從“數(shù)學的知識”走向“知識的數(shù)學”

日常教學中，我們都有這樣的感受：有些數(shù)學課，本身的思維容量比較大，這樣的課就有很多創(chuàng)新的空間，容易“出彩”；而有的課，內容相對簡單，不容易“出彩”。那么，這樣的課僅僅滿足于學生學得輕松，教學效果好就夠了嗎？到底簡單的課該怎么上？

筆者認為，簡單的課要上出“數(shù)學味”，關鍵要站在“數(shù)學”的角度而不僅僅是“知識”的角度考慮問題，引導學生從學習“數(shù)學的知識”走向體驗“知識的數(shù)學”。“數(shù)學的知識”側重于“知識”，重視“教教材”，教師考慮的是采用什么樣的教學方法讓學生獲得知識，重在對具體教學方法的選擇；而“知識的數(shù)學”側重于“數(shù)學”，重視用教材教，即通過知識這個載體，探究知識背后的數(shù)學價值，培養(yǎng)學生的數(shù)學意識、數(shù)學思維，發(fā)展學生的數(shù)學素養(yǎng)。

一、 發(fā)展“知識”背后的“思維”

不少教師在研讀教材時，往往只從知識的角度來分析和設計教學，重視知識的教學，而忽視知識背后思維價值的開發(fā)，這樣對于簡單的數(shù)學課，也就上不出“數(shù)學味”，不利于學生思維的發(fā)展。

例如蘇教版六年級上冊“倒數(shù)”一課，就數(shù)學知識的角度來看，要求學生掌握倒數(shù)的意義，會找一個數(shù)的倒數(shù)，這對于六年級的學生來說是非常簡單的。那么，學習“倒數(shù)”僅僅是為以后的數(shù)學學習奠定知識基礎嗎？我覺得還不夠，應該要挖掘教材的數(shù)學價值，在學習數(shù)學知識的同時發(fā)展學生的數(shù)學思維。

“倒數(shù)”的知識，研究的是兩個數(shù)之間乘積的關系。而在小學數(shù)學中，很多內容都是研究事物之間關系的，如“平行”和“垂直”是研究同一平面內兩條直線的位置關系；“因數(shù)”和“倍數(shù)”是研究兩個數(shù)之間的整除關系；“加”和“減”是研究兩個數(shù)量之間的和差關系。因此“倒數(shù)”的教學，要站在數(shù)學的高度，把握這一知識點之上的整個知識結構，引導學生主動聯(lián)系已學的知識，貫通數(shù)學知識之間的聯(lián)系，體會兩個數(shù)之間的特殊關系，實現(xiàn)知識的自主建構。

課始，我啟發(fā)學生：同學們，我們之前學過很多有關“數(shù)”的知識，其實“數(shù)”與“數(shù)”之間有很多特殊的關系，你能說說你學過的哪些數(shù)學知識是兩個數(shù)之間的關系？學生交流后，教師舉例：比如“（ ）×（ ）=0”，（ ）里可以填哪兩個數(shù)呢？那么，兩個數(shù)相乘等于1的關系是怎樣的呢？今天我們一起來研究。這樣，聯(lián)系學生已有的知識經(jīng)驗，通過“兩個數(shù)相乘等于0的關系”引入到對“兩個數(shù)相乘等于1的關系”的探究，深化了學生對于“兩個數(shù)之間的關系”的體驗，體會到數(shù)學知識之間相互聯(lián)系的結構化思想。

二、 展現(xiàn)“結果”背后的“過程”

數(shù)學知識往往是以結果的形式來呈現(xiàn)的。數(shù)學教學要讓學生經(jīng)歷知識形成的過程，并在這個過程中經(jīng)歷觀察、比較、歸納、推理等數(shù)學活動。“倒數(shù)”一課的教學，要在獲得數(shù)學知識的同時，讓學生經(jīng)歷和體驗“從特殊到一般”的歸納過程和“從一般到特殊”的演繹過程，體會到數(shù)學的“普遍性”和“特殊性”。

1.從特殊到一般：體會“普遍性”

“倒數(shù)”概念的建立，是讓學生在對一些具體算式的觀察對比的基礎上，歸納這些算式的共同點：兩個乘積是1的數(shù)互為倒數(shù)，這是“從特殊到一般”的過程。在這一過程中，有一個問題必須明確，那就是“成為倒數(shù)的兩個數(shù)不一定都是分數(shù)，整數(shù)或小數(shù)也可以互為倒數(shù)。”平常教學中，由于教師往往先選擇分數(shù)的例子，容易讓學生形成只有兩個分數(shù)才能互為倒數(shù)的錯誤認識，即使到后面再研究整數(shù)的特例，學生已經(jīng)先入為主了。

教學中，我出示：（ ）×（ ）=1，引導學生獨立探究、合作交流，學生出現(xiàn)了四種情況：（1）小數(shù)和整數(shù)相乘的情況：0.5×2=1， 0.25×4=1 ，0.125×8=1；（2）整數(shù)與整數(shù)相乘的情況：1×1=1；（3）分數(shù)與分數(shù)相乘的情況：；（4）整數(shù)與分數(shù)相乘的情況：2×。引導學生概括這些算式的共同點：兩個數(shù)的乘積都等于1，從而揭示“倒數(shù)”的概念：乘積是1的兩個數(shù)互為倒數(shù)。這樣，從特殊到一般，拓展了問題和思維的空間，引導學生綜合應用數(shù)學知識解決問題。另外，避免了“只有兩個分數(shù)才互為倒數(shù)”的錯誤認識。

2.從一般到特殊：體會“特殊性”

在形成“一般方法”后，再應用到對“特殊現(xiàn)象”的研究，這是數(shù)學“演繹”方法的體現(xiàn)，有利于鞏固“普遍性”知識，完善學生的認知結構。在學習倒數(shù)的意義，掌握求倒數(shù)的方法后，要研究一些特殊數(shù)的倒數(shù)，如整數(shù)的倒數(shù)、1的倒數(shù)等。那么，能不能把找整數(shù)、小數(shù)倒數(shù)的方法納入到找分數(shù)倒數(shù)方法——交換分子分母的位置這一知識結構中呢？

教學中，我首先引導學生研究互為倒數(shù)的兩個分數(shù)之間的關系，小結得出：找一個分數(shù)的倒數(shù)，只要交換分子分母的位置。然后，溝通整數(shù)、小數(shù)和分數(shù)倒數(shù)之間的聯(lián)系，引導學生觀察：0.25×4=1，1×1=1……0.25的倒數(shù)是4，4的倒數(shù)是0.25；1的倒數(shù)是1……討論：小數(shù)的倒數(shù)，整數(shù)的倒數(shù)，能不能也像求分數(shù)的倒數(shù)一樣，把分子和分母倒過來呢？這樣，從最基本的求分數(shù)倒數(shù)“把分子分母倒過來”的原始方法出發(fā)，溝通了與求整數(shù)、小數(shù)倒數(shù)方法的聯(lián)系，體現(xiàn)了數(shù)學知識“普遍性”的特點，體會到“普遍性”與“特殊性”的統(tǒng)一。

三、 追問“方法”背后的“算理”

新課程理念下的計算教學，強調算法與算理的結合，重視算法的形成過程，引導學生在探索算理的基礎上掌握算法。而問題是，對于簡單的計算知識，學生已經(jīng)能夠順利遷移原有的算法形成新的算法，這樣的課，如何重視算理的教學？

例如蘇教版三年級上冊“整百數(shù)乘一位數(shù)的口算”一課。由于學生有了整十數(shù)乘一位數(shù)口算的基礎，因此像“200×2”這樣的口算，學生都會算了。學生已經(jīng)會了的，教師如何教？這是一般教師比較頭疼的問題。

1.提煉核心問題

本課中，對于“200×2怎么算”的問題，學生可以順利遷移“整十數(shù)乘一位數(shù)”的口算方法：先算2×2，再在后面添兩個0。在學生口算出答案后提出兩個問題：你怎么能證明400一定是對的呢？為什么能先算2×2，再在后面添兩個0呢？第一個問題解釋了乘法的意義：2個200就是400；第二個問題解決了算理問題。教師在學生討論交流后小結：學習數(shù)學，不僅要掌握方法，而且要知道這樣算的道理。這兩個核心問題的提出和解決，讓本來簡單的數(shù)學知識“厚”了起來，“算理”教學的重點得到了有效的突破。

2.體驗數(shù)學思想

對于“為什么可以這樣算”的算理，教師并不只是讓學生簡單說道理，而是利用數(shù)形結合的思想方法，選擇了“計數(shù)器”這個有效的載體。教師結合“計數(shù)器”的撥珠，引導學生聯(lián)系已經(jīng)學過的“一位數(shù)乘一位數(shù)的口算”“整十數(shù)乘一位數(shù)的口算”來理解“整百數(shù)乘一位數(shù)口算”的算理：2×2，就是在個位上撥2個2，得4個一；20×2，就是在十位上撥2個2，得4個十，所以在4后面添一個0；200×2，就要在百位上撥2個2，得4個百，所以在4后面添兩個0……這樣，算理的理解和撥珠的過程相結合，學生直觀、清楚而又深刻地理解了算理，這是其他教學形式都不能替代的。在此基礎上，教師再作延伸：如果再寫下去，2000×2應該怎樣撥，怎樣算呢？2000×2，就要在千位上撥2個2，得4個千，所以在4后面添三個0。

四、 重視“算法”背后的“技能”

傳統(tǒng)的計算教學強調“熟能生巧”，往往通過高強度的練習來鞏固算法，提高計算的熟練程度。新課改以后，重復機械的計算訓練減少了，但訓練的量得不到保證，學生的計算能力較課改前出現(xiàn)了明顯的下降。事實上，計算教學不能回避訓練。在學生理解算理掌握算法后，要提高學生的計算技能，則需要一定訓練量的保證。

“整百數(shù)乘一位數(shù)的口算”一課中，教師安排的題量比較大，采用口算、筆練以及同桌相互算等多種形式，讓學生在練習和反饋矯正中提高計算技能。此外，在常式練習的基礎上，還設計了豐富的變式練習。一方面通過形式的變化，提高學生計算練習的興趣，另一方面通過題組對比，溝通了知識間的聯(lián)系，突出了計算方法的本質，有利于完善學生的認知結構。

比如，安排“500×3，300×5；400×6，600×4……”這樣的題組練習，計算后，教師啟發(fā)學生思考：為什么每組的答案都是一樣的？這樣通過比較，強化了計算方法：都是先算0前面的數(shù)，每組中0前面的數(shù)都是相同的，再在后面加上相同個數(shù)的0。然后，讓學生編一些“變化后結果仍相等的題目”以及“（ ）×（ ）=1600”這樣的開放題，學生學得主動，練得有趣。

五、 培養(yǎng)“知識”背后的“意識”

發(fā)展學生的數(shù)學素養(yǎng)，不僅要讓學生掌握數(shù)學知識，體驗數(shù)學思想和方法，還要注重培養(yǎng)學生的數(shù)學意識。就“整百數(shù)乘一位數(shù)的口算”一課來說，僅僅讓學生掌握正確計算的方法，還只是停留于知識教學的層面。因為在實際生活中，真正“整百數(shù)乘一位數(shù)”的口算應用并不多，更多的是接近整百數(shù)的數(shù)乘一位數(shù)的口算，如商場里一件衣服往往標價299元、399元等。因此，如何讓學生體會到“整百數(shù)乘一位數(shù)口算”與生活的聯(lián)系，提高學生解決實際問題的能力，顯得相當重要。

本課中，教師創(chuàng)設了豐富的生活情境，培養(yǎng)學生的應用意識和估算意識，引導學生掌握估算的方法，從而解決實際問題。如下圖：

這是公園景點的地形圖，小明要繞景點一圈，大約要走多少米？讓學生估算，組織合作交流。教師還引導學生思考：別人的答案是怎樣估計出來的？哪個數(shù)據(jù)估計得更準確些？

簡單的數(shù)學課要上出“厚度”，更需要教師深厚的學科功底。教師應該從學科本質出發(fā)，開發(fā)顯性知識背后的數(shù)學價值，引導學生經(jīng)歷豐富的數(shù)學活動，體驗思想方法，從而發(fā)展數(shù)學素養(yǎng)。