高考函數、導數核心考點揭秘

函數是高中數學的知識主干，是高考考查的重點．函數問題更多是與導數相結合，發揮導數的工具作用，應用導數研究函數的性質，應用函數的單調性證明不等式，體現出新的綜合熱點．縱觀近幾年的高考試題，函數與導數知識占有極其重要的地位，不僅形式多樣，而且知識覆蓋面廣，突出考查方程與函數、聯系與轉化、分類與討論、數形結合等重要的數學思想．下面針對不同的函數類別及綜合情況，歸納出一定的復習線索．

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函數的性質

【考綱要求】 了解函數的單調性、奇偶性的概念，掌握判斷一些簡單函數的單調性、奇偶性的方法．

【考綱解讀】 函數的基本性質包括單調性與奇偶性，一般地，研究函數通常從定義域、值域、單調性、奇偶性、周期性、對稱性幾個方面來研究． 此外，加強和圖形的結合，體現數形結合的思想．

【經典例題】 定義在R上的函數f（x）=ax3+bx2+cx+3同時滿足以下條件：

① f（x）在（0，1）上是減函數，在（1，+∞）上是增函數；

② f ′（x）是偶函數；

③ f（x）在x=0處的切線與直線y=x+2垂直．

（1）求函數y=f（x）的解析式；

（2）設g（x）=4lnx－m，若存在x∈［1，e］，使g（x）

命題意圖 本題是考查函數性質的綜合題，能把已知條件轉化為方程求參，并能利用導數求函數的最值．

思路分析 本題關鍵是深刻理解單調性、偶函數的概念，求參數取值范圍要進行參數分離轉化為求函數的最值問題．

完美解答 （1）f ′（x）=3ax2+2bx+c，因為f（x）在（0，1）上是減函數，在（1，+∞）上是增函數，所以f ′（1）=3a+2b+c=0． （?鄢）

由f ′（x）是偶函數得b=0．

又f（x）在x=0處的切線與直線y=x+2垂直， f ′（0）=c=－1，代入（?鄢）得a=■，即f（x）=■x3－x+3．

（2）由已知得：若存在x∈［1，e］，使4lnx－m4lnx－x2+1．

設M（x）=4lnx－x2+1，x∈［1，e］，則M′（x）=■－2x=■．

令M′（x）＝0，因為x∈［1，e］，所以x=■，當x≥■時，M′（x）≤0，所以M（x）在（■，e］上為減函數，當1≤x<■時，M′（x）>0，所以M（x）在［1，■］上為增函數，所以M（x）在［1，e］上有最大值．

又M（1）=1－1=0，M（e）=5－e2<0，所以M（x）最小值為5－e2．

于是有m>5－e2為所求．

【命題趨勢】 函數的單調性、奇偶性常與函數的其他性質如周期性、對稱性相結合求函數值或參數的取值范圍，2012年備考時應加強這方面的訓練．

指數函數的圖象和性質

【考綱要求】 理解分數指數冪的概念，掌握有理指數冪的運算性質；掌握指數函數的概念、圖象和性質．

【考綱解讀】 指數函數是重要的初等函數，考查主要集中在圖象和性質這部分內容，正確地繪制指數函數的圖象是本節“雙基”演練的出發點，同時應重視有理指數冪的運算，保證算得準，不失分．

【經典例題】 設集合A=｛x0≤x<1｝，B=｛x1≤x≤2｝，函數f（x）=2x，x∈A，4－2x，x∈B，若當x0∈A時， f［f（x0）］∈A，則x0的取值范圍是（ ）

A． log■■，1?搖?搖?搖B． （log32，1）

C． ■，1D． 0，■

命題意圖 本題主要考查指數函數的圖象和性質，考查分類討論的思想．

思路分析 分段函數，第一段函數求出的值域作為第二段函數的定義域，結合集合A，B的取值范圍，求x0的取值范圍．

完美解答 當x0∈A時， f（x0）∈［1，2）， f［f（x0）］∈（0，2］，而要當x0∈A時， f［f（x0）］∈A，則f（x）=4－2x∈［0，1），所以x∈■，2，即2■∈■，2，所以x0∈log■■，1，即選A．

【經典例題】 已知函數f1（x）=e■， f■（x）=e■，x∈R．

（1）若a=2，求f（x）=f■（x）+f■（x）在x∈［2，3］上的最小值；

（2）若x∈［a，+∞）時， f■（x）≥f■（x），求a的取值范圍；

（3）求函數g（x）=■－■在x∈［1，6］上的最小值．

命題意圖 本題主要考查指數函數的圖象和性質，考查化歸轉化的思想和分類討論的思想．

思路分析 本題的關鍵在于轉化，將指數型函數轉化為二次函數來進行求解．

完美解答 （1）因為a=2，且x∈［2，3］，所以f（x）=e■+e■=e■+e■=■+■≥2■=2e，當且僅當x=2時取等號，所以f（x）在x∈［2，3］上的最小值為3e．

（2）由題意知，當x∈［a，+∞）時，e■≤e■，即x－2a+1≤x－a+1恒成立，所以x－2a+1≤x－a+1，即2ax≥3a2－2a對x∈［a，+∞）恒成立，則由2a≥0，2a2≥3a2－2a得所求a的取值范圍是0≤a≤2．

（3）記h1（x）=x－（2a－1），h2（x）=x－a+1，則h1（x），h2（x）的圖象分別是以（2a-1，0）和（a，1）為頂點開口向上的V型線，且射線的斜率均為±1．

①當1≤2a－1≤6，即1≤a≤■時，由（2）知g（x）在x∈［1，6］上的最小值為f■（2a－1）=e0=1．

②當a<1時，可知2a－1

（ⅱ）當h1（1）>h2（1），得a－1>1，即a<0時，g（x）在x∈［1，6］上的最小值為f■（1）=e■．

③當a>■時，因為2a－1>a，可知2a－1>6，

（ⅰ）當h1（6）≤1，得2a－7≤1，即■

（ⅱ）當h1（6）>1且a≤6時，即4

（ⅲ）當a>6時，因為h1（6）=2a－7>a－5=h2（6），所以g（x）在x∈［1，6］上的最小值為f■（6）=e■．

綜上所述， 函數g（x）在x∈［1，6］上的最小值為e■，a<0，e■，0≤a<1，1，1≤a≤■，e■，■6.

【命題趨勢】 高考對本節內容的考查可能仍以概念的理解、指數的運算為主，題型為客觀題；以指數或指數函數為命題背景，重點考查參數的計算，也可以利用導數來解決一些與指數函數最值有關的問題．

對數函數的圖象和性質

【考綱要求】 理解對數的概念，掌握對數的運算性質；掌握對數函數的概念、圖象和性質．

【考綱解讀】 對數函數是考試的熱點，特別是和導數的結合更加完美，重點考查對數函數的圖象和性質．

【經典例題】 已知函數f（x）=xlnx.

（1）求函數f（x）的單調區間；

（2）若函數F（x）=■在［1，e］上的最小值為■，求a的值．

命題意圖 本題考查利用導數來研究對數函數的圖象和性質及分類討論的思想．

思路分析 本題關鍵在于能正確求導，用導數來求函數的單調區間及最值．數形結合思想的運用有助于解決問題．

完美解答 （1）因為f ′（x）=lnx+1（x>0），令f ′（x）≥0，即lnx≥－1=lne－1，所以x≥■；同理，令f ′（x）≤0，可得0

（2）F ′（x）=■（x>0）．

當a≥0時，F ′（x）>0，F（x）在［1，e］上單調遞增，F（x）min=－a=■，所以a= －■?埸［0，+∞），舍去．

當a<0時，F（x）在（0，－a）上單調遞減，在（－a，+∞）上單調遞增

若a∈（－1，0），F（x）在［1，e］上單調遞增，F（x）min=－a=■，

a=－■?埸（－1，0），舍去；

若a∈［－e，－1］，F（x）在（1，－a）上單調遞減，在（－a，e）上單調遞增，所以F（x）min=F（－a）=ln（－a）+1=■，a=－■∈［－e，－1］；

若a∈（－∞，－e），F（x）在［1，e］上單調遞減，F（x）min=■=■?圯a= －■e?埸（－∞，－e），舍去．

綜上所述：a=－■．

【命題趨勢】 對數和導數的結合是高考大題的常客，解題時，一定要注意對數中隱含的真數要大于零的條件．以對數函數的復合函數為考查主體，涉及函數值的計算或不等式的求解，也是高考的熱點．

二次函數

【考綱要求】 理解二次函數的概念，熟練掌握二次函數的圖象和性質． 能結合二次函數的圖象，判斷一元二次方程根的存在性及根的個數，從而了解函數的零點與方程根的聯系．

【考綱解讀】 二次函數是考試的熱點，重點考查二次函數的圖象與最值． 以二次函數為紐帶，還可以溝通函數、方程、不等式、數列和曲線等知識之間的內在聯系，使數學知識的綜合運用能夠得到很好的體現．

【經典例題】 如圖1，已知二次函數y=ax2+bx+c（a，b，c為實數，a≠0）的圖象過點C（t，2），且與x軸交于A，B兩點，若AC⊥BC，則a的值為_______．

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圖1

命題意圖 本題考查利用二次函數的根與系數來解題，包含設而不求的思想方法以及函數與方程的思想．

思路分析 設出A，B兩點的坐標，已知C點的坐標利用垂直關系結合向量列出方程，再結合C點在拋物線上可列一方程，利用這兩個方程即可求解．

完美解答 法1：設A（x1，0），B（x2， 0），則x1+x2=－■，x1x2=■，■=（t－x1，2），■=（t－x2，2）．

因為AC⊥BC，所以（t－x1）（t－x2）+4=0，整理得t2－（x1+x2）t+x1x2+4=0，所以t2+■t+■+4=0，所以at2+bt+c+4a=0．

又函數y=ax2+bx+c的圖象過點C（t，2），所以at2+bt+c=2，比較上述兩式得4a=－2，所以a=－■．

法2：

將二次函數y=ax2+bx+c的圖象向右平移到點C落在y軸上，此時得二次函數的表達式為y=ax2+dx+2，然后設A（x1，0），B（x2，0），因為AC⊥BC，所以x1x2+4=0，又x1x2=■，所以■=－4，所以a=－■．

【命題趨勢】 與二次函數相聯系的數學試題在高考中經久不衰，以二次函數為載體常把數（計算、證明）與形（圖象）有機地融合起來，使數形結合、分類討論、等價轉化、函數與方程的數學思想方法能夠得到充分的發揮．

導數的應用

【考綱要求】 掌握求函數的單調區間、函數在開區間上的極值、閉區間上的最值的導數方法及一般步驟，會運用比較法確定函數的最值點；會求一些實際問題（一般指單峰函數）的最大值和最小值．

【考綱解讀】 利用導數來就研究函數的性質是解決函數問題的重要方法，結合圖象可解決與方程有關的問題，還可解決與不等式有關的問題，同時應能熟練運用數學思想方法，如函數與方程思想、分類討論思想和數形結合思想等．

【經典例題】 設函數f（x）=■·x2+ax－lnx（a∈R）.

（1）當a=1時，求函數f（x）的極值；

（2）當a>1時，討論函數f（x）的單調性；

（3）若對任意a∈（2，3）及任意x1，x2∈［1，2］，恒有ma+ln2>f（x1）－f（x2）成立，求實數m的取值范圍．

命題意圖 本題考查導數的幾何意義、利用導數判斷函數的單調性、求最值等．

思路分析 本題解決的關鍵在于善于利用導數研究函數的性質，如單調性、極值等，導數題中有關不等式的求參問題往往和函數的最值有緊密的聯系．

完美解答 （1）函數的定義域為（0，+∞）．

當a=1時， f（x）=x－lnx， f ′（x）=1－■=■.

令f ′（x）=0，得x=1．

當0

當x>1時， f ′（x）>0.

所以f（x）極小值=f（1）=1，無極大值．

（2）f ′（x）=（1－a）x+a－■=■=■=■．

當■=1，即a=2時， f ′（x）=－■≤0， f（x）在（0，+∞）上是減函數；

當■<1，即a>2時，令f ′（x）<0，得01；

令f ′（x）>0，得■

當■>1，即1■；

令f ′（x）>0，得1

綜上，當a=2時， f（x）在定義域上是減函數；

當a>2時， f（x）在0，■和（1，+∞）上單調遞減，在■，1上單調遞增；

當1

（3）由（2）知，當a∈（2，3）時，f（x）在［1，2］上單調遞減，

當x=1時，f（x）有最大值，當x=2時，f（x）有最小值．

所以f（x1）－f（x2）≤f（1）－f（2）=■－■+ln2，所以ma+ln2>■－■+ln2，而a>0，經整理得m>■－■．

由2

【命題趨勢】 導數的應用是高考考查的熱點，幾乎每年都考大題，而且經常出現在壓軸題的位置，重點考查利用導數研究函數極值、最值及單調性等問題． 其中蘊涵對轉化與化歸、分類討論和數形結合等思想方法的考查． 導數小題以考查導數的幾何意義為主．

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映射與函數及圖象

【考綱要求】 了解映射的概念，理解函數的概念，會畫函數圖象．

【考綱解讀】 深刻理解映射和函數的概念是解決函數問題的重要保證，函數概念的考查主要體現在一些新定義型的小題和大題之中，而這類問題也展示了高考的新意．

【經典例題】 設f（x）與g（x）是定義在同一區間［a，b］上的兩個函數，若函數y=f（x）－g（x）在x∈［a，b］上有兩個不同的零點，則稱f（x）和g（x）在［a，b］上是“關聯函數”，區間［a，b］稱為“關聯區間”． 若f（x）=x2－3x+4與g（x）=2x+m在［0，3］上是“關聯函數”，則m的取值范圍為（ ）

A． －■，－2B． ［－1，0］

C． （－∞，－2］D． －■，+∞

命題意圖 本題為新定義型試題，主要考查對定義的理解．

思路分析 本題的關鍵是對規則的理解，要求解答者現場學習現場運用，意在考查我們知識遷移的能力和繼續深造的潛力．

完美解答 f（x）=x2－3x+4為開口向上的拋物線，g（x）=2x+m是斜率k=2的直線，可先求出g（x）=2x+m與f（x）=x2－3x+4相切時的m值．

由f ′（x）=2x－3=2得切點為■，■，此時m=－■，因此f（x）=x2－3x+4的圖象與g（x）=2x+m的圖象有兩個交點只需將g（x）=2x－■向上平移即可．

再考慮區間［0，3］，可得點（3，4）為f（x）=x2－3x+4圖象上最右邊的點，此時m=－2，所以m∈－■，－2. 故選A．

【經典例題】 定義一種運算：a?塥b＝a，a≥b，b，a

■

A B

■

C D

命題意圖 本題為新定義型試題，主要考查函數圖象的畫法．

思路分析 可以先畫出f（x）=2x和f（x）=3－x兩個函數的圖象，依據新的運算定義，新函數的圖象應該是在公共區間內取兩個函數圖象的最高部分，所以，函數f（x）=2x?塥（3－x）的圖象應該是A，則函數y=f（x+1）的大致圖象是B．

【命題趨勢】 近幾年高中數學試卷中出現了大量的新定義型試題，而且越來越受到命題者的青睞．定義一種運算，給出函數關系考查相關數學知識，以函數為背景的新定義型試題是這類問題的主力軍．

函數的實際運用

【考綱要求】 能根據實際問題的情況建立合理的函數模型，對提出的實際問題給出解答．

【考綱解讀】 運用函數的性質解決實際問題體現了數學的價值，也是高考考查的方向，每年很多地區高考試題中必有一道應用問題．常涉及物價、路程、產值、環保等實際問題，也可涉及角度、面積、體積、造價的最優化問題．解決這類問題的關鍵是建立相關的函數解析式，然后應用函數、方程和不等式的有關知識加以綜合解答．

【經典例題】 在一條筆直的工藝流水線上有三個工作臺，將工藝流水線用如圖2所示的數軸表示，各工作臺的坐標分別為x1，x2，x3，每個工作臺上有若干名工人． 現要在x1與x3之間修建一個零件供應站，使得各工作臺上的所有工人到供應站的距離之和最短．

（1）若每個工作臺上只有一名工人，試確定供應站的位置；

（2）設三個工作臺從左到右的人數依次為2，1，3，試確定供應站的位置，并求所有工人到供應站的距離之和的最小值．

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圖2

命題意圖 本題以函數為載體，考查分析問題解決實際問題的能力．

思路分析 本題解決的關鍵是讀題，然后建立模型求最值，從實際問題到數學問題，再回到實際問題，體現了轉化的思想．

完美解答 設供應站坐標為x，各工作臺上的所有工人到供應站的距離之和為d（x）.

（1）由題設知，x1≤x≤x3，所以

d（x）=（x－x1）+x－x2+（x3－x）=x3－x1+x－x2.

故當x=x2時，d（x）取最小值，此時供應站的位置為x=x2.

（2）由題設知，x1≤x≤x3，所以各工作臺上的所有工人到供應站的距離之和為d（x）=2（x－x1）+3（x3－x）+x－x2，且d（x）=－2x+3x3+x2－2x1，x1≤x

因此，函數d（x）在區間（x1，x2）上是減函數，在區間［x2，x3］上是常數．故供應站位置位于區間［x2，x3］上任意一點時，均能使函數d（x）取得最小值，且最小值為3x3－x2－2x1.

【命題趨勢】 應用問題是高考命題的必備選項，是今后命題的方向，數學的價值體現在實際應用上，在高考復習中應充分挖掘課本涉及的應用背景，所涉及的函數模型將會以二次（三次）函數型、指數型、對勾函數型及分段函數型為主．

導數的幾何意義

【考綱要求】 了解導數概念的某些實際背景（如瞬時速度、加速度、光滑曲線切線的斜率等）；掌握函數在一點處的導數的定義和導數的幾何意義；理解導函數的概念．

【考綱解讀】 導數的幾何意義通常指曲線的切線斜率． 導數的物理意義，通常是指物體運動的瞬時速度．對導數的幾何意義與物理意義的理解，有助于對抽象的導數定義的認識，應給予足夠的重視．

【經典例題】 已知函數f（x）=x3+bx2+cx在x=1處的切線方程為6x－2y－1=0， f ′（x）為f（x）的導函數，g（x）=a·ex（a，b，c∈R）．

（1）求b，c的值；

（2）若存在x0∈（0，2］，使g（x0）=f ′（x0）成立，求a的取值范圍．

命題意圖 本題主要考查導數的幾何意義、導數的應用等知識，以及運算求解能力.

思路分析 曲線在某點處的切線斜率是該曲線對應的函數在該點處的導數值，這是導數的幾何意義，但必須要清楚只有在切點處導數值才是切線斜率．求參數的取值范圍常對參數進行分離轉化成求函數的最值問題．

完美解答 （1）因為f ′（x）=3x2+2bx+c，所以f（x）在x=1處的切線方程為y－（1+b+c）=（3+2b+c）（x－1），即y=（3+2b+c）x－2－b．

所以3+2b+c=3，－2－b=－■，即b=－■，c=3，所以f（ｘ）=x3－■x2+3x．

（2）若存在x0∈（0，2］，使g（x0）=f ′（x0）成立，即方程g（x）=f ′（x）在（0，2］上有解，所以a·ex=3x2－3x+3，所以a=■．

令h（x）=■，

所以h′（x）=■=■=－■，令h′（x）=0，得x1=1，x2=2，

■

所以h（x）有極小值h（1）=■，h（x）有極大值h（2）=■，

且當x→0時，h（x）→3>■，

所以a的取值范圍為■，3．

【命題趨勢】 導數的幾何意義是小題中的常客，用導數求切線方程是常考的一個問題，在大題中也經常以一小問的形式出現，與直線方程或函數的單調性、最值相聯系．

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反函數

【考綱要求】 了解反函數的概念及互為反函數的函數圖象間的關系，會求一些簡單函數的反函數．

【考綱解讀】 利用互為反函數的函數圖象間的關系可以簡便地解決一些函數問題，會求一些簡單函數的反函數是基礎，還應記住一些常見函數的反函數．

【經典例題】 已知f（x）是定義在R上的偶函數，且對任意x∈R，都有f（x）=f（x+4），當x∈［4，6］時， f（x）=2x+1，則函數f（x）在區間［－2，0］上的反函數f －1（x）的值f －1（19）等于_______．

命題意圖 本題考查反函數的求法、函數奇偶性的性質、函數的周期性．

思路分析 本題解決的關鍵是求反函數時應注意反函數的定義域為原函數的值域． 由f（x）=f（x+4）可確定函數周期，進而由條件當x∈［4，6］時函數f（x）的解析式推導x∈［0，2］時函數f（x）的解析式，并利用偶函數條件求出函數f（x）在區間［-2，0］上的解析式，并令x∈［-2，0］時f（x）=19，解出自變量x的值即為f －1（19）的值．

完美解答 由f（x）=f（x+4），得函數周期為T=4，所以x∈［0，2］時，x+4∈［4，6］，所以f（x）=f（x+4）=2■+1．

又函數f（x）為偶函數，所以x∈［－2，0］時－x∈［0，2］，則f（ｘ）=f（－ｘ）=2■+1．

令f（x）=2■+1=19，解得x=4－log218=3－2log23，從而f －1（19）=3－2log23．

【命題趨勢】 反函數試題的難度一般不大，以小題為主，求解時重點要關注反函數的定義域．

函數與方程

【考綱要求】 結合二次函數的圖象，了解函數零點與方程根的聯系，判斷一元二次方程根的存在性及根的個數；根據具體函數的圖象，能夠用二分法求相應方程的近似解．

【考綱解讀】 函數與方程是高中數學中的重要的思想方法，函數、方程和不等式既相互聯系，也可以相互轉化，相輔相成，相得益彰． 二次函數、二次方程和二次不等式有關試題經常出現，其他函數很多可以轉化為二次函數來解決．

【經典例題】 若函數f（x）=2x－1，則函數g（x）=f（f（x））+lnx在（0，1）上的不同零點個數為（ ）

A． 2 B． 3C． 4 D． 5

命題意圖 本題主要考查分段函數、函數單調性，導數的基本知識及應用導數處理函數性質；考查觀察、猜想、論證及解不等式中恒成立的含參數值的綜合能力．

思路分析 本題關鍵是利用導數及函數圖象來研究方程解的個數．

完美解答 改成分段函數：

f（x）=2x－1，■≤x≤1，1－2x，0≤x<■，f（f（x））=4x－3，■≤x≤1，3－4x，■≤x<■，4x－1，■≤x<■，1－4x，0

當■≤x≤1時，g（x）=4x－3+lnx，

則g′（x）=4+■>0在■≤x≤1上恒成立，故g（x）在■≤x≤1上為單調遞增函數．

又g■=ln■<0，g（1）=1>0，故在■≤x≤1上有1個根．

同理可分析得在■≤x<■，■≤x<■上各有1個根，在0≤x<■上無根．

綜上可知在（0，1］上，方程g（x）=0共有3個根． 故選B．

【經典例題】 已知函數f（x）=■，x>1，2■，x≤1.若關于x的方程f（x）=k有3個不同的實根，則實數k的取值范圍為（ ）

A． （0，+∞）B． ［1，+∞）

C． （０，２）?搖Ｄ． （１，２］

命題意圖 根據方程根的個數來求參數的取值范圍．

思路分析 畫出函數f（x）的圖象，由函數圖象可以直接觀察出答案．

完美解答

■

圖3

由圖象可以看出當k∈（1，2］時，y=f（x）與y=k兩個函數圖象有3個不同的交點，故選D．

【命題趨勢】 高考對函數與方程的考查可能仍以能力考查為主． 重點考查函數零點、方程的根和兩函數圖象交點之間的等價轉化和數形結合思想．學會轉化是關鍵，函數問題可轉化為方程問題，方程問題也可轉化為函數問題，這也是高考命題的必備點．

導數的運算法則

【考綱要求】 熟記基本導數公式（c，xm（m為有理數），sinx，cosx，ex，ax，lnx，logax的導數）；掌握兩個函數和、差、積、商的求導法則． 了解復合函數的求導法則，會求某些簡單函數的導數．

【考綱解讀】 熟練導數的運算法則，是充分利用導數研究函數問題的前提和保障，在平時的復習中應多記、多用、多想．

【經典例題】 已知函數f（x）=■mx2－2x+1+ln（x+1）（m≥1），

（1）求y=f（x）在點P（0，1）處的切線方程；

（2）設g（x）=f（x）+x－1僅有一個零點，求實數m的值；

（3）試探究函數f（x）是否存在單調遞減區間，若有，設其單調遞減區間為［t，s］，試求s－t的取值范圍；若沒有，請說明理由．

命題意圖 本題主要考查函數、導數等知識，考查函數與方程、分類與討論的數學思想方法以及抽象概括能力、推理論證能力、運算求解能力和應用意識．

思路分析 本題的關鍵是熟練求導公式，用導數求切線的斜率，利用單調性判斷函數的零點． 探究性問題常假設其存在，再進行推理求值．

完美解答 （1）因為點P在函數y=f（x）上，由f（x）=■mx2－2x+1+ln（x+1）得：f ′（x）=mx-2+■?圯y ′■=-1，故切線方程為：y=－x+1．

（2）由g（x）=f（x）+x－1=■mx2－x+ln（x+1）可知：定義域為（－1，+∞），且g（0）=0，顯然x=0為y=g（x）的一個零點；

則g′（x）=mx－1+■=■，

①當m=1時，g′（x）=■≥0，即函數y=g（x）在（－1，+∞）上單調遞增，g（0）=0，故僅有一個零點，滿足題意．

②當m>1時，則■－1<0，列表1分析.

又因為x→－1時，g（x）→－∞，所以g（x）在－1，■－1上有一根，這與y=g（ｘ）僅有一根矛盾，故此種情況不符題意． 綜上，m=1．

（3）假設y=f（x）存在單調遞減區間，由f（x）=■mx2－2x+1+ln（x+1）得： f ′（x）=mx－2+■=■（x>－1）．

令h（x）=mx2+（m－2）x－1，因為Δ=m2+4>0，函數對稱軸為x=－■+■>－1，h（－1）=m+2－m－1>0，所以h（0）=0在（－1，+∞）上一定存在兩個不同的實數根s，t，即h（x）=mx2+（m－2）x－1<0的解集為（t，s），即函數f（x）存在單調遞減區間［t，s］，則s－t=■=■．

由m≥1可得：s－t∈（1，■］．

【命題趨勢】 函數與導數的結合是函數問題最熱的考點，導數的運算為導數的運用提供保證，單獨考導數運算的可能性不大，主要體現在支持導數的運用上．

偶函數，且f（x+4）=f（x），若0≤x≤2時，f（x）=log■（x+1）， 則f（－5）的值為（ ）

A． －2?搖?搖?搖?搖?搖 B． －1?搖?搖?搖?搖?搖 C． 1?搖?搖?搖?搖?搖 D． 2

3． 已知f（x）=■x3－x2+ax在區間［－1，2］上有反函數，則實數a的取值范圍為（ ）

A． （－∞，－3］

B． ［1，+∞）

C． （－3，1）

D． （－∞，－3］∪［1，+∞）

二、填空題

4． 曲線f（x）=x3+x－2在P0處（P0在曲線上）的切線平行于直線y=4x－1，則P0點的坐標為________．

5． 對正整數n，設曲線y=xn（1－x）在x=2處的切線與y軸交點的縱坐標為an，則數列■的前n項和的公式是________．

6． 已知函數f（x）=■（x∈R）的最大值為Ｍ，最小值為ｍ，則Ｍ＋ｍ＝________．．

7． 設［x］表示不超過x的最大整數，如［1.5］=1，［－1.5］=－2． 若函數f（ｘ）＝■（a>0，a≠1），則g（x）=f（x）－■+f（－x）－■的值域為________．

8． 已知y=f（x）（x∈R）滿足f（x+1）=f（x－1），且當x∈［－1，1］時f（x）=x2，y=f（x）與y=log■x的圖象的交點的個數為________個．

9． 設函數f（x）的定義域為D，若存在非零實數l使得對于任意x∈M（M?哿D），有x+l∈D，且f（x+l）≥f（x），則稱f（x）為M上的l高調函數．

如果定義域為［－1，+∞）的函數f（x）=x2為［－1，+∞）上的m高調函數，那么實數m的取值范圍是________．

如果定義域為R的函數f（x）是奇函數，當x≥0時，f（x）=x－a2－a2，且f（x）為R上的4高調函數，那么實數a的取值范圍是________．

三、解答題

10． 奇函數f（x）=■的定義域為R，其中y=g（x）為指數函數且過點（2，9）．

（1）求函數y=f（x）的解析式；

（2）若對任意的t∈［0，5］，不等式f（t2+2t+k）+f（－2t2+2t－5）>0恒成立，求實數k的取值范圍．

11． 已知函數f（x）=x+■（a∈R）， g（x）=lnx．

（1）求函數F（x）=f（x）+g（x）的單調區間；

（2）若關于x的方程■=f（x）－2e（e為自然對數的底數）只有一個實數根，求a的值．

12． 已知函數f（x）=ax3+bx2+cx（a≠0）是定義在R上的奇函數，且x= －1時，函數f（x）取極值1．

（1）求函數f（x）的解析式；

（2）令g（x）=－mx+■m，若x1，x2∈［0，m］（m>0），不等式f（x1）－g（x2）≤0恒成立，求m的取值范圍；

（3）曲線y=f（x）上是否存在兩個不同的點A，B，使過A，B兩點的切線都垂直于直線AB？若存在，求出A，B的坐標；若不存在，請說明理由．