高考數(shù)列核心考點(diǎn)揭秘

數(shù)列是傳統(tǒng)高考考查的核心內(nèi)容，也是新高考考查的重點(diǎn)． 數(shù)列蘊(yùn)涵著豐富的數(shù)學(xué)思想，是考查邏輯推理和轉(zhuǎn)化化歸能力的良好素材． 新課程高考數(shù)列難度有所降低，但在很多地區(qū)的高考命題中仍將其作為“把關(guān)題”，難度大、區(qū)分度高．

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等差數(shù)列與等比數(shù)列

【考綱要求】 （1）理解等差數(shù)列的概念，掌握等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式，并能解決簡單的實(shí)際問題；

（2）理解等比數(shù)列的概念，掌握等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式，并能解決簡單的實(shí)際問題．

【考綱解讀】 等差、等比數(shù)列是兩類最基本的數(shù)列，等差、等比數(shù)列的定義、通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)的和等基本知識一直是高考考查的重點(diǎn)，這方面考題的解法靈活多樣，技巧性強(qiáng)，考查的目的在于測試考生靈活運(yùn)用知識的能力，這個(gè)“靈活”就集中在“轉(zhuǎn)化”的水平上．

【經(jīng)典例題】 設(shè)等比數(shù)列｛an｝的公比為q，前n項(xiàng)和為Sn，若Sn+1，Sn，Sn+2成等差數(shù)列，則q的值為_______．

命題意圖 本題主要考查等差、等比數(shù)列的定義．

思路分析 等差、等比數(shù)列的定義與性質(zhì)是解決客觀題的“金鑰匙”， 回歸定義能避免分類討論；由特殊到一般更是解決數(shù)列問題常用的方法．

完美解答 法1：由題意，Sn－Sn+1=Sn+2－Sn，所以－an+1=an+2+an+1，得an+2=－2an+1，所以q=－2.

法2：由題意有2S1=S2+S3，所以a3=－2a2，所以q=－2.

【經(jīng)典例題】 已知等比數(shù)列｛an｝滿足an>0，且an－1，an+1是方程x2+mx+22n=0的兩個(gè)實(shí)根，則log2a1+log2a3+…+log2a2n－1等于（ ）

A． n（2n－1）?搖 ?搖B． （n+1）2

C． n2D． （n－1）2

命題意圖 本題主要考查等比數(shù)列的定義與性質(zhì)、等差數(shù)列的求和．

思路分析 等差、等比數(shù)列的定義與性質(zhì)是解決客觀題的“金鑰匙”， 回歸定義能避免分類討論，合理利用性質(zhì)能簡化解題．

完美解答 因?yàn)閍n－1·an+1=a■■=22n，an>0，所以an=2n，所以log2a1+log2a3+…+log2a2n－1=log2（a1a3…a2n－1）=log22■=log22■=n2，故選C．

【命題趨勢】 等差數(shù)列與等比數(shù)列的定義與性質(zhì)的考查（文科解答題也將以等差數(shù)列與等比數(shù)列為載體）常見于客觀題，要求熟練掌握它們的性質(zhì)與解題方法．

an與Sn的關(guān)系

【考綱要求】 了解an與Sn的關(guān)系，并能解決簡單的實(shí)際問題．

【考綱解讀】 an與Sn是數(shù)列中兩個(gè)重要的量，利用an與Sn的關(guān)系an=S1，n=1，Sn－Sn－1，n≥2可以求得其中一個(gè)，進(jìn)而解決問題，求解時(shí)要注意分類討論．

【經(jīng)典例題】 已知數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)和為Sn，且對任意正整數(shù)n，有Sn，■an，n（a≠0，a≠1，a為常數(shù)）成等差數(shù)列，則數(shù)列｛an｝的通項(xiàng)公式an=________．

命題意圖 本題考查an與Sn的關(guān)系，考查數(shù)列通項(xiàng)公式的求法．

思路分析 由條件得到an與Sn的關(guān)系式，再構(gòu)造an+1與Sn+1的關(guān)系，進(jìn)而求出an的通項(xiàng)公式．

完美解答 由題意■an=Sn+n①，所以■an+1=Sn+1+n+1②，

②-①得■an+1=■an+1，即an+1+1=a（an+1），

所以｛an+1｝是以a為公比的等比數(shù)列，所以an+1=（a■+1）an－1，

又由■a1=a1+1?圯a1=a－1，所以an=an－1．

【命題趨勢】 an與Sn是數(shù)列問題的核心，而兩者的關(guān)聯(lián)多次在考題中出現(xiàn)．

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數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和

【考綱要求】 理解數(shù)列的概念，了解數(shù)列通項(xiàng)公式的意義；了解數(shù)列求和的常用方法（倒序相加法、錯(cuò)位相減法、裂項(xiàng)相消法）．

【考綱解讀】 數(shù)列的通項(xiàng)與求和是數(shù)列考查的重要內(nèi)容，要求理解數(shù)列通項(xiàng)公式的意義和求法；掌握數(shù)列的通項(xiàng)與前n項(xiàng)和的關(guān)聯(lián)，了解并掌握數(shù)列求和的常用方法．

【經(jīng)典例題】 已知數(shù)列｛an｝滿足a1=1，an>0，Sn是數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)和，對任意的n∈N?鄢，有2Sn=p（2a■■+an－1），p為常數(shù)．

（1）求數(shù)列｛an｝的通項(xiàng)公式；

（2）設(shè)bn=■，求數(shù)列｛bn｝的前n項(xiàng)和Tn；

（3）設(shè)cn=■，求數(shù)列｛cn｝的前n項(xiàng)和Hn．

命題意圖 本題以數(shù)列前n項(xiàng)和為載體，考查數(shù)列的通項(xiàng)與求和．

思路分析 Sn與an是數(shù)列中兩個(gè)重要的量，Sn與an之間的關(guān)系是解決數(shù)列問題的前提，解題時(shí)要注意n=1的情況，對于（2）要運(yùn)用錯(cuò)位相減法求和；第3問用裂項(xiàng)相消法求和．

完美解答 （1）當(dāng)n=1時(shí)，2S1=p（2a■■+a1－1），又a1=S1=1，所以p=1．

所以2Sn=2a■■+an－1，又2Sn+1=2a■■+an+1－1，

兩式相減得：

（an+1+an）（2an+1－2an－1）=0．

因?yàn)閍n>0，所以an+1=an+■，

所以｛an｝是以1為首項(xiàng)，■為公差的等差數(shù)列，所以an=■．

（2）由bn=■=■，

則Tn=■+■+■+…+■，

■Tn=■+■+■+…+■+■，

相減，得■Tn=■+■+■+…+■－■=■+■－■=■－■－■，

所以Tn=■－■．

（3）由cn=■=■=4■－■，

所以Hn=c1+c2+…+cn=4■－■+■－■+…+■－■=■．

【經(jīng)典例題】 已知正數(shù)數(shù)列｛an｝滿足：a1=1，Sn=■an+■，其中Sn為數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)和．

（1）求數(shù)列｛an｝的通項(xiàng)an；

（2）求■+■+…+■的整數(shù)部分．

命題意圖 數(shù)列的通項(xiàng)與前n項(xiàng)和的關(guān)系是數(shù)列中最重要的關(guān)系，由Sn與an的關(guān)系求出an后再求和．

思路分析 題目條件給出的是Sn與an的關(guān)系，保留Sn還是an是解題的關(guān)鍵；而第1問求出an是解決第2問的前提，第2問是非精確求和，要求對■進(jìn)行合理放縮．

完美解答 （1）因?yàn)镾n=■an+■=■（Sn－Sn-1）+■，

即Sn+Sn-1=■，即S■■-S■■=1，n=2，3，4…，所以S■■為等差數(shù)列．

又S■■=a■■=1，所以S■■=n，所以Sn=■，所以an=1，n=1，■－■，n≥2.

（2）■=■=■，當(dāng)n≥2時(shí)，2（■－■）=■<■=■<■=2（■－■），所以18<2（■－1）<■+■+…+■<■+2（■－1）=19，■+■+…+■的整數(shù)部分為18．?搖

【命題趨勢】 高考對數(shù)列的考查離不開通項(xiàng)與前n項(xiàng)和，通過主觀題考查簡單數(shù)列的通項(xiàng)與前n項(xiàng)和，對理科的要求較高．

遞推數(shù)列

【考綱要求】 了解遞推公式是給出數(shù)列的一種方法，會(huì)根據(jù)簡單的遞推關(guān)系求數(shù)列的通項(xiàng)公式．

【考綱解讀】 遞推數(shù)列是數(shù)列的重要內(nèi)容，是高考的亮點(diǎn)，是考查邏輯推理和化歸能力的好素材． 要求能掌握幾類簡單的遞推數(shù)列求通項(xiàng)公式的方法，如疊加法、累乘法、待定系數(shù)法等．

【經(jīng)典例題】 已知數(shù)列｛an｝滿足a1=■，2an+an-1=（-1）nan·an-1（n≥2，n∈N?鄢），an≠0．

（1）證明：數(shù)列■+（－1）n■（n∈N?鄢）為等比數(shù)列，求出｛an｝的通項(xiàng)公式；

（2）設(shè)bn=an·sin■，數(shù)列｛bn｝的前n項(xiàng)和為Tn，

求證：對任意n∈N?鄢，Tn<■．

命題意圖 本題由連續(xù)幾項(xiàng)的線性遞推關(guān)系求通項(xiàng)公式，關(guān)鍵在于構(gòu)造，要注意聯(lián)系問題中數(shù)列的形式進(jìn)行構(gòu)造．

思路分析 本題第1問通過構(gòu)造等比數(shù)列求得數(shù)列的通項(xiàng)公式；第2問運(yùn)用放縮法證明．

完美解答 （1）由2an+an－1=（－1）nan·an－1，有■=（－1）n－■，所以■+（－1）n=（－2）■+（－1）n－1，

數(shù)列■+（－1）n是首項(xiàng)為■+（－1）=3，公比為－2的等比數(shù)列．

所以■+（－1）n=3·（－2）n－1，所以an=■=■．

（2）因?yàn)閟in■=（－1）n－1，所以bn=■=■，

所以Tn=■+■+■+…+■<■+■+■+…+■=■1+■■+■■+…+■=■·■=■1-■<■.?搖?搖?搖?搖?搖?搖?搖

【命題趨勢】 遞推數(shù)列是新高考的亮點(diǎn)． 命題者都“樂此不疲”地命制以遞推數(shù)列為背景的數(shù)列題，要求能夠掌握幾類常見遞推數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法．

數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法

【考綱要求】 了解數(shù)學(xué)歸納法原理，能用數(shù)學(xué)歸納法證明一些簡單的數(shù)學(xué)問題（文科不作要求）．

【考綱解讀】 明確數(shù)學(xué)歸納法原理及步驟，關(guān)鍵是“找出n與n+1的遞推關(guān)系，合理利用歸納假設(shè)，湊出結(jié)論”．

【經(jīng)典例題】 等比數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)和為Sn，已知對任意的n∈N?鄢，點(diǎn)（n，Sn）均在函數(shù)y=bx+r（b>0且b≠1，b，r均為常數(shù)）的圖象上．

（1）求r的值；?搖?搖?搖

（2）當(dāng)b=2時(shí)，記bn=2（log2an+1）（n∈N?鄢），

證明：對任意的n∈N?鄢，不等式■·■…■>■成立．

命題意圖 本題考查等比數(shù)列的定義、通項(xiàng)公式以及數(shù)學(xué)歸納法．

思路分析 第1問由條件直接求解；第2問運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式，從“n=k”到“n=k+1”的證明要用到放縮法．

完美解答 （1）由條件得Sn=bn+r，當(dāng)n=1時(shí)，a1=S1=b+r，

當(dāng)n≥2時(shí)，an=Sn－Sn－1=bn+r－（bn－1+r）=bn－bn－1=（b－1）bn－1．

又｛an｝為等比數(shù)列，所以r=－1，公比為b，an=（b－1）bn－1．

（2）當(dāng)b=2時(shí)，an=（b－1）bn－1=2n－1，bn=2（log2an+1）=2（log22■+1）=2n，

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數(shù)列與函數(shù)（導(dǎo)數(shù)）、不等式的綜合

【考綱要求】 在知識的交匯點(diǎn)處設(shè)置試題是新高考命題的趨勢．

【考綱解讀】 數(shù)列是特殊的函數(shù)，領(lǐng)會(huì)函數(shù)、方程的思想是解決數(shù)列問題的關(guān)鍵，而不等式則是深刻理解數(shù)列和函數(shù)的重要工具，三者的綜合是對基礎(chǔ)和能力的雙重檢驗(yàn)．

【經(jīng)典例題】 已知函數(shù)f■（x）=■+■（其中n是常數(shù)，n∈N?鄢），將函數(shù)f■（x）的最大值記為an，由an構(gòu)成的數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)和記為Sn．

（1）求Sn；

【命題趨勢】 以函數(shù)為載體、導(dǎo)數(shù)為工具考查數(shù)列的代數(shù)推理題是高考的熱點(diǎn)，通常作為“把關(guān)題”，難度大，要求在理解題意的基礎(chǔ)上，步步為營、層層推進(jìn)．

數(shù)列與解析幾何的綜合

【考綱要求】 在知識的交匯點(diǎn)處設(shè)置試題．

【考綱解讀】 數(shù)列與解析幾何的綜合題往往以解析幾何的點(diǎn)、直線、曲線的無限運(yùn)動(dòng)為背景來命制試題，通常涉及數(shù)列的遞推式、通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式，同時(shí)還包含導(dǎo)數(shù)、不等式等知識．

【經(jīng)典例題】 如圖1，從點(diǎn)P1（0，0）作x軸的垂線交曲線y=ex于點(diǎn)Q1（0，1），曲線在Q1點(diǎn)處的切線與x軸交于點(diǎn)P2．再從P2作x軸的垂線交曲線于點(diǎn)Q■，依次重復(fù)上述過程得到一系列點(diǎn)：P1，Q1；P2，Q2；…；Pn，Qn，記Pk點(diǎn)的坐標(biāo)為（xk，0）（k=1，2，…，n）．

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圖1

（1）試求xk與xk－1的關(guān)系（2≤k≤n）；

（2）求P1Q1+P2Q2+P3Q3+…+PnQn．

命題意圖 本題考查解析幾何背景下的“點(diǎn)列”問題，考查遞推關(guān)系與通項(xiàng)公式的求法．

思路分析 （1）根據(jù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求切線方程，然后再求切線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)；

（2）嘗試求出通項(xiàng)PnQn的表達(dá)式，然后求和．

完美解答 （1）設(shè)點(diǎn)Pk－1的坐標(biāo)是（xk－1，0），因?yàn)閥=ex，所以y′=ex，所以Qk－1（xk－1，e■），在點(diǎn)Qk－1（xk－1，e■）處的切線方程是y－e■=e■（x－xk－1），令y=0，則xk=xk－1－1（2≤k≤n）．

（2）因?yàn)閤1=0，xk－xk－1=－1，所以xk= －（k－1），所以PkQk=e■=e■，于是有P1Q1+P2Q2+P3Q3+…+PnQn=1+e－1+e－2+…+e■=■=■．

【命題趨勢】 數(shù)列與解析幾何的綜合是代數(shù)與幾何綜合的典范，在近年各省市的高考試題中也經(jīng)常出現(xiàn)，要善于把它轉(zhuǎn)化為與數(shù)列有關(guān)的問題．

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一、選擇題

1． 若等差數(shù)列｛an｝的前5項(xiàng)之和S5=25，且a2=3，則a7等于（ ）

A． 12?搖?搖 ?搖?搖B． 13?搖?搖?搖?搖?搖C． 14?搖?搖?搖 D． 15

2． 設(shè)等比數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)和為Sn，已知a1=2，且an+2an+1+an+2=0，則S2012等于（ ）

A． 200?搖?搖?搖?搖?搖?搖?搖B． 2?搖?搖?搖?搖?搖?搖?搖C． －2?搖?搖?搖?搖?搖D． 0

3． 已知數(shù)列｛an｝的通項(xiàng)公式為an=2n－3，將此數(shù)列中的各項(xiàng)分組如下：第一組：a1；第二組：a2，a3；…；如果第k組的最后一個(gè)數(shù)為am，那么第k+1組的2k個(gè)數(shù)依次排列為：am+1，am+2，am+3，…，a■（k，m∈N?鄢），則第6組的第一個(gè)數(shù)是（ ）

A． 61 B． 81 C． 125 D． 253

二、填空題

4． 若數(shù)列｛an｝滿足■－■=k（k為常數(shù)），則稱｛an｝為等比差數(shù)列，k叫公比差，已知｛an｝是以2為公比差的等比差數(shù)列，其中a1=1，a2=2，則a5=_____．

5． 等差數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)和為Sn，且a4－a2=8，a3+a5=26，記Tn=■，如果存在正整數(shù)M，使得對一切正整數(shù)n，Tn≤M都成立，則M的最小值是_____．

6． 下面的數(shù)組均由三個(gè)數(shù)組成，它們是：（1，2，3），（2，4，6），（3，8，11），（4，16，20），（5，32，37），…，（an，bn，cn）．

（1）請寫出cn的一個(gè)表達(dá)式，cn=________；

（2）若數(shù)列｛cn｝的前n項(xiàng)和為Mn，則M10=_________． （用數(shù)字作答）

三、解答題

7． 已知數(shù)列｛an｝是首項(xiàng)為1公差為正的等差數(shù)列，數(shù)列｛bn｝是首項(xiàng)為1的等比數(shù)列，設(shè)cn=anbn（n∈N?鄢），且數(shù)列｛cn｝的前三項(xiàng)依次為1，4，12，

（1）求數(shù)列｛an｝，｛bn｝的通項(xiàng)公式；

（2）若等差數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)和為Sn，求數(shù)列■的和．

8． 某創(chuàng)業(yè)投資公司計(jì)劃在2012年向某企業(yè)投入800萬元用于開發(fā)新產(chǎn)品，并在今后若干年內(nèi)，每年的投入資金都比上一年減少20%． 估計(jì)2012年可獲得投資回報(bào)收入400萬元，由于該項(xiàng)投資前景廣闊，預(yù)計(jì)今后的投資回報(bào)收入每年都會(huì)比上一年增加25%．

（1）設(shè)第n年（2012年為第一年）的投入資金為an萬元，投資回報(bào)收入為bn萬元，求an和bn的表達(dá)式；

（2）從哪一年開始，該投資公司前幾年的投資回報(bào)總收入將超過總投入？

9． 已知數(shù)列｛an｝滿足a1=a，an+1=■（n∈N?鄢）．

（1）數(shù)列■是否為等比數(shù)列？若不是，請說明理由；若是，試求出通項(xiàng)an．

（2）如果a=1時(shí)，數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)和為Sn，試求出Sn，并證明當(dāng)n≥3時(shí)，有■+■+…+■<■．

10． 已知集合A=｛a1，a2，…，an｝中的元素都是正整數(shù)，且a1

（1）求證：■－■≥■；

（2）求證：n≤9；

（3）對于n=9，試給出一個(gè)滿足條件的集合A．