過程性：數學活動經驗積累的應然之道

“基本活動經驗”是課標修訂稿新增的兩個“基本”之一，引起了廣大教師的關注。那么，如何有效積累數學基本活動經驗呢？筆者以為，不論是經驗的生成，還是積累的進化，都需要以“過程性”為保障。這里所說的“過程性”，有兩層含義：一是周期性，數學活動經驗積累需要一定的時間為周期，并非一兩節課或一兩次活動就可以積聚；二是階段性，數學活動經驗也應像知識體系學習般螺旋上升，需要建構活動經驗。筆者結合“等積變形”問題的分析，就如何從過程性的視角來積累數學活動經驗談談自己的粗淺認識。

一、 問題現象

在“長方體和正方體”的學習中，很多學生對“在一個長50厘米、寬40厘米、高30厘米的長方體玻璃缸中，水深20厘米，如果把一塊棱長為10厘米的正方體鐵塊浸沒于玻璃缸中，現在玻璃缸內水深多少厘米？”之類的等積變形問題，存在很大困難。這時，教師的分析講解，主要采用兩種方式：一種是回憶描述講解，組織學生回憶“烏鴉喝水”故事（該素材在人教版教材中是作為“體積”概念教學引入），然后組織學生討論“正方體放下去，水面為什么會升高？”揭示“水面升高部分的體積就是正方體鐵塊的體積”；另一種是直觀演示講解，提供玻璃缸實物結合題意進行直觀演示，討論講解后揭示“水面升高部分的體積就是正方體鐵塊的體積”。實際教學顯示，第二種講解方式的效果略好于第一種，但仍有不少學生無法真正理解“等積變形”。

二、 分析改進

這表明，等積變形問題不是靠教師“講”清楚所能解決的，需要學生內化經驗，“悟”明白。在上述兩種講解方式中，第二種直觀演示講解能夠幫助學生獲得經驗，不過此時獲得的是一種替代性經驗，不是直接經驗。在實際教學中，由于教學時間所限，設計有意義的活動讓學生獲得替代性經驗是非常必要的，也是積累數學活動經驗常見的方法。

值得我們思考的是，為什么教師直觀演示、思考討論、講解點撥都具備了，學生還是不能真正理解、有效獲得經驗呢？這需要分析學生學習的真正困難是什么，是什么經驗的缺失產生了學習困難，要積累此項經驗需要開展怎樣的活動，活動的內容、時機、頻次、方式有什么要求等系列問題。

回到等積變形的具體問題中，筆者在訪談中發現，學生的主要疑點集中于兩個問題：

問題1：“10×10×10=1000（立方厘米）是正方體的體積，怎么可以用它去除以“50×40”這個長方體的底面積呢？”

問題2：“鐵塊是固態的，怎么變成了液態的水呢？”

學生產生這兩個疑惑很正常，也很必然。因為先前的體積學習中，只有長方體體積除以長方體的底面積才是高（水深），現在怎么可以用另一個物體（正方體鐵塊）的體積來除以長方體的底面積呢？這就產生了第一疑點。第二個疑點，指向了較為復雜的替換，涉及了“正方體體積替換為等體積的長方體（水升高所形成的長方體部分）”和“物體的固態（鐵塊）向液態（水）進行替換”兩個跨度的替換；而要理解這些替換，需要以固態、液態同一性質材料相互替換（如長方體鐵塊鍛造為正方體，長方體容器內的水倒入正方體容器）為基礎，積累“體積不變，形狀（表面積）發生變化”的活動經驗。

問題在于，在這個替換經驗積累的過程中，教師又安排了哪些跟進性的活動呢？據筆者了解，在本單元教學中，多數教師只在“體積”概念教學中安排了一次演示活動（實物演示或課件演示），有的甚至連課件演示也沒有安排。在“體積”概念中，學生對“空間”一詞是很難理解的。在“烏鴉喝水”演示活動中，學生能夠體會到（也有一些學生積累了相關生活經驗）“水”被“石子”壓擠上來的空間，但僅憑此時的直觀演示，學生無法獲得“壓擠上來的空間等同于石子的體積”的經驗。另外，從“所擠占的空間”的外延來看，可以是用石子擠占，也可以是等體積的其他形態材料（如液態的水，固態的沙子）進行擠占，只有當學生悟到“不管什么材料、什么形態，只要是等體積，就可以擠占同樣大小的空間”，才有助于對等積變形的本質的理解。從這個角度分析，一兩次的直觀演示活動，是無法支撐起相應的經驗建構的。

實踐表明，關于等積變形問題要關注以下兩個活動的開展時機（如下表）：

（說明：上表中的第二項活動屬于專門的實踐活動，可根據學生情況增設一至兩課時的教學時間加以開展。）

三、 衍生思考

在數學活動經驗積累中，教師更為關注數學活動的設計與開展。但就過程性經驗積累而言，筆者更愿意強調一種整體架構的視野。如果不能從單元、學段統領的視角來規劃、建立數學活動經驗序列，數學活動就有可能是零星的、斷層的，就會產生因基本活動經驗積淀不到位造成的學習困難。

比如，“最少用（ ）個小正方體可以拼搭成一個較大的正方體”是學生在一年級下冊“立體圖形拼組”單元學習中遇到的問題，到了五年級長方體、正方體體積學習后再次面對同樣的問題，仍然有部分學生犯一年級時的低級錯誤。這個現象至少表明一部分學生的經驗并沒有隨年級的升高而得到積累。為什么沒有得到積累？就是因為在長達四年的時間內，除了一年級下冊開展過操作拼搭活動外就不曾碰過類似的活動，整體架構意識的缺乏整整耽誤了學生四年的積累時間。

因此，在數學活動設計中，教師要生就一雙慧眼，善于根據知識體系結構追本溯源編制活動序列。比如正反比例概念教學中的數據觀察經驗可以追溯到中年級，積、商的變化規律可以追溯到低年級的乘法口訣學習。

總之，只有具備了整體貫穿意識，過程性經驗積累才有可能真正得到落實，追求“過程性”是數學活動經驗積累的應然之道。