直線、平面平行的判定與性質

重點：掌握線線、線面平行的判定與性質定理，能用判定定理證明線面、面面平行，會用性質定理解決線面、面面平行的問題.

難點：線面平行與面面平行在判定中的相互轉化使用.

1. 線線平行的三種證明方法

（1）定義：證明線線共面且無公共點.

（2）公理4：證明兩線同時平行于第三條直線.

（3）線面平行的性質定理：如果一條直線和一個平面平行，經過這條直線的平面和這個平面相交，那么這條直線和交線平行. 推理模式：l∥α，l∥β，α∩β=m？圯l∥m.

（4）平行平面的性質定理：如果兩個平行平面同時與第三個平面相交，那么它們的交線平行. 推理模式：α∥β，γ∩α=a，γ∩β=b？圯a∥b.

2. 判斷直線與平面平行的三種方法

（1）定義：證明直線與平面沒有公共點，直接證明比較困難，可用反證法來證明.

（2）直線和平面平行的判定定理：如果不在一個平面內的一條直線和平面內的一條直線平行，那么這條直線和這個平面平行.推理模式：l？埭α，m？奐α，l∥m？圯l∥α.

（3）面面平行的另一性質：如果兩個平面平行，那么其中一個平面內的直線平行于另一個平面. 推理模式：α∥β，a？奐α？圯a∥β.

3. 判斷面面平行的三種方法

（1）定義：證明兩個平面沒有公共點，往往采用反證法.

（2）根據判定定理：如果一個平面內有兩條相交直線分別平行于另一個平面，那么這兩個平面互相平行. 推理模式：a？奐β，b？奐β，a∩b=P，a∥α，b∥α？圯β∥α.

（3）平行平面的判定定理推論：如果一個平面內有兩條相交直線分別平行于另一個平面內的兩條相交直線，那么這兩個平面互相平行.推理模式：a∩b=P，a？奐α，b？奐α，a′∩b′=P′，a′？奐β，b′？奐β，a∥a′，b∥b′？圯α∥β.

1. 線線平行的判定

如圖1，已知四邊形ABCD是空間四邊形，E，F，G，H分別是邊AB，BC，CD，DA的中點. 求證：四邊形EFGH是平行四邊形.

思索 要證明四邊形EFGH是平行四邊形，只需證一組對邊相等且平行或兩組對邊分別平行. 利用平行公理證明兩條直線平行的思路就是要找準一條與這兩條直線都平行的直線來傳遞.

破解 因為EH是△ABD的中位線，所以EH∥BD，EH=■BD. 又FG是△CBD的中位線，所以FG∥BD，FG=■BD. 根據公理4，FG∥EH且FG=EH. 所以四邊形EFGH是平行四邊形.

公理4給我們提供了線線平行的一個證明工具. 很多情況下，立體幾何問題最終要降維，轉化到一個個不同的平面中解決.

2. 線面平行的判定

如圖2，在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，已知DC=DD1=2AD=2AB，AD⊥DC，AB∥DC. 設E是DC上一點，試確定E的位置，使D1E∥平面A1BD，并說明理由.

思索 要確定點E的位置使得線面平行，則要利用線線平行來完成線面平行的過渡. 因此，要確定點E的位置，關鍵在于找到D1E與平面A1BD內的哪條直線平行，通過找到兩個平面的交線，利用和交線平行則可得到線面平行，從而在這個線線平行的條件下從三角形中找到動點E的位置.

破解 連結AD1，連結AE，設AD1∩A1D=M，BD∩AE=N，連結MN. 因為平面AD1E∩平面A1BD=MN，？搖要使D1E∥平面A1BD，須使MN∥D1E. 又M是AD1的中點，所以N是AE的中點. 又易知△ABN≌△EDN，所以AB=DE，即E是DC的中點. 綜上所述，當E是DC的中點時，可使D1E∥平面A1BD.

直線與平面平行的判定定理主要是用來證明線面平行，證明的關鍵是在已知平面內尋找到一條直線，使其與平面外的已知直線平行.

3. 面面平行的判定

如圖3，已知在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=CA=■，AD=CD=1，平面AA1C1C⊥平面ABCD. 若E為線段BC的中點，求證：A1E∥平面DCC1D1.

思索 要證明線面平行通常采用線面平行的判定定理，但是必須在平面DCC1D1內找到一條直線與A1E平行才行. 直接找到這樣的線比較困難，可以換個角度用面面平行來證線面平行，其關鍵是怎樣構造一個經過這條直線的平面.

破解 因為AB=BC=CA=■，DA=DC=1，所以∠BAC=∠BCA=60°，∠DCA=30°. 連結AE. 因為E為BC的中點，所以∠EAC=30°. 所以∠EAC=∠DCA，所以AE∥DC. 因為DC？奐面DCC1D1，AE？埭面DCC1D1，所以AE∥面DCC1D1. 因為棱柱ABCD-A1B1C1D1，所以AA1∥DD1，因為DD1？奐面DCC1D1，AA1？埭面DCC1D1，所以AA1∥面DCC1D1. 又因為AA1？奐面AA1E，AE？奐面AA1E，，AA1∩AE=A，所以面A1AE∥面DCC1D1. 又因為A1E？奐面AA1E，所以A1E∥平面DCC1D1.

4. 線線平行、線面平行、面面平行的轉化

如圖4，已知點S是正三角形ABC所在平面外的一點，且SA=SB=SC，SG為三角形SAB上的高，D，E，F分別是AC，BC，SC的中點，試判斷SG與平面DEF的位置關系，并給予證明.

思索一 可判斷SG∥平面DEF，要證明結論成立，只需證明SG與平面DEF內的一條直線平行，觀察圖形可以看出，轉化成線線平行的證明.

破解一 連結CG交DE于點H，因為DE是△ABC的中位線，所以DE∥AB. 在△ACG中，D是AC的中點，且DH∥AG， 所以H為CG的中點，所以FH是△SCG的中位線，所以FH∥SG. 又SG？埭面DEF，FH？奐面DEF，所以SG∥平面DEF.

思索二 要證明SG∥平面DEF，只需證明平面SAB∥平面DEF，從而得到線面平行.

破解二 因為EF是△SBC的中位線，所以EF∥SB，又EF？埭面SAB，SB？奐面SAB，所以EF∥平面SAB. 同理，DF∥平面SAB.因為EF∩DF=F，所以可得面SAB∥面DEF. 又SG？奐面SAB， 所以SG∥平面DEF.

證法一直接應用線面平行的判定定理來證明；證法二是通過線線平行證面面平行，再由面面平行證線面平行. 在本題的證明過程中實現了線線平行、線面平行、面面平行的轉化.

1. 輔助線、輔助面是解決有關線面問題的關鍵，要充分發揮輔助線、輔助面在化空間問題為平面問題中的轉化作用. 轉化思想在立體幾何中具有舉足輕重的作用，其主要途徑是把立體幾何問題轉化為平面幾何問題來解決.

2. 證明平行問題，一般來說，就是要證線線平行.事實上，線面平行、面面平行都可轉化為證線線平行，要注意掌握它們之間的轉化關系.

3. 線線平行、線面平行與面面平行的判定定理和性質定理構成一套完整的定理體系，在學習中應發現其內在的科學規律：低一級位置關系判定著高一級位置關系；高一級位置關系一定能推導低一級位置關系，下面以三種位置關系為綱應用轉化的思想整理如下：

在完成證明題時，總是由已知想性質，由求證想判定.

4.兩個平面平行問題的判定與證明，是將其轉化為一個平面內的直線與另一個平面平行的問題，即“線面平行，則面面平行”，必須注意這里的“線面”是指一個平面內的兩條相交直線和另一個平面.

線面位置關系在線線、面面位置關系中是“橋梁”，起到“紐帶”的作用. 在高考中以多面體為載體，重點考查空間的直線與直線、直線與平面的位置關系，考查考生的空間想象能力、邏輯推理能力以及分析和解決問題的能力.