初中數(shù)學(xué)教學(xué)片斷有感

摘 要：數(shù)字是有靈性的，它承載著哲理，可以把玩。從一些教學(xué)片段可感知學(xué)生群體本身是潛在的、豐富的、可利用的數(shù)學(xué)教學(xué)資源；可以感悟數(shù)學(xué)概念的形成過(guò)程是自然的，數(shù)學(xué)是自然而然的。

關(guān)鍵詞：數(shù)字把玩；學(xué)生群體；教學(xué)資源；數(shù)學(xué)概念；形成過(guò)程

中圖分類號(hào)：G633.6 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1009-010X（2012）10-0050-03

在使用華師大版初中數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中，在和學(xué)生共同學(xué)習(xí)和生成的課堂上，有過(guò)諸多難忘的感受，現(xiàn)舉二三例，與大家交流與分享。

一、數(shù)字是有靈性的，數(shù)字承載著哲理，數(shù)字是可以把玩的

七年級(jí)上冊(cè)有這樣一道練習(xí)題：下列各數(shù)中，哪些是正數(shù)？哪些是負(fù)數(shù)？

+6，-21，54，0，，-3.14，0. 001，-999.

這本是一道課堂練習(xí)，經(jīng)觀察，口述即可完成。但仔細(xì)看這些數(shù)字，個(gè)個(gè)都是躍動(dòng)的精靈，每個(gè)都有精彩的故事。

6，是個(gè)吉祥的數(shù)字，寓意“六六順”。 基督教《圣經(jīng)》記：上帝創(chuàng)造天地時(shí)于第六日依照自己的形象用泥土塑造了人，然后從鼻孔中吹進(jìn)生氣，讓他居住在伊甸園（Eden）中。六，是一周的最后一天，稱周末星期六。6是由1開(kāi)始的最初3個(gè)自然數(shù)的和：1 + 2 + 3 = 6， 是第3個(gè)三角形數(shù)。6又是最初兩個(gè)素?cái)?shù)的積：2 × 3 = 6。早時(shí)航海觀測(cè)天象使用六分儀。螺母和螺帽是正六邊形。正方體有6個(gè)面。正方體骰子的點(diǎn)數(shù)最多是6點(diǎn)。6倒過(guò)來(lái)翻了個(gè)個(gè)兒，就增加了半倍，成了9。臺(tái)球子的6子和9子都得在頭上作標(biāo)識(shí)，才不會(huì)引起混淆。9和6剛開(kāi)始還經(jīng)常吵架， 9罵6整天價(jià)里挺著個(gè)肚子不像話，6罵9整天價(jià)倒立走路沒(méi)個(gè)正經(jīng)。美國(guó)的柯?tīng)柼匕l(fā)明的左輪手槍的轉(zhuǎn)輪彈匣有6個(gè)彈倉(cāng)，可以裝6顆子彈。

21，常言道，不管三七二十一，也就是不管好壞，所以“三”常常指代和意味著“好”，“七”常常指代和意味著“壞”。不過(guò)現(xiàn)在“七”已不再當(dāng)作“壞”。時(shí)下私家車的車牌號(hào)還常常帶7，因?yàn)椤捌摺迸c“妻”諧音，如517（我愛(ài)妻），917（久要妻），587（我發(fā)妻），799（妻久久）等，以表男主人對(duì)女主人的心跡。有家公司還叫3721公司呢。21是由1開(kāi)始的前6個(gè)自然數(shù)的和：1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21，是第6個(gè)三角形數(shù)。21還是菲波那契數(shù)列的第8個(gè)成員：1，1，2，3，5，8，13，21，……

54，“五·四”青年節(jié)，“五·四運(yùn)動(dòng)”。一副撲克牌有54張。54o的余角是36o，36o是黃金三角形的內(nèi)角。36o是18o的2倍， 54o是18o的3倍， 18o的正弦值是黃金分割率的一半。54 = 6 × 9，可分解出豐富的因數(shù)：2，3，6，9，18，27.

0，如水中月，鏡中花，不管來(lái)多少個(gè)還是0：0 + 0 = 0.

0，滴水之恩，涌泉相報(bào)。你瞧，給1送去1個(gè)，1當(dāng)10回報(bào)：1 + 0 = 10. （此處自然不是算術(shù)，而是一種邏輯表式） 給1送去2個(gè)，1當(dāng)100回報(bào)：1 + 0 + 0 = 100.

0，如谷粒，雞面前的盤(pán)中物，來(lái)一個(gè)，消滅一個(gè)，來(lái)兩個(gè)，消滅一雙：對(duì)任何數(shù)a，a + 0 = a。（此處a即如雞，谷子0被雞吃掉，吞進(jìn)肚里，消失了。）

0，似如來(lái)佛的大肚，能容天下所有難容：對(duì)任何數(shù)a，a × 0 = 0. （任何事物a，都可以被如來(lái)佛的大肚0所容納，化解了，消失了。）

0，午夜零點(diǎn)，是起點(diǎn)，還是終點(diǎn)？0，像谷子，是果實(shí)，還是種子？這個(gè)問(wèn)題猶如那個(gè)古老的問(wèn)題：是先有雞，還是先有雞蛋？又如亞當(dāng)（Adam，the first man according to the Bible）和夏娃（Eve，the first woman according to the Bible）有沒(méi)有肚臍眼？

3. 14，常用來(lái)近似指代圓周率。

0. 001，精確度的要求：精確到0. 001。0和1，二進(jìn)制數(shù)。0和1，曲與直。1，是0的突破。0和1，可作為開(kāi)關(guān)語(yǔ)言，也是電子計(jì)算機(jī)的整個(gè)運(yùn)行工作語(yǔ)言。

教室有兩個(gè)門(mén)，門(mén)開(kāi)著記作1，門(mén)關(guān)著記作0. 一個(gè)門(mén)開(kāi)著，另一個(gè)門(mén)關(guān)著，那么教室開(kāi)著：1 + 0 = 1. 兩個(gè)門(mén)都關(guān)著，當(dāng)然教室關(guān)著：0 + 0 = 0。 兩個(gè)門(mén)都開(kāi)著，自然教室開(kāi)著：1 + 1 = 1. （此處自然也不是算術(shù)，也是邏輯表式）

999，999感冒靈，三九胃泰. 奔馳（Benz）和寶馬（BMW）等名車車牌號(hào)常見(jiàn)。香港飾品的黃金成色，如999.9金. 999一齊做一個(gè)前滾翻就能減掉三分之一的體重，成了666.

二、學(xué)生群體本身是一份潛在的、豐富的、可利用的教學(xué)資源

七年級(jí)下冊(cè)有一道練習(xí)題： 編一道聯(lián)系實(shí)際的數(shù)學(xué)問(wèn)題，使所列的方程是3x + 4 （45–x） = 150.

如果只當(dāng)是一道作業(yè)題，批改了發(fā)回，那么就白白地浪費(fèi)了一份絕好的教學(xué)資源，也錯(cuò)過(guò)了一回精彩的教育資源的利用。事實(shí)上，學(xué)生的作品真是五花八門(mén)，五彩紛呈。通過(guò)實(shí)物投影儀，展示在課堂上，課堂就成了學(xué)生的思想相互交流的愉快平臺(tái)，就成了學(xué)生作品認(rèn)可與被認(rèn)可、欣賞與被欣賞、認(rèn)同與被認(rèn)同的最自然、最可接受的方式的平臺(tái)。同時(shí)還真切地體現(xiàn)了數(shù)學(xué)模型的高度抽象性，因?yàn)闃?gòu)成該數(shù)學(xué)模型的背景居然是可以千差萬(wàn)別的。現(xiàn)采擷部分學(xué)生的作品如下。

莊萌鳳編：有花生重45千克，其中較好的價(jià)格為4元/千克，較次的為3元/千克，共賣出150元，問(wèn)較好的、較次的花生各賣出多重？（花生的價(jià)格便宜了點(diǎn)，哪兒有的賣？也幫多買(mǎi)點(diǎn)）

蔡榮瑩編：小雪做紙花，有紅、白、黃三種顏色。已知白花和黃花共有150朵，白花是紅花的3倍，白花和紅花共有45朵，黃花是白花的4倍。 求紅花有多少朵？

許洋洋編：爸爸45歲，爸爸的歲數(shù)減哥哥的歲數(shù)的差的4倍與哥哥歲數(shù)的3倍的和是150. 求哥哥的歲數(shù)。（“爸爸”早婚！哈哈！宜改“哥哥”為“堂哥”或“表哥”）

三、數(shù)學(xué)是自然的，數(shù)學(xué)概念的形成過(guò)程是自然的

在八年級(jí)下冊(cè)教學(xué)“方差與標(biāo)準(zhǔn)差”這兩個(gè)統(tǒng)計(jì)學(xué)概念的過(guò)程中，可能會(huì)出現(xiàn)一道灰暗的色彩，即學(xué)生對(duì)課本給出的方差的概念、定義，普遍感到生硬、困惑、不理解。

方差是用“先平均，再求差，然后平方，最后再平均”這樣一個(gè)算式得到的結(jié)果，來(lái)表示一組數(shù)據(jù)偏離平均值的情況。

形成這樣一個(gè)游戲規(guī)則的合理性是什么？必要性又是什么？因此有必要對(duì)方差和標(biāo)準(zhǔn)差這兩個(gè)概念形成的原理做個(gè)通俗的解釋和引導(dǎo)，展示其自然形成的過(guò)程。

但是，當(dāng)兩組不同的數(shù)據(jù)，其各自的平均數(shù)相等、相同、一樣的情況下，作為各自原始數(shù)據(jù)的集中的、居中的代表，平均數(shù)已無(wú)法區(qū)別、反映這兩組數(shù)據(jù)的不同情況，或者說(shuō)，此時(shí)利用平均數(shù)來(lái)比較已失效、無(wú)效。

當(dāng)然，平均數(shù)畢竟是一組數(shù)據(jù)的集中的、居中的、很好的代表，但對(duì)于兩組數(shù)據(jù)不同，數(shù)據(jù)分布不同，偏差客觀存在，因此可以考慮、考察一組數(shù)據(jù)與平均數(shù)的集中趨勢(shì)，或“同心同德”狀態(tài)，或集聚、集居、群集情況。而反過(guò)來(lái)講，就是可以考慮、考察一組數(shù)據(jù)與平均數(shù)的偏離、偏差、離差情況，亦即離勢(shì)，或“離心離德”狀態(tài)，或散居、離散、游離情況，這是相通的。

與平均數(shù)的集中趨勢(shì)較好的，凝聚力大，較團(tuán)結(jié)、集聚、集居、群集、穩(wěn)定在平均數(shù)周圍，較“同心同德”，自然地，與平均數(shù)的偏離、偏差、離差就較小，即離勢(shì)較小，“離心離德”的少，散居、游離、波動(dòng)、離散的程度就小。反之，與平均數(shù)的偏離、偏差、離差較大，即離勢(shì)較大，“離心離德”的多，“眾叛親離”的多，散居、游離、波動(dòng)、離散的程度大，自然地，與平均數(shù)的集中趨勢(shì)就較差，凝聚力小，群集緊密程度較差。

至此，當(dāng)兩組不同的原始數(shù)據(jù)的平均數(shù)都一樣的情況下，不僅使用平均數(shù)失效，而且使用平均離差也失效。這就需要考慮、考察導(dǎo)致平均離差為零的原因何在。事實(shí)上，導(dǎo)致平均離差為零的原因是，所有的離差在加法運(yùn)算中將全部互相抵消，或上或下，或前或后，或左或右，通通消化掉。由于偏差、離差是一個(gè)客觀存在，因此就需要考慮如何保住離差，使其在加法運(yùn)算上不被互相抵消，得以保存下來(lái)，以期反映一組數(shù)據(jù)的一個(gè)客觀實(shí)在。

就在此時(shí)，一道亮麗的光彩在課堂上閃現(xiàn)，學(xué)生潘翊、趙弦不約而同地提出，給每個(gè)離差取絕對(duì)值！這是很數(shù)學(xué)化的思考的，合情合理，合乎邏輯，簡(jiǎn)直就是專業(yè)數(shù)學(xué)工作者的思考，而且是課本上所未提及的。

當(dāng)已知一組具體的數(shù)據(jù)，用筆算是不難求出其平均距離的。可是，由于平均距離含有一組絕對(duì)離差，而在理論上，去掉每一個(gè)絕對(duì)值都需要首先判斷絕對(duì)值符號(hào)內(nèi)式子的正負(fù)號(hào)，因此平均距離在理論演算、運(yùn)算上很不方便、很不經(jīng)濟(jì)。這就需要進(jìn)一步考慮尋求具有與絕對(duì)值相同的功能、相當(dāng)?shù)淖饔玫臄?shù)學(xué)方法。

至此，學(xué)生普遍能作出自然的反應(yīng)，即對(duì)離差取平方！水到渠成。事實(shí)上，只要是對(duì)離差取偶次方，都能保住離差，使其不在加法運(yùn)算中被相互抵消。不過(guò)取平方自然是取偶次方的最簡(jiǎn)單者。這樣，兩數(shù)差的平方就可以容易地展開(kāi)為二次齊次三項(xiàng)式，理論運(yùn)算比較起來(lái)非常方便。

這就是方差的來(lái)歷。

真乃一波三折、跌宕起伏！盡管如此，事實(shí)上，從平均距離、方差和標(biāo)準(zhǔn)差的算式來(lái)看，它們都可以分別直接反映一組數(shù)據(jù)偏離平均數(shù)的情況，都能從反面反映一組數(shù)據(jù)與平均數(shù)的集中趨勢(shì)。更何況方差與標(biāo)準(zhǔn)差是一對(duì)對(duì)偶關(guān)系，平方與開(kāi)平方的關(guān)系。