數(shù)學(xué)答題中“迷宮現(xiàn)象”探析

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中有個(gè)著名的“迷宮現(xiàn)象”：設(shè)想一個(gè)教師帶著一個(gè)學(xué)生走迷宮。教師對(duì)迷宮很熟悉，能很快地在3分鐘內(nèi)走出迷宮。學(xué)生緊跟著教師，也在3分鐘內(nèi)走出了迷宮。現(xiàn)在教師站在迷宮外，讓這名學(xué)生單獨(dú)進(jìn)入迷宮，這名學(xué)生能不能在3分鐘內(nèi)走出迷宮呢？最可能發(fā)生的情況是這名學(xué)生在3分鐘內(nèi)走不出迷宮，甚至30分鐘、3個(gè)小時(shí)，他也走不出迷宮。這名學(xué)生為什么走不出迷宮？顯然，教師帶領(lǐng)他走迷宮時(shí)，他只是被動(dòng)地、機(jī)械地跟隨，并沒有在教師引領(lǐng)時(shí)主動(dòng)找到并掌握走出迷宮的路徑。

一、“迷宮現(xiàn)象”的歸因分析

我對(duì)本班學(xué)生做了訪談?wù){(diào)查，從中發(fā)現(xiàn)學(xué)生答題“迷宮現(xiàn)象”的主要原因有很多，現(xiàn)對(duì)其中幾個(gè)原因進(jìn)行詳細(xì)分析。

1.思維定勢(shì)。

小學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中常受到思維定勢(shì)的消極影響，只要遇到相似的題目，就會(huì)不假思索去套用原來的方法解決問題。

錯(cuò)題再現(xiàn)：8千克增加千克是（11.2）千克。

錯(cuò)因分析：分?jǐn)?shù)乘法應(yīng)用中常用關(guān)系式是“單位‘1’的量×分率=分率所對(duì)應(yīng)的量”，學(xué)生掌握這個(gè)思路后，經(jīng)常把數(shù)量當(dāng)作分率。這題中學(xué)生就是把“千克”當(dāng)成了分率“”，列式為8＋8×，造成錯(cuò)誤。

2.舉一不反三。

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的舉一反三是指學(xué)生在解決一道數(shù)學(xué)問題后，可以把本題中的解題思路科學(xué)地運(yùn)用到解決其他問題當(dāng)中去。在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，很多學(xué)生缺少舉一反三的思維，題目只要變換一下，就會(huì)卡殼、出錯(cuò)。

錯(cuò)題再現(xiàn)：（能簡(jiǎn)算的要簡(jiǎn)算）×15－=-=10

錯(cuò)因分析：這題其實(shí)就是形如a×c±b×c中當(dāng)b=1時(shí)的變形。這樣的式子學(xué)生能運(yùn)用乘法分配律進(jìn)行簡(jiǎn)算，但是變形后，學(xué)生就看不出能用乘法分配律簡(jiǎn)算了。

3.思維膚淺。

思維膚淺是指思考問題時(shí)只停留于表面現(xiàn)象，不做深入思考。學(xué)生總是滿足于對(duì)知識(shí)的一知半解，思考問題時(shí)局限于表面現(xiàn)象，解決問題時(shí)盲目答題。

錯(cuò)題再現(xiàn)：一個(gè)長(zhǎng)方形，周長(zhǎng)是24厘米，長(zhǎng)與寬的比是2︰1。這個(gè)長(zhǎng)方形面積是多少平方厘米？

錯(cuò)解：24÷（2＋1）×2=16（厘米）

24÷（2＋1）×1=8（厘米）

16×8＝128（平方厘米）

錯(cuò)因分析：從錯(cuò)解中看出學(xué)生把“24厘米”當(dāng)成了“2︰1”這個(gè)比的總數(shù)量，這是學(xué)生對(duì)按比例分配問題一知半解的具體表現(xiàn)。

4.思路混亂。

思路混亂主要是因?yàn)閷?duì)學(xué)過的知識(shí)沒有掌握其本質(zhì)特征，理解不透，造成對(duì)知識(shí)的似懂非懂，導(dǎo)致答題時(shí)思路混亂。

錯(cuò)題再現(xiàn)：鞋碼與腳長(zhǎng)（單位：厘米）可用公式“腳長(zhǎng)×2-10=鞋碼”換算。陳揚(yáng)爸爸穿43碼鞋，他的腳多少厘米？

43÷2＋10=31.5（厘米）或43-10×2=66（厘米）

錯(cuò)因分析：學(xué)生喜歡用算術(shù)方法答題，這題是已知鞋碼求腳長(zhǎng)，很多學(xué)生不會(huì)用“腳長(zhǎng)×2-10=鞋碼”的算術(shù)方法求出腳長(zhǎng)而造成思路混亂。

二、“迷宮現(xiàn)象”的解決策略

1.采用對(duì)比，梳理順序——走出思維定勢(shì)的“迷宮”。

烏申斯基說過：“比較是各種認(rèn)識(shí)和各種思維的基礎(chǔ)。”通過比較，有利于學(xué)生理解知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系與區(qū)別，促進(jìn)思維能力的發(fā)展。教學(xué)中，我經(jīng)常采用對(duì)比練習(xí)，幫助學(xué)生明辨不同之處，正確答題，走出思維定勢(shì)的“迷宮”。

典型例題：÷（＋）=×＋×=＋=。

這題和（＋）÷相似，超過半數(shù)的學(xué)生應(yīng)用乘法分配律進(jìn)行簡(jiǎn)便運(yùn)算，學(xué)生出現(xiàn)因思維定勢(shì)而錯(cuò)解的現(xiàn)象屢見不鮮。

有了前車之鑒，教學(xué)時(shí)，我同時(shí)出示（＋）÷和÷（＋）讓學(xué)生計(jì)算。學(xué)生計(jì)算（＋）÷后，想都不想就對(duì)÷（＋）進(jìn)行簡(jiǎn)算。當(dāng)÷（＋）這題出現(xiàn)兩種不同答案時(shí)，我指名學(xué)生板演計(jì)算方法，再分組討論：你認(rèn)為哪個(gè)結(jié)果對(duì)？為什么？這兩道題有什么相同和不同之處？能用你自己的話說說哪題能簡(jiǎn)算，哪題不能簡(jiǎn)算嗎？這樣的對(duì)比、討論、思辨，學(xué)生明白了形如（a±b）÷c的題目能簡(jiǎn)算，形如a÷(b±c)的題目不能簡(jiǎn)算，還自己總結(jié)了“括號(hào)在前的能簡(jiǎn)算，括號(hào)在后的不能簡(jiǎn)算”的結(jié)論，對(duì)兩類計(jì)算題的算法也就更加清晰明了。 2.運(yùn)用遷移，串聯(lián)知識(shí)——走出舉一不反三的“迷宮”。

學(xué)習(xí)中的遷移現(xiàn)象普遍存在，且應(yīng)用很廣。運(yùn)用知識(shí)的遷移作用，就是利用新舊知識(shí)間的聯(lián)系，由舊知識(shí)去思考、去領(lǐng)會(huì)，并掌握新知識(shí)。這不僅能讓學(xué)生的學(xué)習(xí)變得簡(jiǎn)單、易懂，更體現(xiàn)了數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)以致用。

典型例題：79×=（79＋1）×= 80×= 29

這是學(xué)生經(jīng)常做錯(cuò)，也是出錯(cuò)人數(shù)較多的一道題。學(xué)生答題時(shí)只考慮了要讓79變化后能和80約分，于是就有了將79轉(zhuǎn)化為（79＋1）的想法，卻沒有注意到這樣轉(zhuǎn)化已經(jīng)改變了結(jié)果的大小。根據(jù)錯(cuò)因，我把乘法的意義遷移到這里，引導(dǎo)學(xué)生思考：“79×表示多少個(gè)？”“（79＋1）×表示多少個(gè)？”“把79轉(zhuǎn)化成（79＋1）行不行？”“為了不改變?cè)}的大小，你認(rèn)為應(yīng)將79轉(zhuǎn)化成什么？”這幾個(gè)問題將抽象的乘法分配律轉(zhuǎn)成較為具體的“幾個(gè)幾分之幾”來理解，降低了思維的難度，學(xué)生很快理解掌握了計(jì)算的方法，學(xué)得既輕松，又印象深刻。 3.畫中思，滲透策略看本質(zhì)——走出思維膚淺的“迷宮”。

畫圖是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要思想和策略。很多數(shù)學(xué)問題只要學(xué)生根據(jù)題意畫出圖再思考，可以化難為易，迎刃而解。但在實(shí)際學(xué)習(xí)中，一些學(xué)生不會(huì)畫圖，一些學(xué)生想不到用畫圖解題，導(dǎo)致很多問題都理解不透、似懂非懂。因此，我經(jīng)常引導(dǎo)學(xué)生畫圖，培養(yǎng)學(xué)生的畫圖意識(shí)。

典型例題：一個(gè)長(zhǎng)方體容器，長(zhǎng)8分米，寬6分米，高5分米。這個(gè)長(zhǎng)方體容器最多可容納多少個(gè)邊長(zhǎng)2分米的小正方體貨箱？

錯(cuò)解：8×6×5÷（2×2×2）= 30（個(gè)）

學(xué)生認(rèn)為在容器里裝正方體，就是看容器的容積能包含幾個(gè)小正方體的體積。為了讓學(xué)生真正理解，我引導(dǎo)學(xué)生畫圖并觀察分析：“按照同學(xué)們的計(jì)算，容器里應(yīng)該能裝進(jìn)30個(gè)正方體，這個(gè)結(jié)果是否正確呢？請(qǐng)大家畫圖來驗(yàn)證一下結(jié)果。”“容器最下面一層能擺多少個(gè)正方體？一共可以擺幾層呢？”通過畫圖（如右），容器里最多能裝多少個(gè)小正方體一目了然地呈現(xiàn)在學(xué)生的眼前，可謂是有力的無聲語(yǔ)言。

4.做中思，辨別模型露本質(zhì)——走出思路混亂的“迷宮”。

在立體圖形的教學(xué)中，為了幫助學(xué)生理清思路，我引導(dǎo)學(xué)生做各種實(shí)物模型，學(xué)生通過動(dòng)手做與觀察思考，掌握了這些立體圖形的特征，答題時(shí)也就得心應(yīng)手了。

典型例題：一個(gè)圓柱形鐵皮水桶，它的底面直徑和高都是4分米，做一只這樣的水桶到底要多少鐵皮？

錯(cuò)解：3.14×4×4＋3.14×（4÷2）2×2=75.36（平方分米）

從錯(cuò)解可看出，大多數(shù)學(xué)生多算了一個(gè)底面，也就是把水桶算成是有蓋的了。為了幫助學(xué)生更準(zhǔn)確、更系統(tǒng)地理清知識(shí)的脈絡(luò)，形成正確的知識(shí)結(jié)構(gòu)，我在教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生做各種實(shí)物的模型，如金魚缸、水桶、油桶、通風(fēng)管、水管等模型。通過做和思，學(xué)生理解了不同物體的面的個(gè)數(shù)并不相同，所以表面積的計(jì)算方法各不相同，也體會(huì)到了“做”在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的作用

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，“迷宮現(xiàn)象”緊隨著數(shù)學(xué)錯(cuò)題的產(chǎn)生而產(chǎn)生，它是教師教學(xué)的寶貴資源，是學(xué)生學(xué)習(xí)的寶貴素材。教師要善于總結(jié)教學(xué)中的經(jīng)驗(yàn)，發(fā)揮數(shù)學(xué)錯(cuò)題最大限度的功能，挖掘內(nèi)在的“閃光點(diǎn)”，為學(xué)生創(chuàng)設(shè)新的學(xué)習(xí)機(jī)會(huì)，幫助學(xué)生掌握答題思路及方法，讓學(xué)生早日走出答題的“迷宮”。

（責(zé)編 杜 華）