解題反思，事半功倍

審題是解題的前提，解題錯(cuò)誤往往是由于審題不嚴(yán)而造成的. 同學(xué)們要善于總結(jié)審題的經(jīng)驗(yàn)，培養(yǎng)良好的審題習(xí)慣. 某些數(shù)學(xué)問題的已知條件內(nèi)涵很豐富，需要仔細(xì)地審視、分析才能理解透徹. 如果光看表面，常常會(huì)使條件的內(nèi)涵縮小或擴(kuò)大，導(dǎo)致所給問題的解集縮小或擴(kuò)大.

■ 已知tanα，tanβ是方程x2+3■x+4=0的兩個(gè)實(shí)根，且-■<α<■，-■<β<■，求α+β的值.

錯(cuò)解 因?yàn)閠anα，tanβ是方程x2+3■x+4=0的兩個(gè)實(shí)根，所以可得tanα+tanβ=-3■，tanαtanβ=4，所以tan（α+β）=■=■=■.

因?yàn)?■<α<■，-■<β<■，所以-π<α+β<π，故α+β=-■或■.

上述解法從推理過程上看步步有據(jù)，不存在問題，但是通過仔細(xì)分析，我們可以發(fā)現(xiàn)答案是錯(cuò)誤的. 我們可以做這樣的反思：

①題目存在隱含條件嗎？如果有，隱含條件是什么？

②隱含條件對(duì)所求的α，β的取值范圍有影響嗎？若有，α，β的正確取值范圍又是什么？

不難發(fā)現(xiàn)錯(cuò)解中沒有深入思考“tanα+tanβ=-3■，tanαtanβ=4”中的隱含條件.實(shí)際上，應(yīng)有tanα<0，tanβ<0，又-■<α<■，-■<β<■，得-■<α<0，-■<β<0，得-π<α+β<0，故α+β=-■.

有些題目由于隱含條件多，導(dǎo)致部分同學(xué)顧東不顧西，稍不留神，就會(huì)不知不覺地產(chǎn)生錯(cuò)誤，使解題造成錯(cuò)解、增解、漏解. 因此，反思研究題目中隱含的條件就顯得很重要.

解題后要思考是否有疏漏和錯(cuò)誤的地方，總結(jié)應(yīng)該注意的方面：如答案是否還有其他可能情況，是否掉入了命題者所設(shè)置的陷阱，等等.以此提高分析能力，糾正解答中的錯(cuò)誤.

求數(shù)列1，x，x2，…，xn，…的前n項(xiàng)和.

錯(cuò)解 Sn=■.

仔細(xì)審查，其實(shí)解題過程是不完善的，存在疏漏，問題在于：①這個(gè)數(shù)列是等比數(shù)列嗎？②運(yùn)用等比數(shù)列求和公式應(yīng)注意什么？

仔細(xì)推敲，等比數(shù)列公比q有可能為1，此時(shí)得到一常數(shù)列，其前項(xiàng)和是Sn=n；等比數(shù)列中，其公比和數(shù)列中的項(xiàng)不可能為0，而本題中x可以為0，得數(shù)列1，0，0，…，其前n項(xiàng)和Sn=1.

當(dāng)然，對(duì)一個(gè)題目的反思如果僅限于題目本身、就題論題，那么遠(yuǎn)遠(yuǎn)還沒有達(dá)到解題的目標(biāo)，沒有領(lǐng)會(huì)出題者的意圖. 因此，我們還需對(duì)題目進(jìn)行“深度”與“廣度”的反思.

同學(xué)們解題需要把握問題的本質(zhì)，不能憑臆想猜測(cè). 如果解題缺少對(duì)問題本質(zhì)的反思，就會(huì)變成無根之木、無源之水，不利于解題思路的形成.

1. 反思問題的本質(zhì)

過雙曲線■-■=1（a>0，b>0）的右頂點(diǎn)A作斜率為-1的直線，該直線與雙曲線的兩條漸近線的交點(diǎn)分別為B，C. 若■=■■，求雙曲線的離心率.

同學(xué)們解題后應(yīng)清楚地意識(shí)到該題主要考查了雙曲線的有關(guān)幾何性質(zhì)，即漸近線、離心率、頂點(diǎn)等，同時(shí)又考查了已知兩直線求交點(diǎn)，以及向量的坐標(biāo)表示等問題，還考查了解析幾何的基本思想方法和運(yùn)算求解的能力，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)知識(shí)交匯處命題的特色. 只有把握了題目的本質(zhì)才能使解題游刃有余.

2. 反思解題的規(guī)律

“例題千萬道，解后拋九霄”，這樣便難以達(dá)到提高解題能力、發(fā)展思維的目的. 善于進(jìn)行解題后的規(guī)律總結(jié)，無疑對(duì)學(xué)習(xí)能力的提高和思維的發(fā)展是大有裨益的.

已知定點(diǎn)A（4，0）和曲線C：x2+y2=4上的動(dòng)點(diǎn)B，點(diǎn)P是線段AB的中點(diǎn)，求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程.

這類軌跡方程問題的特點(diǎn)是：①所求的動(dòng)點(diǎn)隨著已知?jiǎng)狱c(diǎn)的運(yùn)動(dòng)而運(yùn)動(dòng)；②已知?jiǎng)狱c(diǎn)在已知曲線上運(yùn)動(dòng).

它的一般解題步驟是：①設(shè)所求軌跡上的任意一點(diǎn)為P（x，y），相對(duì)應(yīng)的已知曲線上的點(diǎn)為Q（x1，y1）；②建立關(guān)系式x1=g（x，y），y1=h（x，y）；③將以上的兩個(gè)式子代入已知曲線方程中并化簡(jiǎn)，即得所求軌跡的方程. 以后再遇到這類問題就可以用這種方法求解了.

3. 反思解題的方法

一般數(shù)學(xué)題，可能會(huì)有多種不同的解法，在解題時(shí)，往往是用最先想到的方法進(jìn)行求解，最先想到的方法往往是最熟悉的方法，但并不一定是最理想、最簡(jiǎn)單的方法. 因而解完一道題后應(yīng)充分運(yùn)用所學(xué)知識(shí)，從不同角度利用不同的思路進(jìn)行思考、觀察、聯(lián)想，探究不同的解題途徑.養(yǎng)成這種習(xí)慣，可提高發(fā)散思維能力，使解題方法靈活多變.

已知復(fù)數(shù)z的模為2，求z-i的最大值.

解法一（代數(shù)法） 設(shè)z=x+yi（x，y∈R），則因?yàn)閥≤2，所以當(dāng)y=-2時(shí)，z-imax=3.

解法二（三角法） 設(shè)z=2（cosθ+isinθ），則z-i=■=■. 所以當(dāng)sinθ=-1時(shí)，z-imax=3.

解法三（幾何法） 因?yàn)閦=2，z對(duì)應(yīng)x2+y2=4上的點(diǎn)，所以z-i可看成z和i所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)之間的距離. 可知當(dāng)z=-2i時(shí)，z-imax=3.

解法四（運(yùn)用模的性質(zhì)） 因?yàn)閦-i≤z+-i=2+1=3，而當(dāng)z=-2i時(shí)，z-i=3，所以z-imax=3.

通過自我探索，互相交流，得出不同的解題思路. 這樣很平常的一道習(xí)題，發(fā)揮了思考的潛力，把已有的知識(shí)在腦中羅列了一遍，并且體會(huì)到代數(shù)和幾何并不完全獨(dú)立，而是相互聯(lián)系的. 不過，也并不是所有問題都一味提倡一題多解，而是通過比較，讓自己體會(huì)哪種方法是通解，哪種方法更為簡(jiǎn)捷，使得解題思路更清晰、更開闊.

數(shù)學(xué)題型千變?nèi)f化，靈活多樣但大同小異，把題中的一個(gè)條件、一個(gè)字改變結(jié)果就不同了. 同學(xué)們應(yīng)盡可能多的自己改變題目、題型，解放思想，大膽創(chuàng)新，相互啟示，互相交流，以一題之例知百題之解.

已知平面上兩定點(diǎn)F1（-5，0），F(xiàn)2（5，0），若MF1-MF2=8，寫出動(dòng)點(diǎn)M（x，y）的軌跡方程，并指出軌跡種類.

根據(jù)條件， 將題目改成這樣的題組：分別寫出動(dòng)點(diǎn)M（x，y）的軌跡方程并指出軌跡種類：

（1）MF1-MF2=8；

（2）MF2-MF1=8；

（3）MF1-MF2=10；

（4）MF1-MF2=10；

（5）MF2-MF1=2a（a>0，a為常數(shù)）.

同學(xué)們?cè)趯W(xué)習(xí)圓錐曲線的定義時(shí)，如果死記硬背，只能做到表面了解，自我感覺懂了，實(shí)際上頻頻出錯(cuò). 通過對(duì)以上問題的討論和探索，就會(huì)對(duì)雙曲線定義中的“絕對(duì)值”“常數(shù)”“小于F1F2”等內(nèi)涵有更深刻的理解，從而培養(yǎng)思維的深刻性.

總之，解題后同學(xué)們應(yīng)不斷地對(duì)問題進(jìn)行觀察分析、歸納類比、抽象概括，對(duì)問題中所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)方法、數(shù)學(xué)思想進(jìn)行不斷地思考并做出新的判斷，體會(huì)解題帶來的樂趣，享受探究帶來的成就感.長(zhǎng)此以往，逐步養(yǎng)成獨(dú)立思考、積極探究的習(xí)慣，并懂得如何學(xué)數(shù)學(xué)，這是學(xué)好數(shù)學(xué)的必要條件.