空間角

重點：①理解兩條直線所成角（線線角）和直線與平面所成角（線面角）及兩平面所成角（二面角）的概念，靈活掌握三種角的常規作圖與求解方法；②能夠建立恰當的空間直角坐標系，掌握“方向向量”與“法向量”的求解方法，并靈活運用向量公式求三種角.

難點：①二面角平面角的尋求，以及“法向量”的求解；②線面角與二面角平面角求解中，“一找，二證，三求”三步都必須規范、完整；③將空間圖形轉化為平面圖形即“降維” 的思想方法的掌握.

1.運用幾何推理求空間角的一般步驟為：一找，二證，三求

（1）求異面直線所成的角

①平移：選擇適當的點，平移異面直線中的一條或兩條為相交直線；

②求值：作出相應的三角形，求解三角形；

③注意：當求出的角為鈍角時，應取它的補角作為所求的兩條異面直線所成的角.

（2）求直線與平面所成的角

①作垂直：過直線上一個點向平面引垂線；

②連線：連結垂足與直線和平面的交點，所得直線與已知直線所成的角即為直線與平面所成的角；

③求解：在所成的直角三角形中求之.

（3）二面角的求法

①轉化為求平面角；

②面積射影法：利用面積射影公式S射=S原·cosθ，其中θ為平面角的大小.

對于一類沒有給出棱的二面角，應先延伸兩個半平面，使之相交出現棱，然后再選用上述方法（尤其可考慮面積射影法）.

2.運用空間坐標運算求空間角的一般步驟

（1）建立恰當的空間直角坐標系；

（2）求出相關點的坐標；

（3）寫出向量的坐標；

（4）結合公式進行論證、計算；

（5）轉化為幾何結論.

設直線l，m的方向向量分別為a，b，平面α，β的法向量分別為u，v.

線線夾角：設直線l，m的夾角為θ0≤θ≤■，則cosθ=■.

線面夾角：設直線l與平面α的夾角為θ0≤θ≤■，則sinθ=■=cos〈a，u〉.

面面夾角：設平面α，β的夾角為θ（0≤θ≤π），則cosθ=■=cos〈u，v〉.

如圖1，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面△ABC是直角三角形，且AC=BC=AA1=2，D為側棱AA1的中點.

（1）求異面直線DC1，B1C所成角的余弦值；

（2）求二面角B1-DC-C1的平面角的余弦值.

思索 本題的兩問都是求空間角的問題，且題設中存在兩兩垂直的“三垂線”，易于建立空間直角坐標系，采用坐標法求解. 第（1）問的線線角直接轉化為兩方向向量的夾角求解，但要注意線線角為銳角；第（2）問求面面角通過兩平面的法向量求解，其中■為平面ACC1A1的一個法向量，另一個法向量可用待定系數法求出，最后代入公式即可.

破解 （1）以C為原點，CA，CB，CC1為x，y，z軸，建立空間直角坐標系C-xyz. 則C（0，0，0），A（2，0，0），B（0，2，0），C1（0，0，2），B1（0，2，2），D（2，0，1）. 所以■=（-2，0，1），■=（0，-2，-2）.？搖所以cos〈■，■〉=■=■=-■.即異面直線DC1與B1C所成角的余弦值為■.

（2）因為■=（0，2，0），■=（2，0， 0），■=（0，0，2），所以■·■=0，■·■=0，所以■為平面ACC1A1的一個法向量. 因為■=（0，-2，-2），■=（2，0，1），設平面B1DC1的一個法向量為n，n=（x，y，z）. 由n·■=0，n·■=0，得-2y-2z=0，2x+z=0，令x=1，則y=2，z=-2，n=（1，2，-2）. 所以可得cos〈n，■〉=■=■=■. 所以二面角B1-DC-C1的余弦值為■.

■ 如圖2，在四棱錐P-ABCD中，側面PDC是邊長為2的正三角形，且與底面垂直，底面ABCD是∠ADC=60°的菱形，M為PB的中點.

（1）求PA與底面ABCD所成角的大小；

（2）求證：PA⊥平面CDM；

（3）求二面角D-MC-B的余弦值.

思索 本題是一道常規的立體幾何考題. 第（1）問較容易，可由面面垂直的基本知識，作出垂直于底面的垂線，從而得出直線PA與底面ABCD所成角；第（2）問要證直線PA與面CDM垂直，只要證線與面上兩條相交直線垂直即可；第（3）問求二面角的平面角需通過三垂線定理尋求，有一定難度，比較好的方法是向量法，但因為二面角的大小有時為銳角、直角，有時也為鈍角，所以在計算之前不妨先依題意判斷一下所求二面角的大小，然后根據計算取“相等角”或“補角”.

破解 （1）取DC的中點O，由△PDC是正三角形，有PO⊥DC. 又平面PDC⊥底面ABCD，所以PO⊥平面ABCD于O. 連結OA，則OA是PA在底面上的射影. 所以∠PAO就是PA與底面所成的角. 因為∠ADC=60°，由已知△PCD和△ACD是全等的正三角形，從而求得OA=OP=■，所以∠PAO=45°. 所以PA與底面ABCD所成角的大小為45°.

（2）由底面ABCD為菱形且∠ADC=60°，DC=2，DO=1，有OA⊥DC. 建立空間直角坐標系如圖3所示，則A（■，0，0），P（0，0，■），D（0，-1，0），B（■，2，0），C（0，1，0）. 由M為PB的中點，所以M■，1，■. 所以■=■，2，■，■=（■，0，-■），■=（0，2，0）. 所以■·■=■×■+2×0+■×（-■）=0，■·■=0×■+2×0+0×（-■）=0. 所以PA⊥DM，PA⊥DC. 所以PA⊥平面DMC.

（3）■=■，0，■，■=（■，1，0）. 令平面BMC的法向量n=（x，y，z），則n·■=0，從而x+z=0 ①；n·■=0，從而■x+y=0②. 由①②，取x=-1，則y=■，z=1. 所以可取n=（-1，■，1）. 由（2）知平面CDM的法向量可取■=（■，0， -■），所以cos〈n，■〉=■=■=■. 所以所求二面角的余弦值為-■.

■ 如圖4，在三棱柱ABC-A1B1C1中，H是正方形AA1B1B的中心，AA1=2■，C1H⊥平面AA1B1B，且C1H=■.

（1）求異面直線AC與A1B1所成角的余弦值；

（2）求二面角A-A1C1-B1的正弦值；

（3）設N為棱B1C1的中點，點M在平面AA1B1B內，且MN⊥平面A1B1C1，求線段BM的長.

思索 棱柱是常考的多面體，高考中常常以側放、倒立、拼接等形式給出，對空間想象能力的要求較高.但一般都存在線面垂直或面面垂直的關系，所以常用向量法求解. 注意到平面AA1B1B為正方形，為了易于相關點坐標的求出，也可建立點B為坐標原點，BA所在直線為x軸，BB1所在直線為y軸的空間直角坐標系.

破解 以B為坐標原點，BA所在直線為x軸，BB1所在直線為y軸建立空間直角坐標系. 由題意，B（0，0， 0），A（2■，0，0），C（■，-■， ■），A1（2■，2■，0），B1（0， 2■，0），C1

■ 如圖5，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=2■，BC=6，P是線段AB上的動點，將此直角三角形沿CP折成直二面角A-CP-B.

（1）若翻折后直線BP⊥平面APC，求AP的長；

（2）若P為AB的中點，求翻折后直線PA與平面ABC所成角的正弦值；

（3）當P在線段AB上運動時，求翻折后AB的最短長度及此時點P的位置.

思索 折疊問題是高考經常考查的內容之一. 解決這類問題要注意對翻折前后線線、線面的位置關系，所成角及距離加以比較. 對某些翻折不易看清的元素，可結合原圖形去分析、計算，即將空間問題轉化為平面問題. 本題設問綜合，需用到函數、三角、平面幾何等知識. 處理時可嘗試多種方法解決.

破解 （1）由題設，平面ACP⊥平面BCP，所以當BP⊥CP時，就有BP⊥平面APC，即點P為斜邊AB高線的垂足，此時AP=■.

（2）當點P為AB中點時，可判定△APC為正三角形，過A作AE⊥CP于E點，則以E點為原點，EC為x軸，EA為z軸建立空間直角坐標系. 所以有E（0，0，0），A（0，0，3），C（■，0，0），P（-■，0，0）；又由相似比可求得B（-2■，3，0），所以■=（-2■，3，-3），■=（■，0，-3）. 設平面ABC的法向量為n=（x，y，z），由n·■=0，n·■=0得-2■x+3y-3z=0，■x-3z=0.令z=1，則可得n=（■，3，1）. 設直線PA與平面ABC所成角為α，則sinα=cos〈■，n〉=■？搖=■.

（3）設∠ACP=θ，則∠BCP=90°-θ，所以AE=2■sinθ，CE2=2■·cosθ. 連結BE，在△BEC中，BE2=CE2+BC2-2CE·BC·cos（90°-θ），則AB2=AE2+EB2=12sin2θ+12cos2θ+36-12■sin2θ=48-12■sin2θ. 當sin2θ=1，即θ=45°時，AB的最小值為■，此時點P為AB與∠C的平分線的交點.

從近幾年各地高考試題來看，立體幾何題型大多為一個解答題，一至兩個填空題或選擇題，一般是中檔題. 解答題多考查空間角，尤其是線面角和二面角，用向量法求解可化繁難為簡易，幾乎年年必考，一定要加強復習.

（1）要注意空間想象能力的培養. 可經常將文字語言、符號語言和圖形語言進行相互轉化，要能明確已知元素之間的位置關系及度量關系；借助圖形來反映并思考未知的空間形狀與位置關系；能從復雜圖形中邏輯地分析出基本圖形和位置關系，并借助直觀感覺展開聯想與猜想，進行推理與計算.

（2）要重視知識與方法的歸納總結. 可依據課本，熟化知識，分門別類，構建空間思維網絡. 復習時要抓主線，攻重點，針對一些重點內容加以訓練，要明確線面垂直仍是空間角求解的核心，要重視線線、線面與面面關系的相互轉化、空間位置關系的判斷及角與距離的求解轉化等，要多采用分析與綜合相結合的方法尋求證題思路.

（3）應該明確高考中立體幾何題是基礎題、常規題，相對比較傳統，難度較低，屬于可做題的范疇，加強解題的嚴謹性訓練很重要，每次做題都要力求書寫規范、完整、流暢.