數學元認知能力教學策略淺探

徐新倉 寧夏中衛市第二中學教務主任，中學高級教師，數學特極教師，自治區、市骨干教師、優秀班主任，多次被評為市教育先進工作者、“數學教育優秀園丁”和“數學教育優秀輔導員”；先后在國家、省級刊物上發表論文達30多篇。

新的數學課程標準中首次提出“初步形成評價與反思的意識”，這一目標在以往的教學大綱中不曾提到。這一目標既保證了問題解決中學生認知發展的連續性與完整性，也有利于在活動中形成學生認知發展的多樣性和水平的提升。特別是為第三學段（7～9年級）的學生提出：“通過反思獲得經驗”，已經逐漸引領學生在認知水平上達到元認知的層面。

一、對數學元認知的認識和理解

所謂元認知就是指個體對自身認知過程的認識和意識。之所以稱為元認知是因為其核心意義是對認知的認知。我們通常所說的感覺、思維或想象就屬于認知活動，而元認知則是對感覺、思維等這些認知活動的認知。因此，元認知實質上是個體以自身認知活動為對象的認知，是對自己認知活動的自我意識、自我體驗、自我調節和監控。

元認知對學生的學習有以下幾個方面的作用：一是可以使學生意識和體會到學習任務和目的、自己的優勢與不足、自己的思維過程、自己的學習能力水平等情況；二是能使學生意識到有哪些可供選擇的學習方法與策略，并依據學習任務和自己的學習能力去選擇最有效的方法、策略進行學習；三是能使學生正確評估自己的學習結果，并依據評估調整自己的學習活動；四是能使學生意識到當學習失敗時，應采取什么方法去改進自己的學習，使成績有所突破。

由上可見，學生的元認知能力必然直接影響其對數學問題解決的過程和結果。而數學元認知是個體在數學認知活動中的觀念及其對這些觀念的自我調節。顯然，在數學教學過程中，如何培養學生數學問題解決中的元認知能力是初中數學教學中的突破口之一。但是在當前的數學教學中，存在著重“結果”輕“過程”，重“知識”輕“能力”，重“魚”輕“漁”的現象，而對學生在數學問題解決中出錯的心理原因研究較少。對學生數學問題解決過程中的錯誤，教師只知道多加練習，無形之中增加了學生的負擔。因此，要培養學生的學習能力，我們就要研究學生解決數學問題的心理過程，通過數學問題解決的過程，培養學生解決數學問題的元認知能力。

二、數學元認知在數學問題解決中的作用

數學元認知是指人們在數學活動中，對自己學習活動的過程、結果及與之有關事項的認識和控制。它有以下兩個方面的作用。

一是情境性知識的作用。我們經常遇到這樣的情境，教師講解一元二次方程的方法有：直接開平方法、配方法、求根公式法、因式分解法等，每節課講一種方法時，絕大部分學生都能學會，可是當不告知用哪種方法解一元二次方程時，好多學生不知選用哪種方法較好，甚至解不出方程。這說明學生缺乏情境性知識，即不知在什么條件和背景下運用哪種數學方法或數學知識。情境性知識的作用，一方面表現為引領解題方向，另一方面表現為觸發解題思維。具有情境性知識引導和支持的解題者，知道在什么條件下用哪種方法解題，從而能靈活地運用各種解題策略去發現問題中的隱含條件，突破思維障礙，找到解題方法。

例：已知x₁，x₂是方程x²+x-2012=0的兩個實數根，則x²₁+2x₁+x₂的值為（ ）。

A.2009 B.2010 C.2011 D.2012

評析：題設給出了x₁，x₂滿足的條件，結論中要求代數式的值。由于程序性知識引導的控制作用，我們知道，由根與系數的關系得：x₁+x₁=-1；由于情境性知識的支持引導作用，我們發現把x₁代入所給方程中可得x²₁+x₁-2012=0，再把兩個方程相加即得答案C。

二是數學思想對數學方法的作用。數學思想是指對數學知識本質的認識，是對數學規律的理性認識，是從某些具體的數學概念、命題、方法、規律等的認識過程中提煉上升的數學觀點。基本的數學思想主要有：化歸推理思想、分類討論思想、建模思想、數形結合思想、極限思想、統計思想等。數學方法是指從數學的角度提出問題，解決問題的過程中所采用的各種策略、方法、手段、途徑等，如：換元法、配方法、降次法等等。在數學問題解決中，當情境稍有變化時，學生常會感到束手無策，如果有數學思想來調控數學方法，則往往可以超越特定的情境，或變化情境以適應模式，或變化模式以適應情境。

比如，在數與代數的教學里，只要抓住實數與數軸上的點一一對應、有序實數對與坐標平面上的點的一一對應關系，從數形結合的角度出發，借助數軸處理好相反數和絕對值的意義、有理數的分類、有理數大小的比較、不等式的解集在數軸上的表示等。讓學生經歷試驗、探索的過程，體驗如何用數形結合思想分析和解決，培養學生學習和應用的能力，從而激發其學習數學的原動力。因此，要培養學生的學習品質和數學解題能力，我們就要研究學生解決數學問題的心理過程。

三、提高學生元認知水平的策略

培養并提高學生數學元認知能力是一個迫切需要解決的問題。數學元認知能力是指在問題解決的過程中監控活動完成情況的能力，它包括策略選擇、監控活動進行、策略效果評價、及時反饋并修正該過程的進度、方向和所采用的策略等，其核心在于主體積極監控、調節自身學習活動的思維過程。

1.提高教師自身的元認知水平

培養學生數學元認知能力的主要場所是課堂，教師的主導作用是學生數學元認知能力培養的關鍵，教師在教學中要克服重教輕學、重知識傳授輕能力培養、重結果輕過程和缺乏對學習過程的反思等傳統教法的弊端。要培養學生的元認知能力，必須先提高教師的元認知水平。教師的元認知能力與學生的元認知能力有著相同或相似的發展機制和規律，教師的元認知能力給學生提供模仿的榜樣，從而促進學生元認知能力的提高。有較高元認知能力的教師才能在數學問題解決教學中暴露解決問題的思維過程，教授學生問題解決的策略。教師在問題解決的過程中給予良好的示范，有利于促進學生元認知能力的提高，引導學生反省學習的過程，啟發學生不斷改進自己的學習活動。

2.幫助學生確立學習目標，增強計劃監控能力

學生的元認知能力是逐漸形成的，它以學生在解題活動中的主動參與為基礎，學生只有喜愛數學，才可能去主動學習數學，并關注數學知識，碰到一些難題時，才會用心思考，逐步養成自覺地調控自己的解題行為。所以，要幫助學生學會學習，必須幫助學生確立學習目標，指導學生學會提出與學習有關的問題，并制訂學習計劃。教師還應教會學生面對具體的學習任務。首先，教會學生對學習材料進行分析，從而明確學什么、為什么學、怎樣學等問題，并估計自己的學習特點等因素，以便選擇有效的學習方法；其次，引導學生考慮具體的學習計劃。一般學生的學習計劃應在教師的指導下，通過學生獨立確定或相互討論確定，這樣擬定的計劃使學生擁有一個較為完整的學習步驟和方法，有利于完成學習任務。再次，在按計劃實施教學的過程中，教師還要善于引導學生監控學習進程，維持、修正或補充自己的學習行為。

3.有針對性、系統地傳授數學元認知知識

學生數學問題解決中的元認知能力是以學生自身的數學基本知識、基本經驗為基礎的。所以，學生基礎知識、基本技能、基本數學思想方法和基本數學活動經驗的掌握是順利解決數學問題的前提條件，是促進學生數學問題解決中元認知能力發展的基本保證。

首先，引導學生建立數學知識網絡圖。順利的解決數學問題需要一定的數學知識，學生不僅要掌握數學中的定義、公理、定理，而且要將這些知識形成網絡結構。而北師大版教材依據新課程標準，將學習目標分階段達成，學生對知識的積累是漸進的，學生的知識網絡是逐步擴展的。因此，到初三復習時，每用到相關舊知識時，都需要引導學生進行知識的重新組織和整理，幫助挖掘出數學知識的內在聯系，使知識系統化、條理化，從不同角度幫助學生加深對概念、原理等的理解，使新舊知識逐步形成緊密的鎖鏈，形成知識網絡，發展學生數學問題解決中元認知能力。這樣學生能對數學知識結構有一個清晰的整體把握，弄清數學基本概念、基本理論和方法間的聯系和區別，將頭腦中的知識結構化、整體化、網絡化，從而在解決數學問題的過程中能較快、較準確地調用到相關的知識。數學知識是以概念為核心的，而數學概念的記憶是以圖文結合的圖式形式存貯在概念聯系網絡中的，因此教師可以通過概念圖或圖式幫助學生建立數學知識網絡。例如，在初三數學相似形的復習教學過程中，可以用概念圖（如下圖）的形式將相似形的有關知識點串聯起來，幫助學生形成清晰的數學知識網，以便學生在數學問題解決的過程中快捷而有效地提取信息。

其次，幫助學生掌握解決數學問題的策略性知識。要讓初三學生成為學習的主體，教師在平時的教學中要幫助學生歸納、總結數學問題解決過程中常用的思維方法和解題的策略，這樣學生才能思路清晰地運用相關方法和策略解決數學問題。

最后，引導學生掌握一定的元認知知識。學生數學元認知知識的貧乏是致使數學問題解決中元認知能力低的重要原因之一，即學生的元認知能力與其擁有的元認知知識有極大的關系。為了實現元認知知識的傳授，教師就必須要先掌握它們，在教學中注意收集、整理、研究有關數學學習的元認知知識，以便進行有針對性、策略性的傳授和培養。幫助學生獲得并掌握正確的元認知知識，就是讓學生認識到數學學習同時存在著認知和元認知過程，認識數學問題解決的實質，鼓勵學生及時反思，總結自己或他人解決數學問題的特點和使用的策略或方法，不斷交流，揚長避短，提高學生在數學問題解決中的有效性，減少盲目性，不斷促進數學問題解決中遷移能力的提高。從而提高數學問題解決中元認知能力。

4.培養學生自我評價、自我監控和反思的習慣

新課程標準要求教師引導學生在“問題解決中學習”，讓學生自主探究，通過激勵性評價使學生圍繞問題進行高水平的思維，構建自己的知識系統。因此，評價在數學問題解決中元認知能力形成的過程中具有重要的作用。教師應當注意指導學生將形成性評價和總結性評價相結合，促進學生學習活動的調控和改進學習行為；指導學生在學習過程中隨時評價學習進程，評價學習策略，并根據學習情境的變化，不斷地調整和修正自己的學習策略。

學生反思問題解決的過程是數學活動的核心和動力。作為數學教師，在指導學生解決數學問題的過程中要特別注意有意識地培養學生的反思意識，教會學生在解決問題的過程中進行有效反思，真正提高對信息的分析、選擇和處理能力。數學問題解決過程中的反思包括：對整個解決數學問題過程中所涉及有關數學問題的表征、數學基礎知識、數學思想方法、解決數學問題策略的選擇和實施過程以及解決數學問題結果等認知活動主動進行回顧、思考、總結、評價、調節的過程。因此，反思是認識過程中強化自我意識，進行自我監控、自我調節的重要形式。

5.數學教學充分展示數學知識的發生發展過程

數學知識的獲取、技能的訓練、能力的培養都離不開解題。所以展示解題的思維過程，不但能為學生參與教學活動創造條件，而且還能提高學生分析問題、解決問題的能力。因此，教師在講解例題時，應該把自己是怎樣想的，應該怎樣下手，甚至可以把自己探索失敗的過程都要展示給學生，即暴露思維過程。說穿了，教師要講的不是怎樣做，而是為什么要這樣做。如果從來不展示“失敗”的思路，不展示如何在有限的碰壁中，通過調整策略找到正確的思路和方法，總演示“成功”的思路，每種解法都很正確、很巧妙，其結果只能是教師講得精彩，學生聽得輕松，但遇到題設或結論稍加改變的問題，學生往往束手無策。只有讓學生體驗解題時的分析和探索過程，才能讓學生逐步學會怎樣分析、怎樣判斷、怎樣推理、怎樣選擇方法，從而提高解決問題的能力。

總之，教師在教學中，應注意創設合理的教學情境，充分展示知識的產生、發展和應用的思維過程，給學生提供合作與交流的空間，進而培養學生的數學思維能力。

四、培養學生數學元認知能力的方法

數學問題解決中的元認知能力可以在實踐中得到培養和提高。教師只有認識到培養學生解決數學問題中元認知能力的作用和意義，并在教學實踐中認真體會和總結解決數學問題中元認知能力的教學方法，才能使得這些方法在提高學生解決數學問題中的元認知能力的過程中起到積極有效的作用。

1.指導學生在解決問題中出聲思維

所謂出聲思維，就是讓學生在問題解決過程中，一邊思考一邊把思考的內容大聲說出來，以便他人能清晰了解該學生思維活動的具體過程和細節。即讓學生借助語言暴露內隱的思維過程，這樣做不但讓老師和同學能了解到這個學生是怎樣想的，這個想法是怎樣形成的，想法是怎樣起作用的，而且暴露了學生的思維過程，使學生有機會對思維過程進行審視、監控，從中獲得反饋信息，并根據反饋信息對思維過程進行修正、調整或控制，還能對認知活動的結果加以設想、預估，使思維過程始終處于不斷循環的動態變化過程中。

例：已知二次函數y=ax²+bx+c中的x，y滿足下表：

求這個二次函數關系式。

學生甲：二次函數y=ax²+bx+c中有三個待定系數a、b、c，只需三組條件，即可確定a、b、c的值，而題目給出了五組條件，多給了兩組，因此，我任意選三組比如：（-1，O），（1，-4），（2，-3），得方程組，解這個方程組就可得a，b、c的值。

教師：大家就按他說的做一下。同學們很快列出

如下方程組：

a-b+c=O

a+b+c=-4

4a+2b+c=-3

但由于新教材已經把三元一次方程組刪除，大部分學生不會解這個方程組。

此時，學生乙：這個方法是對的，但方程組太復雜，不好解，不如代（0，-3），（1，-4），（2，-3），這樣把（0，-3）代入直接得c=-3，再把（1，-4），（2，-3）得一個二元一次方程，解得a=1，b=-2。

學生丙：把（0，-3），（1，-4），（-1，0）代入方程組簡單好解，不容易出錯。

兩分鐘后，同學們解得二次函數關系式為：y=x²-2x-3

此時，學生丁舉手要表達觀點。

學生丁：我發現（-1，0）與（3，0）、（0，-3）與（2，-3）是關于x=1的對稱點，說明此拋物線的對稱軸為x=1，題目告訴了當x=1時，y=-4，利用頂點式，可設所求二次函數為y=a（X-1）²-4，此時，只有一個待定系數，代入（0，-3）得a=1，所求二次函數為y=（x-1）²-4=x²-2x-3

又有學生戊要表達觀點。

學生戊：我發現（-1，0）與（3，0）是所求二次函數與x軸的交點坐標，利用交點式，可設所求二次函數為y=a（x+1）（x-3），代入（0，-3）得a=1，可設所求二次函數為y=（x+1）（x-3）=x²-2x-3

此例通過出聲思維，不但得出了求二次函數關系式的三種常用方法，而且充分暴露了思維監控的過程，很好地體現了學生元認知發展的過程。

2.指導學生自我提問

自我提問是培養元認知能力的重要方法。通過進行一系列啟發式自我提問，不但可以幫助學生整理、歸納、總結和遷移知識，加強學生對自己學習狀態的認識，而且增強學生對自己學習過程的控制，學會根據不同內容選擇不同的學習方法，在學習中獲取成功的學習經驗和積極的元認知體驗，使學生的元認知能力得以充分發展。

總之，在數學教學中，利用元認知理論，培養學生元認知能力，有助于提高學生的主觀能動性和自我意識，有助于提高學生的自我監控意識和能力，逐漸提高學生思維水平。隨著數學元認知水平的提高，學生會更加自覺地將有關元認知知識運用于解決數學問題和現實生活中，使數學元認知在數學問題解決中發揮更大的作用。

作者單位寧夏中衛市第二中學

（實習編輯 李華凱）