八法在手,解選擇題易如反掌

高考數學試題的選擇題注重多個知識點的小型綜合，滲透各種數學思想和方法，能否在選擇題上獲取高分，對高考數學成績影響重大．解答選擇題要準確、迅速，只有這樣才能贏得時間，獲取高分，因此我們必須采用合適的解題方法．

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直接法就是直接從題設條件出發，運用有關概念、性質、定理、法則和公式等知識，通過嚴密的推理和準確的運算，從而得出正確選項的方法．

■ 已知拋物線C：y2=4x的焦點為F，直線y=2x－4與C交于A，B兩點，則cos∠AFB等于（ ）

A． ■?搖?搖 B． ■?搖 C． －■?搖 D． －■

破解 此題是直線和拋物線的常規問題，聯立求出A、B兩點坐標后轉化為解三角形或利用向量求解． 聯立y2=4x，y=2x－4消去y得x2－5x+4=0，解得x=1，x=4．

不妨設A在x軸上方，于是A，B的坐標分別為（4，4），（1，-2），

可求AB=3■，AF=5，BF=2，利用余弦定理得cos∠AFB=■=－■． 選D．

反思 直接法是解答選擇題最基本的方法，適用的范圍很廣，低檔選擇題可用此法迅速求解．只要運算正確必能得出正確的答案，因此在學習中必須提高直接法解選擇題的能力．

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特殊化方法即用特殊值、特殊圖形、特殊位置、特殊函數、特殊數列等代替題設普遍條件，得出特殊結論，對各個選項進行檢驗，從而做出正確的判斷．

■ 已知點G是△ABC的重心，過G作直線與AB，AC兩邊分別交于M，N兩點，且■=x■，■=y■，則■的值為（ ）

A． 3?搖?搖?搖 B． ■?搖?搖?搖 C． 2?搖?搖?搖?搖 D． ■

破解 取特殊直線：MN∥BC，此時x=y=■，所以■=■，故選B．

■ 在平面內，已知■=1，■=■，■·■=0，∠AOC=30°，設■=m■+n■（m，n∈R），則■等于（ ）

A． 3 B． ±3 C． ■ D． ±■

破解 本題采用特殊位置和特殊值來處理，將O，A，B放在平面直角坐標系中，A（1，0），B（0，■）．

由于∠AOC=30°，所以點C的位置分別在第一和第四象限． 不妨取m=1，則C1，±■，

所以n=■=±■，所以■=■=±3，故選B．

反思 當選擇對象在題設普遍條件都成立的情況下，用特殊化方法進行探求，能清晰、快捷地得到答案，即通過對特殊情況的研究來判斷一般規律，是解答本類選擇題的最佳策略．

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篩選法就是從題設條件出發，運用定理、性質、公式推演或通過取特值逐步剔除干擾項，從而得出正確的判斷．

■ 若f（x）=x2－2x－4lnx，則f ′（x）>0的解集為（ ）

A． （0，+∞）

B． （-1，0）∪（2，+∞）

C． （2，+∞）

D． （-1，0）

破解 f（x）的定義域為（0，+∞），排除B、D；

又f ′（x）=2x－2－■，且f ′（1）=2－2－4=－4<0不符，故選C．

■ 已知a與b均為單位向量，其夾角為θ，有下列四個命題：

P1：a+b>1?圳θ∈0，■π；

P2：a+b>1?圳θ∈■π，π；

P3：a-b>1?圳θ∈0，■；

P4：a-b>1?圳θ∈■，π；

其中真命題為（ ）

A． P1，P4B． P1，P3

C． P2，P3D． P2，P4

破解 當θ=0時，a+b=2>1，符合，P2為假；

?搖?搖?搖當θ=π時，a-b=2>1，符合，P3為假；故選A．

反思 篩選法適用于不易直接求解的選擇題，即使能夠直接求解，用篩選發排除選項也能大大提高解題速度． 它與特殊化方法、圖解法等結合使用是解選擇題的有效方法．

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代入法即將各個選擇項逐一代入題設進行檢驗，從而獲得正確的判斷．

■ 已知復數z=cosθ+isinθ（0≤θ<π），則使z2=－1的θ的值為（ ）

A． 0?搖?搖?搖 B． ■?搖?搖?搖 C． ■?搖?搖?搖 D． ■

破解 當θ=0時，z=1，z2=1不符；

當θ=■時，z=i，z2=－1；故選C．

（代入時要先挑容易計算的代）

■ 已知函數f（x）=x－1－x+1，如果f（f（a））=f（9）+1，則實數a等于（ ）

A． －■?搖?搖?搖 B． －1?搖?搖?搖 C． 1?搖?搖?搖 D． ■

破解 由題意知f（9）=8－10=－2，f（9）+1=－1，所以f（f（a））=－1．

再將四個選項依次代入函數f（f（a））看哪個的值等于－1，

ff－■=f■=－1，故選A．

反思 代入法適應于題設復雜，結論簡單的選擇題．若能根據題意確定代入順序，則能大大提高解題速度．

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?搖?搖圖象法即根據題設條件作出所研究問題的曲線或有關圖形，借助幾何圖形的直觀性作出正確的判斷，即數形結合法．

■ 函數y=■的圖象與函數y=2sinπx（-2≤x≤4）的圖象所有交點的橫坐標之和等于（ ）

A． 2?搖?搖?搖 B． 4?搖?搖?搖 C． 6?搖?搖?搖 D． 8

破解 在同一坐標系中畫出兩個函數的圖象，兩個函數的圖象都關于點（1，0）成中心對稱，兩個圖象在［-2，4］上共8個交點，每兩個對應交點橫坐標之和為2，故所有交點的橫坐標之和為8．

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圖1

■ 函數f（x）=lgx－sinx的零點的個數為（ ）

A． 2?搖?搖?搖 B． 3?搖?搖?搖 C． 4?搖?搖?搖 D． 5

破解 轉化為方程lgx－sinx=0，即lgx=sinx根的個數的問題．

令y■=lgx，y■=sinx，即原問題轉化為這兩個函數圖象的交點個數問題，作圖：

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圖2

從圖上直接看出共有4個交點，即函數f（x）有4個零點．

反思：對于明顯具有幾何特征的代數問題，我們要思考能否用數形結合的方法解決．

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“能割善補”是解決立體幾何問題常用的方法，巧妙地利用割補法，可以將不規則的圖形或幾何體轉化為規則的圖形或幾何體，使問題得到簡化，從而縮短解題時間．

■ 一個四面體的所有棱長都為■，且四個頂點在同一球面上，則此球的表面積為（ ）

A． 3π?搖?搖 B． 4π

C． 3■πD． 6π

破解 如圖1，將正四面體ABCD補成正方體，則正四面體、正方體的中心與其外接球的球心共一點，因為正四面體棱長為■，所以正方體棱長為1，從而外接球半徑R=■，故S球=3π． 選A．

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圖3

反思 在求不規則圖形的面積、不規則幾何體的體積或涉及幾何體的外接球時，經常用到“割補法”．

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由于選擇題提供了唯一正確的選擇項，解答又無需過程．因此可以猜測、合情推理、估算而獲得，以便減少運算量．

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圖4

■ 如圖4，在多面體ABCDEF中，已知平面ABCD是邊長為3的正方形，EF∥AB，EF=■，EF與平面ABCD的距離為2，則該多面體的體積為（ ）

A． ■?搖?搖 B． 5?搖?搖?搖 C． 6?搖?搖 D． ■

破解 由已知條件可知，EF∥平面ABCD，則F到平面ABCD的距離為2，所以V■=■·32·2=6，則該多面體的體積必大于6，故選D．

反思 估算，省去了很多推導過程和比較復雜的計算，節省了時間，從而顯得快捷． 它是人們發現問題、研究問題、解決問題的一種重要的運算方法．

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單一的解題方法不能使試題迅速獲解時，我們可以將多種方法融為一體，交叉使用，試題便能迎刃而解．根據題干提供的信息，不易找到解題思路時，我們可以從選擇項里找解題靈感．

■ 設函數f（ｘ）=■（0≤x<1）的反函數為f －1（x），則（ ）

A． f －1（x）在其定義域上是增函數且最大值為1

B. f －1（x）在其定義域上是減函數且最小值為0

C． f －1（x）在其定義域上是減函數且最大值為1

D． f －1（x）在其定義域上是增函數且最小值為0

破解 從選擇項我們知道需判斷原函數的單調性，利用取特值的方法 簡化判斷過程． 令x■=■，則f（x1）=■；令x■=■，則f（x■）=2，所以f（x1）

■ 如圖5，P是正四面體V－ABC的面VBC上一點，點P到平面ABC距離與到點V的距離相等，則動點P的軌跡是（ ）

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A． 直線

B． 拋物線

C． 離心率為■的橢圓

D． 離心率為3的雙曲線

破解 A易排除，結合選擇項及題干，我們知道該題考查的是圓錐曲線的統一定義，即曲線上的點到定點和定直線的距離比是否為常數，常數值是多少？設VP=PD=t，作PE⊥BC于E，則∠PED就是面VBC與面ABC所成的二面角的平面角．易求cos∠PED=■，所以PE＝■t．所以■=■<1．動點P的軌跡是離心率為■的橢圓． 故選C．

總結提煉 從考試的角度來看，解選擇題只要選對就行，至于用什么“策略”、“手段”都是無關緊要的． 但平時做題時我們還是要盡量弄清每一個選項正確的理由與錯誤的原因． 另外，在解答一道選擇題時，往往需要同時采用幾種方法進行分析、推理，只有這樣，才會在高考時充分利用題目自身提供的信息，化常規為特殊，避免小題大做，真正做到準確和快速，為后續解題節省時間，贏得高考的勝利．