例說代數(shù)換元法中變元的選取策略

換元法是一種非常有效的解題手段，尤其在處理一些結(jié)構(gòu)復(fù)雜、變量較多的數(shù)學問題中，作用獨特，效果明顯. 恰當?shù)匾胄碌淖冊粌H溝通了題目中各變量之間的內(nèi)在聯(lián)系，還改變了數(shù)量關(guān)系的結(jié)構(gòu)，從而使復(fù)雜問題的結(jié)構(gòu)簡單化、變量關(guān)系明顯化、問題的背景熟悉化，進而結(jié)合相關(guān)問題的處理方法，使復(fù)雜的數(shù)學問題輕松獲解.

換元法的難點是從某個角度選取某部分代數(shù)式作為新變元. 通常情況下，新的變元的選取策略是先從題設(shè)條件的關(guān)系或目標式的結(jié)構(gòu)以及變元的多少思考，再根據(jù)題設(shè)條件的關(guān)系或目標式的結(jié)構(gòu)特點，從題目的局部或整體選取恰當?shù)拇鷶?shù)式作為新的變元. 下面舉例，著重說明代數(shù)換元法中變元的選取策略.

一般情況下，對于結(jié)構(gòu)復(fù)雜的數(shù)學問題，首先應(yīng)觀察題設(shè)條件的關(guān)系及目標式的結(jié)構(gòu)特點，以統(tǒng)一結(jié)構(gòu)為目的，選取合適代數(shù)式賦予新變元，然后施行換元，再根據(jù)新的變元間的關(guān)系及結(jié)構(gòu)特點，尋找解決問題的具體方法.

若x1滿足2x+2x=5，x2滿足2x+2log2（x-1）=5，則x1+x2等于（ ）

解析 本題中x1，x2的值是難以求出的，若令t=x-1，題設(shè)中的兩式可以變形為2t=-t+■，log■t=-t+■，此時x1+x2=t1+t2+2.由數(shù)形結(jié)合，t1，t2可看成直線y=-x+■與函數(shù)y=2x及其反函數(shù)y=log■x的圖象交點的橫坐標（如圖1）. 兩交點分別為P（t1，2■），Q（t2，log2t2）. 又函數(shù)y=2x及其反函數(shù)y=log2x的圖象關(guān)于直線y=x對稱，而直線y=-x+■與直線y=x垂直，所以P，Q關(guān)于直線y=x對稱，所以線段PQ的中點就是直線y=-x+■與直線y=x的交點M■，■. 由中點坐標公式得■=■，所以t1+t2=■，即x1+x2=t1+t2+2=■. 正確結(jié)果選C.

評注 題設(shè)條件式的特點是系數(shù)為2，指數(shù)式、對數(shù)式的底數(shù)均是2，因此，選取題設(shè)條件式中x-1作為替換對象，引入新變元t=x-1，則將題設(shè)條件的結(jié)構(gòu)化同，由數(shù)形結(jié)合知t1，t2的內(nèi)在關(guān)系，使問題迎刃而解.

對于結(jié)構(gòu)復(fù)雜的數(shù)學問題，當換元不能統(tǒng)一目標式的結(jié)構(gòu)，則常常根據(jù)題設(shè)條件的關(guān)系或目標式的結(jié)構(gòu)特點，以拆分結(jié)構(gòu)為目的，從局部或整體選取合適代數(shù)式賦予新變元，使目標式的結(jié)構(gòu)重組，再根據(jù)新變元間的關(guān)系及結(jié)構(gòu)特點，尋找解決問題的具體方法.

1. 根據(jù)題設(shè)條件的關(guān)系，引入變元

評注 若有題設(shè)條件x+y=a，通常可設(shè)x=■+t，y=■+r（且t+r=0），引入變元；若有題設(shè)條件x≥y≥c，通常可設(shè)x=c+α，y=c+β（且α≥β>0），引入變元.

設(shè)實數(shù)a，b使方程x4+ax3+bx2+ax+1=0有實數(shù)根，求a2+b2的最小值.

解析 根據(jù)有關(guān)一元四次方程的理論，一般是把一個一元四次方程的求解問題轉(zhuǎn)化成一個一元三次方程或兩個一元二次方程的求解問題. 因此，降次是解決問題的首要目標.因為該方程系數(shù)對稱分布且x≠0，故可施行“同除”，配方換元降次.

對方程兩邊同除以x2，則方程變?yōu)閤2+ax+b+■+■=0，即x+■■+ax+■+b-2=0. 令t=x+■，則有t2+at+b-2=0（t≥2）. 所以t2-2=-（at+b）且t≥2，（t2-2）2=a2t2+b2+2abt≤a2t2+b2+a2+b2t2，即（t2-2）2≤（a2+b2）（t2+1），當且僅當a=bt時等號成立. 于是a2+b2≥■=t2+1+■-6. 令v=t2+1，則v=t2+1≥5，又由函數(shù)y=v+■（v≥5）的單調(diào)性，得a2+b2≥5+■-6=■. 所以（a2+b2）min=■，當且僅當t=2時等號成立. 由方程組t=-2，a=-2b，b-2a+2=0得a=■，b=-■（t=2時，a=-■，b=■亦成立）.

評注 題設(shè)條件是一元四次方程，其特點是系數(shù)對稱、方程次數(shù)高.因此，恒等變形宜施行“倒除”“配方”，故選取x+■作為替換對象. 引入新變元t=x+■，不僅達到了降次目的，而且凸顯了a，b的內(nèi)在關(guān)系. 從聯(lián)系的角度看問題，運用基本不等式后，使a2+b2與t整體剝離，從而把一個復(fù)雜的問題，悠然地帶入一個順暢的解題思路中，不需要高深的解題技巧和紛繁的分類討論.

2. 根據(jù)目標式的結(jié)構(gòu)特點，從局部引入變元

解析 本題涉及的三個變量a，b，c不具有對稱性，且三個分式的分母都是多項式，如果通分，則運算量較大. 因此，可考慮把各分母用其他變元代換，拆分結(jié)構(gòu).

評注 分式型結(jié)構(gòu)，又變量比較多的情況下，通常從分母入手，從局部代換引入變元，既改變了目標式的結(jié)構(gòu)，又明確了變量間的關(guān)系，使問題的解決熟悉化. 本題通過對分母進行代換，改變了目標式的結(jié)構(gòu)，使均值不等式有了用武之地.

3. 根據(jù)目標式的結(jié)構(gòu)特點，從整體引入變元

評注 本題若從局部引入變元無濟于事，但從整體引入變元，實現(xiàn)了結(jié)構(gòu)與關(guān)系的同時轉(zhuǎn)化.尋找變元的關(guān)系是必然的，但隱含條件（1-x2）（1-y2）（1-z2）=512（xyz）2的發(fā)現(xiàn)實屬不易，而后反證法的及時應(yīng)用，起到了柳暗花明的顯著效果. 看來當無計可施時，不妨整體引入變元.

總之，不論是函數(shù)、方程和不等式問題，還是解析幾何、三角與數(shù)列問題，換元法總是開啟復(fù)雜問題大門的一把金鑰匙. 只要適時選取恰當?shù)淖冊瑥淖冊g的關(guān)系入手，就能順暢地解決復(fù)雜的數(shù)學問題.