高考不等式核心考點揭秘

不等式是高中數學的主干內容，是求解數學問題的主要工具，也是高考的必考內容之一．新高考對不等式既考查基礎知識、基本技能、方法，還考查運算能力、邏輯思維能力以及分析問題和解決問題的能力．

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不等式的性質

【考綱要求】 理解不等式的性質.

【考綱解讀】 不等式的性質是不等式的基礎，應用不等式的性質解題要特別注意條件．

【經典例題】 對于0

①log■（a+b）

②log■（a+b）>log■a+■

③ba+b

④b■>b■

其中成立的是_______． （填所有正確的序號）

命題意圖 本題考查不等式的基本性質，等價轉化思想．

思路分析 運用不等式的性質結合指數、對數函數的性質判斷．

完美解答 由0log■a+■，ba+b>b■，②④成立．

【命題趨勢】 不等式的性質通常在客觀題中出現，也可能在開放型的填空題中出現，要求牢記性質和重要不等式的條件與結論．

簡單線性規劃

【考綱要求】 （1）了解二元一次不等式的幾何意義，能用平面區域表示二元一次不等式組；

（2）會從實際情境中抽象出一些簡單的二元線性規劃問題，并能加以解決．?搖

【考綱解讀】 要求理解二元一次不等式表示的平面區域，能畫出線性約束條件下的可行域，理解目標函數的幾何意義，能運用圖解法解決簡單的二元線性規劃問題．

【經典例題】 設變量x，y滿足約束條件x+y≤3，x－y≥－1，y≥1， 則目標函數z=4x+2y的最大值為________．

命題意圖 根據二元一次不等式組表示的平面區域，運用圖解法求最優解．

思路分析 畫出可行域，根據目標函數的特點確定其取得最大值的點，即可求出其最大值．

完美解答 如圖1，直線z=4x+2y經過B（2，1）時，目標函數取得最大值，所有zmax=4×2+2×1=10．

【命題趨勢】 線形規劃問題是高考的熱點，基本上是每年高考都會有一道小題， 關鍵是畫好可行域，弄清目標函數的幾何意義．

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圖1

簡單不等式的解法

【考綱要求】 （1）會解一元二次不等式；

（2）掌握簡單不等式的解法．?搖

【考綱解讀】 一元二次不等式的解法是高考的重點內容，要求能夠運用轉化與化歸的思想將其他的不等式轉化為常見的不等式．?搖

【經典例題】 已知定義域為R的偶函數f（x）在（－∞，0］上是減函數，且f■＝2，則不等式f（log■x）>2的解集為（ ）

A． 0，■∪（2，+∞）

B． （2，+∞）

C． 0，■∪（■，+∞）

D． 0，■

命題意圖 本題以分段函數為載體，考查簡單不等式的解法及分類討論與轉化化歸的思想．

思路分析 通過分類討論轉化為兩個不等式組，再運用指數函數與對數函數的性質解不等式．

完美解答 作出函數f（x）的示意圖（如圖2），則log■x＞■或log■x＜－■，解得x>2或0

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圖2

【命題趨勢】 高考對不等式的解法的考查呈多元化趨勢，從純粹解不等式到求定義域、取值范圍與最值，都與解不等式有關，合理轉化與等價轉化是解題的關鍵．?搖?搖?搖?搖

均值不等式

【考綱要求】 掌握兩個（文科不擴展到三個）正數的算術平均數不小于它們的幾何平均數的定理，并會簡單的應用．?搖

【考綱解讀】 均值不等式是不等式的重點與難點，應用時要遵循“一正、二定、三相等”的條件，還要注意二元均值不等式的幾何解釋．

【經典例題】 已知a>0，b>0，a+2b+2ab－8=0，則a+2b的最小值是（ ）

A． 3?搖?搖?搖?搖?搖?搖B． 4?搖?搖?搖?搖?搖?搖C． ■?搖?搖?搖?搖?搖?搖D． ■

命題意圖 本題考查均值不等式求條件最值．

思路分析 先將代數式變形，然后再利用均值不等式求解．

完美解答 由a+2b=8－a·（2b）≥8－■■，整理得（a+2b）2+4（a+2b）－32≥0，即（a+2b－4）（a+2b+8）≥0． 又a+2b>0，所有a+2b≥4． 故選B．

【命題趨勢】 高考對基本不等式的考查形式靈活，在客觀題與主觀題中都可以涉及． 求解時，要注意均值不等式成立的條件．

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不等式的證明

【考綱要求】 掌握比較法、分析法、綜合法證明簡單的不等式．?搖

【考綱解讀】 不等式的證明是考查邏輯推理能力的重要載體．要求能夠運用比較法、分析法、綜合法結合不等式的性質和基本不等式證明不等式．

【經典例題】 若a>0，b>0，且2c>a+b，求證：c－■

命題意圖 本題考查運用分析法證明不等式及考查不等式的性質與基本不等式．

思路分析 該不等式從形式上不易看出其規律性，可以采用分析的方法來尋找證明途徑．

完美解答 要證明c－■

只需證－■

也就是（a－c）2a（a+b）．

因為a>0，2c>a+b，b>0，所以c>■≥■，故c2>ab，即有c2－ab>0．

又2c>a+b，可得2ac>a（a+b）成立．

綜上，所求不等式c－■

【命題趨勢】 純粹的不等式的證明是近年來新高考的熱點，但數列、導數背景下的不等式的證明是高考的難點，一般作為“把關題”．

含參數不等式恒成立問題

【考綱要求】 會求各種背景下不等式恒成立的問題．?搖

【考綱解讀】 通過含參數不等式恒成立問題的求解，培養利用化歸、數形結合、函數和分類討論等數學思想進行解題的意識．

【經典例題】 設函數f（x）=x2-1，對任意x∈■，+∞， f■-4m2f（x）≤f（x-1）+4f（m）恒成立，則實數m的取值范圍是________?搖．

命題意圖 本題以函數為載體，考查變量的取值范圍，運算量大，對數式變換的要求較高.

思路分析 先把不等式化簡，將變量m進行合理分離，再求相應函數的最值．

經典解答 依據題意得■-1-4m2（x2-1）≤（x-1）2-1+4（m2-1）在x∈■，+∞上恒成立，即■-4m2≤-■-■+1在x∈■，+∞上恒成立．

當x=■時，函數y=-■-■+1取得最小值-■，所以■-4m2≤-■，

即（3m2+1）（4m2-3）≥0，解得m≤-■或m≥■．

【命題趨勢】 不等式恒成立問題可以與函數、導數、數列、三角函數、解析幾何等知識整合在一起，又可以涉及不等式的證明和參數取值范圍問題，滲透著化歸、數形結合等重要數學思想，是歷年高考命題的熱點.

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不等式與函數（導數）

【考綱要求】 會求不等式與函數（導數）的綜合題，深化代數知識間的融會貫通．

【考綱解讀】 與函數（導數）結合的不等式，解題時往往以不等式、導數為工具，結合函數的圖象與性質，通過代數推理來解決問題．

【經典例題】 已知二次函數f（x）=ax2+bx+c，滿足f（0）=f（1）=0，且f（x）的最小值是－■．

（1）求f（x）的解析式；

（2）設g（x）=lnx－f（x）f ′（x），求g（x）的最大值及相應的x值；

（3）對任意正數x，恒有f（x）+f■≥x+■·lnm，求實數m的取值范圍．

命題意圖 本題以函數為背景，考查最值和恒成立問題．

思路分析 第1問由待定系數法求解析式；第2問利用導數求函數的最值；第3問通過換元，結合均值不等式求參數的取值范圍．

完美解答 （1）由二次函數圖象的對稱性，可設f（x）=ax－■■－■．

又f（0）=0，所以a=1，故f（x）=x2－x．?搖

（2）f ′（x）=2x－1，g（x）=lnx－（x2－x）·（2x－1）=lnx－2x3+3x2－x，

則g′（x）=■－6x2+6x－1=■．

因為g（x）定義域為（0，+∞），所以■>0，

所以當00；

當時x>1，g′（x）<0，

所以g（x）在（0，1）上是增函數，在（1，+∞）上是減函數，x=1時，g（x）取得最大值g（1）=0．

（3）由（1）知， f（x）+f■=x2－x+■－■=x+■■－2－x+■，

不等式f（x）+f■≥x+■·lnm可化為x+■■－2－x+■≥x+■·lnm． ①

因為x>0，所以x+■≥2（當且僅當x=1時取“=”）．

設x+■=t（t≥2），不等式①可化為t2－2－t≥t·lnm，lnm≤t－■－1． ②

由已知，不等式②對t≥2恒成立．

因為t－■－1在［2，+∞）上是增函數，所以t－■－1最小值為2－■－1=0，

所以lnm≤0，所以0

【命題趨勢】 函數（導數）與不等式的綜合題蘊涵豐富的數學思想、方法，在高考的壓軸題里屢屢出現．解題時要抓住導數的“工具性”，結合不等式的性質、特征，合理變換、嚴格推理．

不等式與數列

【考綱要求】 在數列與不等式交匯處命制試題，考查代數推理能力．

【考綱解讀】 數列與不等式相聯系的綜合題是常考題型，要注意把數列的逆推性與不等式問題的思考方法結合起來，聯系分析，尋求解題思路．求解此類問題通常要用到放縮法以及函數思想（求函數的最值等）．

【經典例題】 已知函數f（x）=x2+x．

（1）數列｛an｝滿足a1>0，an+1=f ′（an），若■+■+…+■<■對任意n∈N?鄢恒成立，求a1的取值范圍；

（2）數列｛bn｝滿足b1=1，bn+1=f （bn），n∈N?鄢，記cn=■，Sk為數列｛cn｝前k項和，Tk為數列｛cn｝的前k項積，求證：■+■+…+■<■．

命題意圖 本題以函數、數列為背景，考查參數的取值范圍以及運用放縮法證明不等式．

思路分析 第1問先構造出■，求得其通項，再求和，結合條件求出a■的取值范圍；第2問先進行代數變換，再利用■<■進行放縮，注意放縮的起點．

一、選擇題

1． 氣象學院用3.2萬元買了一臺天文觀測儀，已知這臺觀測儀從啟用的第一天起連續使用，第n天的維修保養費為■+4.9（n∈N?鄢）元，使用它直至“報廢最合算”（所謂“報廢最合算”是指使用的這臺儀器的平均每天耗資最少）為止，一共使用了（ ）

A． 600天B． 800天

C． 1000天D． 1200天

2． 已知函數f（x）=lgx，010.若a，b，c均不相等，且f（a）=f（b）=f（c），則abc的取值范圍是（ ）

A． （1，10）B． （5，6）

C． （10，12）D． （20，24）

二、填空題

3． 已知奇函數f（x）在區間（-∞，+∞）上是單調遞減函數，α，β，γ∈R且α+β＞0，β+γ＞0，γ+α＞0，則f（α）+f（β）+f（γ）______0． （填大小關系）

4． 設x，y滿足約束條件3x－y－6≤0，x－y+2≥0，x≥0，y≥0，若目標函數z＝ax＋by（a＞0，b＞0）的最大值為12，則■+■的最小值為______．

5． 已知函數f（x）=lnx，g（x）=■ax2+2x，a≠0，且h（x）=f（x）－g（x）存在單調遞減區間，則a的取值范圍是________．

6． 已知n（n∈N，n≥2）是常數，且x1，x2，…，xn是區間0，■內任意實數，則函數f（x1，x2，…，xn）=sinx1cosx2+sinx2cosx3+…+sinxncosx1的最大值等于______．

三、解答題

7． 已知關于x的方程2x2－tx－2=0的兩個根為α，β（α<β），t∈R，設函數f（x）=■．?搖

（1）判斷f（x）在［α，β］上的單調性；

（2）若α

8． 已知函數f（x）=ax+x2－xlna，a>1．

（1）求證：函數f（x）在（0，+∞）上單調遞增；

（2）函數y=f（x）－t－1有三個零點，求t的值；

（3）對?坌x1，x2∈［－1，1］，f（x1）－f（x2）≤e－1恒成立，求a的取值范圍．