高考平面向量核心考點(diǎn)揭秘

高考對平面向量的考點(diǎn)分為以下兩類:（1）考查平面向量的概念、性質(zhì)和運(yùn)算，向量概念所含內(nèi)容較多，如單位向量、共線向量、方向向量等基本概念和向量的加、減、數(shù)乘、數(shù)量積等運(yùn)算，高考中或直接考查或用以解決有關(guān)長度、垂直、夾角、判斷多邊形的形狀等問題，此類題一般以客觀題形式出現(xiàn)，難度不大；（2）考查平面向量的綜合應(yīng)用．平面向量常與平面幾何、解析幾何、三角等內(nèi)容交叉滲透，使數(shù)學(xué)問題的情境新穎別致，自然流暢，此類題一般以解答題形式出現(xiàn)，綜合性較強(qiáng)．

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平面向量的線性運(yùn)算

【考綱要求】 掌握向量加、減法以及向量數(shù)乘的運(yùn)算，并理解其幾何意義，理解兩個(gè)向量共線的含義．了解向量線性運(yùn)算的性質(zhì)及其幾何意義．

【考綱解讀】 向量的線性運(yùn)算以加法、減法、數(shù)乘為主體，其幾何意義是對向量的方向、大小的改變，但不改變向量本身的屬性．高考中側(cè)重于對三角形法則和平行四邊形法則的考查．

【經(jīng)典例題】 在△ABC中，AB=3，AC=1，D為BC的中點(diǎn)，則■·■=________．

命題意圖 考查向量的加法、減法、數(shù)乘運(yùn)算．

思路分析 用有向線段表示的向量都可以利用加法的三角形法則轉(zhuǎn)化為由同一頂點(diǎn)作為始點(diǎn)的兩個(gè)向量的差，本題可將■，■用已知條件中的向量表示，即可求解．

完美解答 ■·■=■（■+■）·（■－■）=■（■2-■2）=■（1－9）= －4．

【經(jīng)典例題】 已知△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)P，且滿足■=■■+■■，那么（ ）

A． ■+■+■=0

B． ■+■+■=■

C． ■+■+■=■

D． ■+■+■=■

命題意圖 本題考查向量的加法、減法、數(shù)乘運(yùn)算．

思路分析 本題可將已知條件中的向量轉(zhuǎn)化為以P為始點(diǎn)的向量，即可求解．

完美解答 因?yàn)椤?■■+■■，所以－■=■（■－■）+■（■－■），整理可得■=－2■，將其帶入各個(gè)選項(xiàng)，只有D符合．

【命題預(yù)測】 向量的線性運(yùn)算會(huì)繼續(xù)以選擇題或填空題的形式進(jìn)行考查，且試題可能會(huì)配以圖形或以上述例題的形式進(jìn)行考查．

平面向量的數(shù)量積

【考綱要求】 理解平面向量數(shù)量積的含義及其物理意義；了解平面向量的數(shù)量積與向量投影的關(guān)系；掌握數(shù)量積的坐標(biāo)表達(dá)式，會(huì)進(jìn)行平面向量數(shù)量積的運(yùn)算；能運(yùn)用數(shù)量積表示兩個(gè)向量的夾角，會(huì)用數(shù)量積判斷兩個(gè)平面向量的垂直關(guān)系．

【考綱解讀】 高考側(cè)重于考查向量數(shù)量積在求解向量夾角問題、投影問題、判斷向量垂直關(guān)系問題中的應(yīng)用，同時(shí)也越加注重考查平面向量數(shù)量積在求解平面幾何、解析幾何、三角等問題中的工具性的作用．

【經(jīng)典例題】 點(diǎn)M是邊長為2的正方形ABCD內(nèi)或邊界上一動(dòng)點(diǎn)，N是邊BC的中點(diǎn)，則■·■的最大值是_________．

命題意圖 本題考查兩個(gè)向量垂直的充要條件、向量的數(shù)量積．

思路分析 建立如圖1所示的坐標(biāo)系，表示出■，■，進(jìn)而可得■·■，再利用線性規(guī)劃的方法求出■·■的最大值．

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圖1

完美解答 以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，以AD方向?yàn)閤軸正方向，以AB方向?yàn)閥軸負(fù)方向建立坐標(biāo)系，則■=（1，-2）．

設(shè)M點(diǎn)坐標(biāo)為（x，y），則■=（x，y），則0≤x≤2，-2≤y≤0．

令z=■·■=x-2y，由題意可得z的最大值在正方形的頂點(diǎn)處取得，將A，B，C，D四點(diǎn)坐標(biāo)依次代入得：zA=0，zB=4，zC=6，zD=2，故z=■·■的最大值為6．

【命題趨勢】 向量數(shù)量積在2012年的高考中還會(huì)涉及，且關(guān)于向量數(shù)量積在求角，判斷平行、垂直關(guān)系中的應(yīng)用仍會(huì)以選擇題或填空題的形式出現(xiàn)． 三角和解析幾何中一定還會(huì)出現(xiàn)向量數(shù)量積的“身影”，但是總體難度不會(huì)太大．

向量的應(yīng)用

【考綱要求】 會(huì)用向量方法解決某些簡單的平面幾何問題；會(huì)用向量方法解決簡單的力學(xué)問題與其他一些實(shí)際問題．

【考綱解讀】 向量在解答平面幾何問題中往往起到的只是一個(gè)“工具”性作用，通過歷年試題分析可知，在證明和判斷直線的平行、垂直問題時(shí)，高考越來越傾向于應(yīng)用向量求解．

【經(jīng)典例題】 已知向量a=（1+sin2x，sinx－cosx），b=（1，sinx+cosx），函數(shù)f（x）=a·b．

（1）求f（x）的最大值及相應(yīng)的x的值；

（2）若f（θ）=■，求cos2■－2θ的值．

命題意圖 本題主要考查向量的基本概念，同時(shí)考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式、二倍角的正弦、兩角和的正弦與余弦公式，考查運(yùn)算和證明的基本能力．

思路分析 很多問題中的向量數(shù)量積都是“曇花一現(xiàn)”，其實(shí)質(zhì)作用就是構(gòu)造三角恒等式，為解題提供三角方程．

完美解答 （1）因?yàn)閍=（1+sin2x，sinx－cosx），b=（1，sinx+cosx），所以

f（x）=a·b=1+sin2x+sin2x－cos2x=1+sin2x－cos2x=■sin2x－■+1．

因此，當(dāng)2x－■=2kπ+■，即x=kπ+■（k∈Z）時(shí)，f（x）取得最大值■+1．

（2）由f（θ）=1+sin2θ－cos2θ及f（θ）=■得sin2θ－cos2θ=■，兩邊平方得

1－sin4θ=■，即sin4θ=■．

因此，cos2■－2θ=cos■－4θ=sin4θ=■．

【經(jīng)典例題】 已知橢圓C：■+■=1（a>b>0）的左、右兩焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，P是橢圓C上的一點(diǎn)，且在x軸的上方，H是PF1上一點(diǎn)，若■·■=0，■·■=0，■=λ■，其中λ∈■，■，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．

（1）求橢圓C離心率e的最大值;

（2）如果離心率e取（1）中求得的最大值，已知b2=2，點(diǎn)M（－1，0），設(shè)Q是橢圓上的一點(diǎn)，過Q，M兩點(diǎn)的直線l交y軸于點(diǎn)N，若■=2■，求直線l的方程．

命題意圖 本題重在考查向量數(shù)量積在判斷直線位置關(guān)系中的應(yīng)用和向量的數(shù)乘運(yùn)算的幾何意義的應(yīng)用，也考查了向量相等條件的應(yīng)用．

思路分析 兩個(gè)向量的數(shù)量積為0，則對應(yīng)的兩條直線互相垂直，沿著這個(gè)突破口可應(yīng)用解析幾何的相關(guān)知識(shí)求解問題． 向量的數(shù)乘運(yùn)算除了能夠根據(jù)幾何意義得到對應(yīng)線段長度間的比例關(guān)系外，還可以利用坐標(biāo)對應(yīng)相等的條件來得到方程，為求解坐標(biāo)問題提供條件．

完美解答 （1）由題意知PF2⊥F1F2，OH⊥PF1，則有△F1OH與△F1PF2相似，所以■=■=λ． 設(shè)F1（－c，0），F(xiàn)2（c，0），P（c，y1），其中c>0，則有■+■=1，解得y■=■，所以PF■=y■=■． 根據(jù)橢圓的定義得F1P=2a－PF■=2a－■，所以λ=■，即■=■． 所以e2=■=1－■=■－1． 顯然e2=■－1在■，■上是單調(diào)減函數(shù)，當(dāng)λ=■時(shí)，e2取最大值■，所以橢圓C離心率e的最大值是■．

（2）由（1）知e2=■=1－■=1－■=■，解得a2=4，所以此時(shí)橢圓C的方程為■+■=1． 由題意知直線l的斜率存在，故設(shè)其斜率為k，則其方程為y=k（x+1），N（0，k）． 設(shè)Q（x1，y1），由于■=2■，所以有（x1，y1－k）=2（－1－x1，－y1）．所以x1=－■，y1=■． 又Q是橢圓C上的一點(diǎn)，則■+■=1，解得k= ±4，所以直線l的方程為4x－y+4=0或4x+y+4=0．

【命題趨勢】 在新一年的高考中，向量在解析幾何、三角問題中的應(yīng)用只會(huì)有增無減，而且對于解析問題會(huì)進(jìn)一步深化向量法解題的廣度和力度． 試題主要以解答題的形式出現(xiàn)．

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平面向量的基本定理及坐標(biāo)表示

?搖?搖【考綱要求】 了解平面向量的基本定理及其意義；掌握平面向量的正交分解及其坐標(biāo)表示；會(huì)用坐標(biāo)表示平面向量的加法、減法與數(shù)乘運(yùn)算；理解用坐標(biāo)表示的平面向量共線的條件．

【考綱解讀】 平面向量的基本定理實(shí)質(zhì)上就是向量間的一種線性表示，從歷年真題可以看出，基本定理常常與向量的線性運(yùn)算一起考查．對向量的坐標(biāo)運(yùn)算的考查常常是針對向量的平行、垂直關(guān)系和數(shù)量積而進(jìn)行的． 以上都是高考中考查的熱點(diǎn)，但是難度不大．

【經(jīng)典例題】 在等邊三角形ABC中，點(diǎn)P在線段AB上，滿足■=λ■，若■·■=■·■，則實(shí)數(shù)λ的值是_________．

命題意圖 本題考查向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算問題．

思路分析 建立平面直角坐標(biāo)系，用坐標(biāo)表示向量，利用數(shù)量積公式構(gòu)建方程，從而求出實(shí)數(shù)λ的值．

完美解答 以BC的中點(diǎn)為原點(diǎn)，BC所在直線為x軸、BC的垂直平分線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系，并使A落在y軸的正半軸上，C落在x軸的正半軸上．

利用賦值法，令A(yù)B＝BC＝AC＝2，則A，B，C的坐標(biāo)依次是A（0，■），B（－1，0），C（1，0），所以■＝（－1，－■），■＝（－1，■）．

依題意，有■=λ■＝（－λ，－■λ）（0<λ<1），

所以■=■－■＝（－1＋λ，－■＋■λ），

■=■+■＝（－1－λ，■－■λ）．

因?yàn)椤觥ぁ?■·■，所以■·■= －■·■，

所以（1＋λ）＋（－■）（■－■λ）＝λ2－λ＋■λ（－■＋■λ），

所以λ＝1－■．

【命題趨勢】 2012年高考對于向量的坐標(biāo)運(yùn)算的考查仍會(huì)繼續(xù)，且還會(huì)以關(guān)于向量的平行、垂直、數(shù)量積運(yùn)算為主，同時(shí)會(huì)更加凸顯工具性的作用，會(huì)與三角、解析幾何等知識(shí)進(jìn)行綜合考查，考查形式以選擇、填空、解答題的形式出現(xiàn)．

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一、選擇題

1． 在△ABC中，已知D是AB邊上一點(diǎn)，若■=4■，■=■■+λ■（λ∈R），則λ的值為（ ）

A． ■?搖 B． ■?搖 C． ■?搖 D． ■

2． 已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)M的坐標(biāo)為（a，1）（a>0），點(diǎn)N（x，y）的坐標(biāo)x，y滿足不等式組x+2y－3≤0，x+3y－3≥0，y≤1. 若當(dāng)且僅當(dāng)x=3，y=0 時(shí)，■·■取得最大值，則a的取值范圍是（ ）

A． 0，■B． ■，+∞

C． 0，■D． ■，+∞

3．設(shè)O是△ABC內(nèi)部的一點(diǎn)，且■+2■+2■=0，則△ABC和△OBC的面積之比為（ ）

A． 3∶2B． 5∶2?搖

C． 4∶1D． 5∶1

二、填空題

4． 在△ABC中，點(diǎn)M滿足■+■+■=0，若■+■+m■=0，則實(shí)數(shù)m的值為_______．

5． 在△ABC中，∠BAC=120°，AB=2，AC=1，D是邊BC上一點(diǎn)，DC=2BD，則■·■=_______．

6． 如圖2，在正方形ABCD中，E為AB的中點(diǎn)，P是以A為圓心、AB為半徑的圓弧上的任意一點(diǎn)，設(shè)向量■=λ■+μ■，則λ+μ的最小值為______.

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圖2

7． 已知■=（2，0），■=（2，2），■=（■cosα，■sinα），則■與■夾角的取值范圍是_______．

8． 如圖3，在直角梯形ABCD中，AB⊥AD，AD=DC=1，AB=3，動(dòng)點(diǎn)P在△BCD內(nèi)運(yùn)動(dòng)（含邊界），設(shè)■=α■+β■（α，β∈R），則α+β的取值范圍是_______．

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圖3

三、解答題

9． 已知向量m=2■sin■，2，n=cos■，cos2■．

（1）若m·n=2，求cosx+■的值；

（2）記f（x）=m·n，在△ABC中，∠A，∠B，∠C的對邊分別是a，b，c，且滿足（2a－c）cosB=bcosC，求f（A）的取值范圍．