、二階逆矩陣、二階矩陣的特征值和特征向量、二階矩陣的簡單應用?搖

【考綱解讀】 不同地區要求不一，大部分放在“了解”層次，有些放在“理解”層次，如江蘇省． 根據本省的要求備考，達到課本要求即可．

【典型例題】 設矩陣M=a 00 b（其中a＞0，b＞0）．

（1）若a=2，b=3，求矩陣M的逆矩陣M－1；

（2）若曲線C：x2+y2=1在矩陣M所對應的線性變換作用下得到曲線C′：■+y2=1，求a，b的值．

命題意圖 本題考查矩陣與變換等基礎知識，考查運算能力以及化歸與轉化思想．

思路分析 二階逆矩陣的求法以及矩陣下的變換問題基本上都是固定的解題模式，只需按照課本方法熟練應用即可．

完美解答 （1）設矩陣M的逆矩陣M－1=x1 y■x2 y■，則MM－1=1 00 1． 又M=2 00 3，所以2 00 3x1 y■x2 y■=1 00 1，所以2x1=1，2y■=0，3x2=0，3y■=1，即x1=■，y■=0，x2=0，y■=■，

故所求的逆矩陣M －1=■ 00 ■．

（2）設曲線C上任意一點P（x，y），它在矩陣M所對應的線性變換作用下得到點P′（x′，y′），則a 00 bxy=x′y′，即ax=x′，by=y′.又點P′（x′，y′）在曲線C′上，所以■+y′2=1，則■+b2y2=1為曲線C的方程．

又已知曲線C的方程為x2+y2=1，故a2=4，b2=1．

又a>0，b>0，所以a=2，b=1．

【命題趨勢】 從考綱要求和近兩年的考題來看，考查的重點在于理解基本知識、基本思想，突出幾種典型的運算，如二階矩陣與向量乘法，二階矩陣的特征值、特征向量的求法等，不會有偏題、怪題．

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一、選擇題

1． 按圖6所示的程序框圖運算，若輸入x=－1，則輸出k的值為（ ）

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圖6

A． 5?搖 B． 6 C． 7 D． 8

2． 命題“所有能被2整除的數都是偶數”的否定是（ ）

A． 所有不能被2整除的數都是偶數

B． 所有能被2整除的數都不是偶數

C． 存在一個不能被2整除的數是偶數

D． 存在一個能被2整除的數不是偶數

3． 如圖7，是一個空間幾何體的三視圖，其主（正）視圖是一個邊長為2的正三角形，俯視圖是一個斜邊長為2的等腰直角三角形，左（側）視圖是一個兩直角邊長分別為■和1的直角三角形，則此幾何體的體積為（ ）．

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圖7

A． ■?搖?搖?搖 B． 1

C． ■?搖?搖?搖?搖D． 2

4． 設（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn）是變量x和y的n個樣本點，直線l是由這些樣本點通過最小二乘法得到的線性回歸方程（如圖8），以下結論中正確的是（ ）

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圖8

A． x和y的相關系數為直線l的斜率

B． x和y的相關系數在0到1之間

C． 當n為偶數時，分布在l兩側的樣本點的個數一定相同

D． 直線l過點（■，■）

5． 已知函數f（x）（x∈R）是偶函數，函數g（x）（x∈R）是奇函數，且f（x）= －g（x+1），在［0，2］上f（x）=1－x，則方程f（x）=■在［-100，100］內的解的個數是（ ）

A． 98?搖?搖?搖?搖?搖B． 99?搖?搖?搖?搖C． 100?搖?搖?搖?搖?搖D． 101

二、填空題

6． 已知函數f（x）=logax+x－b（a>0且a≠1）． 當2

7． 已知矩陣A=1 12 1，向量β=12，若A2α=β，則向量α=________．

8． 如圖9，EFGH是以O為圓心，半徑為1的圓的內接正方形，將一顆豆子隨機地扔到該圓內，用A表示事件“豆子落在正方形EFGH內”，則P（A）=________．

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圖9

9． 設函數f（x）=■（x>0），觀察：f■（x）=f（x）=■， f■（x）=f（f■（x））=■， f■（x）=f（f■（x））=■， f■（x）=f（f■（x））=■，……根據上述事實，由歸納推理可得：

當n∈N?鄢且n≥2時， f■（x）=f（f■（x））=________．

三、解答題

10． 選修4-1：幾何證明選講

如圖10，PC切⊙O于點C，割線PAB經過圓心O，弦CD⊥AB于點E，已知⊙O的半徑為2，PA＝1，求PC及CE的長．

11． 選修4-4：坐標系與參數方程

在以平面直角坐標系的坐標原點為極點，x軸的非負半軸為極軸建立極坐標系中，曲線E的參數方程為x=2cosα，y=1+cos2α（α為參數），曲線F的極坐標方程為ρsinθ+■=■．

（1）求曲線E在直角坐標系中的參數方程及曲線F的普通方程；

（2）判斷兩曲線的位置關系，若相交，求交點坐標；若不相交，說明理由．

12． 選修4-5：不等式選講

已知函數f（x）＝x－1－1，g（x）＝ －x＋1－4．

（1）若函數f（x）值不大于1，求x的取值范圍；

（2）若不等式f（x）－g（x）≥m＋1的解集為R，求m的取值范圍．