2012年高考立體幾何全解讀

1. 考綱解讀：

（1）認識柱、錐、臺、球及簡單組合體的結構特征.

（2）能畫出長方體、球、圓柱、圓錐、棱柱等簡易組合體的三視圖和直觀圖.

（3）了解球、棱柱、棱錐、臺的表面積和體積的計算公式.

2. 考場對接：

通過2012年的考點統計可以看出，在高考題中本節內容多以選擇題、填空題為主要題型，主要考查有關三視圖的逆向問題及幾何體的表面積和體積的計算問題.

3. 經典例題：

（1）（2012陜西）將正方體（如圖1所示）截去兩個三棱錐，得到如圖2所示的幾何體，則該幾何體的左視圖為（ ）

A B C D

（2）（2012北京）某三棱錐的三視圖如圖3所示，則該三棱錐的表面積是（ ）

A. 20+6■B. 30+6■？搖

C. 56+12■D. 60+12■

失分警示 第（1）題是一個有關三視圖的畫法問題，顯得比較容易，多數考生不會有大的問題，若考生對三視圖的基本概念不是很清楚，則也可能選錯答案. 第（2）題是一個有關三視圖的逆向問題，要解決這個問題須通過以下兩個環節，其一是由三視圖畫出原三棱錐的直觀圖，其二是求出所得三棱錐的表面積，在這兩個環節中都易發生錯誤.

方法突破 對于第（1）題，只需掌握畫三視圖的基本法則，即可直接做出正確的選擇. 對于第（2）題，其關鍵是如何作出原三棱錐的直觀圖， 由于本題已經明確原幾何體是一個三棱錐，所以可先由俯視圖確定其底面的形狀（通常情況下與其全等），再由主視圖、側視圖及俯視圖確定其頂點的位置，從而畫出原幾何體的直觀圖.

完美答案 （1）其左視圖即為幾何體在平面BCC1B1上的投影，注意到加工后的幾何體的棱AD1在平面BCC1B1上的投影為BC1且在左視圖中能見到，而棱B1C的投影即為它本身且在左視圖中看不見. 故選B.

（2）設原三棱錐為P-ABC，如圖4，則由俯視圖可知，在棱錐的底面△ABC中，知∠ABC=90°，BC=4，AB=AO+OB=2+3=5.由正視圖與側視圖可知，PO⊥平面ABC于點O，點O在線段AB上，且PO=4，AO=2，OB=3，所以OC=PB=5，故PC=AC=■. 由于PA=2■，所以S△PAC=6■，S△PAB=■AB·PO=10，S△ABC=■AB·BC=10，S△PBC=■PB·BC=10，所以其全面積為30+6■，故選B.

■ （1）（2012重慶）設四面體的六條棱的長分別為1，1，1，1，■和a，且長為a的棱與長為■的棱異面，則a的取值范圍為（ ）

（2）（2012遼寧）已知正三棱錐P-ABC，點P，A，B，C都在半徑為■的球面上，若PA，PB，PC兩兩垂直，則球心O到截面ABC的距離為_______.

失分警示 對于有關立體幾何的選擇題和填空題，其失分情況可以分為以下兩種類型：其一是由于審題不仔細、概念不清楚、運算不準確等原因沒有得到正確答案，我們不妨稱為“顯性失分”；其二是雖然最后也得到了正確結論，但是費了“九牛二虎之力”，花了過多的寶貴時間，我們不妨稱為“隱性失分”.

方法突破 對于立體幾何的客觀題解法，不但要注意立體幾何中的一些常用的基礎知識、基本方法、基本技能的應用，還需要注意利用客觀題的試題特點來解決問題.

完美答案 （1）本題可以看成一個平面圖形的折疊問題：“把邊長為1的正方形ABCD沿對角線BD折成一個二面角A-BD-C（其中A，B，C，D不共面），求折成二面角后，AC長的取值范圍.”如圖5，由此不難發現其取值范圍為a∈（0，■）.

圖5

（2）球O為四面體P-ABC的外接球，也是以PA，PB，PC為其中三條相交于一點的棱的正方體AB1QC1-PBQ1C（如圖6）的外接球，所以可得球心O到截面ABC的距離即為正方體的中心O到平面ABC的距離h，易見h=■PQ=■.

1. 考綱解讀：

（1）了解空間向量的概念，掌握空間向量的基本運算及坐標表示.

（2）理解直線的方向向量與平面的法向量，能用向量語言表述直線與直線、直線與平面、平面與平面的垂直、平行關系.

（3）能用向量方法證明有關直線和平面位置關系的一些定理（包括三垂線定理）.

（4）能用向量方法解決直線與直線、直線與平面、平面與平面的夾角的計算問題.

2. 考場對接：

縱觀近幾年，特別是2012年各地的高考數學試題，直接考查空間向量的試題很難見到，但每份試卷中必有一個立體幾何大題，在解答立體幾何大題時有兩種方法（空間向量方法、立體幾何傳統方法）可供選擇，其中有許多試題選擇使用空間向量的方法比較恰當.

3. 經典例題：

■ （2012福建）如圖7，在長方體ABCD-A1B1C1D1中，AA1=AD=1，E為CD的中點，

（1）求證：B1E⊥AD1.

（2）在棱AA1上是否存在一點P，使DP∥平面B1AE？若存在，求AP的長；若不存在，說明理由.

（3）若二面角A-B1E-A1的大小為30°，求AB的長.

失分警示 由于本題給出的幾何體是長方體，又涉及立體圖形中參數值的確定，顯然用空間向量的方法比較合理，但有部分考生對傳統方法情有獨鐘，卻又不得要領，導致解題失敗. 若用空間向量的方法解決，在涉及與平面相關的問題時，也涉及平面的法向量，有部分考生由于對求平面的法向量的運算過程不是很熟練，導致運算錯誤.

方法突破 不難發現，本題用空間向量的方法解決比較合理，用空間向量法的最大優點是解決問題的思想方法比較簡單，解題的過程可以程序化，掌握其解題程序后只需按解題程序操作即可.

完美答案 由于AB，AD，AA1兩兩垂直，所以可以分別以直線AB，AD，AA1為x軸，y軸，z軸（A為坐標原點）建立空間直角坐標系. 設AB的長為2a，則A（0，0，0），E（a，1，0），D1（0， 1，1），B1（2a，0，1），A1（0，0，1）.

（1）■=（0，1，1），■=（a，-1， 1），因為■·■=0×a+1×（-1）+1×1=0，所以B1E⊥AD1.

（2）設在棱AA1上存在一點P（0， 0，t），使DP∥平面B1AE，由于D（0，1， 0），所以■=（0，-1，t）. 設n=（x，y，1）是平面B1AE的一個法向量，由■=（2a，0，1），■=（a，1，0），故可得n·■=2ax+1=0，n·■=ax+y=0，得x=-■，y=■，所以n=-■，■，1. 由DP∥平面B1AE可知n·■=-■+t=0，即t=■，所以AP=■時，結論成立.

（3）m=（0，1，1）是平面B1EA1的一個法向量，n=-■，■，1是平面B1AE的一個法向量. 又由于二面角A-B1E-A1的大小為30°，所以可得cos=■=cos30°=■. 即■=■■（a>0），解得a=1，即AB的長為2a=2.

1. 考綱解讀：

（1）理解立體幾何的4條公理和等角定理.

（2）理解空間直線、平面位置關系的定義，理解線面平行、面面平行、線面垂直、面面垂直的判定定理.

（3）理解并能證明線面平行、面面平行、線面垂直、面面垂直的性質定理.

（4）能運用相關公理、定理和已獲得的結論證明一些空間圖形的位置關系的簡單命題.

2. 考場對接：

線面關系的論證問題、角和距離的計算問題一直是立體幾何的傳統問題，也是近幾年高考的熱點問題之一. 通過對2012年全國各地的高考數學試卷（理科，共18份）分析發現，其中的立體幾何大題一般分兩個小題或三個小題，其中第一小題往往是線面關系的論證問題（如證明線線、線面、面面平行、垂直），第二小題及第三小題往往是角和距離計算問題或幾何體的體積、面積計算問題. 但問題的情景豐富多彩，有平面圖形的折疊問題、立體幾何中的存在性問題、立體幾何中的最值問題、角和距離計算中的逆向問題等.

3. 經典例題：

（2012浙江）如圖8，在四棱錐P-ABCD中，底面是邊長為2■的菱形，∠BAD=120°，且PA⊥平面ABCD，PA=2■，M，N分別為PB，PD的中點.

（1）證明：MN∥平面ABCD.

（2）過點A作AQ⊥PC于Q，垂足為Q，求二面角Q-MN-A的平面角的余弦值.

失分警示 用傳統方法解決立體幾何問題的關鍵是自然地畫出輔助線，對于本題須作出二面角Q-MN-A的平面角. 許多考生由于對于如何作二面角的平面角的“基本套路”不是很熟悉，所以覺得無從入手；有的考生雖然能比較順利地作出二面角的平面角，但在計算平面角的大小時沒有把立體幾何問題化歸為平面幾何問題的意識，或解三角形的功底不是很好，最后結果還是“千呼萬喚不出來”. 有許多考生選擇用空間向量的方法解決，由于沒有注意到圖形的對稱性，建立的空間直角坐標系不是很合理（如以AD，AP所在的直線為其中的兩條坐標軸），最后陷入繁雜的運算而不能自拔.

方法突破 對于第（1）題，不難想到只需證明直線MN與BD平行. 對于第（2）題，若用傳統方法解決，其關鍵有以下兩步，首先要作出二面角Q-MN-A的平面角，其次是如何求解這個平面角的大小. 注意到MN與平面PAQ垂直，所以二面角的平面角可“生長在”這個幾何體的截面PAC之中，我們不妨把它稱為“目標平面”，其平面角的計算也可在這個“目標平面”中進行. 在具體操作過程中，可把這個“目標平面” 從原立體圖中抽出來，用“特寫鏡頭”的形式真實地呈現在我們面前，從而把立體幾何的問題化歸為平面幾何的問題. 若運用空間向量的方法解決，其關鍵是如何建立合理的空間坐標系，從而使運算過程更加合理、簡捷，注意到這個四棱錐關于平面PAC對稱，因此要盡可能多地把坐標軸放在這個平面上，又注意到ABCD是菱形，所以以菱形的對角線的交點為坐標原點建立坐標系比較合理.

完美答案 （1）連結BD，AC相交于點O，由于M，N分別為PB，PD的中點，所以MN∥BD，而BD？哿平面ABCD，MN？埭平面ABCD，所以MN∥平面ABCD.

（2）法1（傳統方法）：因為ABCD是邊長為2■的菱形，且∠BAD=120°，所以△ABC為正三角形，且BD⊥AC. 由PA⊥平面ABCD可得BD⊥PA，所以BD⊥平面PAC，又因為MN∥BD，所以MN⊥平面PAC. 連結PO，MN相交于點K，連結KA，KQ，則KQ⊥MN，KA⊥MN，所以∠AKQ為二面角Q-MN-A的平面角. 在Rt△APC中，PA=2■，AC=2■，O為AC之中點， K為PO之中點，AQ⊥PC于Q，AQ=2■，AK=■·OP=■，tan∠KAQ=tan（∠KAC-∠QAC）=tan（∠POA-∠QAC）=■. 所以cos∠KAQ=■，由余弦定理可得KQ=■，再次由余弦定理可得cos∠AKQ=■，即二面角Q-MN-A的平面角的余弦值為■.

法2（向量方法）：連結AC，BD相交于點O，以O為原點，OC，OD所在的直線為x，y軸建立空間直角坐標系O-xyz（如圖9）、在邊長為2■的菱形ABCD中，∠BAD=120°可得OA=OC=■，OB=OD=3. 在Rt△PAC中，AC=2■，PA=2■，AQ⊥PC，可得PQ=2QC=4. 由此易得相關點的坐標及平面AMN的一個法向量m=（2■，0，-1），同理可得平面QMN的一個法向量n=（2■，0，5）. 于是cos=■=■，即二面角Q-MN-A的平面角的余弦值為■.

命題趨勢：

縱觀近幾年的各地高考數學試卷，其中的立體幾何試題的形式相對比較穩定，相信明年還會延續這種穩定的狀況，即還會是“一大一小”或“一大兩小”的形式.

線面關系的論證問題，角和距離的計算問題仍然是不變的熱點問題，其中線面垂直的性質和證明，二面角的大小問題是熱點中的熱點.

注意立體幾何與其他知識點的交匯處命題是近幾年的命題趨勢. 如在三視圖為載體的試題中融入簡單幾何體的表面積與體積等內容，在幾何體的表面積與體積為載體的試題中滲透函數與方程的思想，在線面關系的論證問題為載體的試題中植入參數的取值范圍問題等.

立體幾何的試題一般是中等難度，成為難題的概率很小，所以是多數考生志在必得的試題，但考試結果往往事與愿違，有時得分率也不是很高. 其主要原因是方法選擇不合理、方法選定后的具體操作不熟練.在今后的復習中，建議特別重視以下幾個方面.

1. 積累解題經驗，合理選擇解題方法

立體幾何中的向量方法與傳統方法好比武術中的少林拳和武當劍，它們各有千秋，只有把兩者融為一體，才能無敵于天下.造成立體幾何考試失敗的一個重要原因是選擇的解法與試題的實際情況不是很“匹配”，把簡單問題復雜化，自我地增大解題難度.因此，在熟練掌握空間向量方法與傳統方法的基礎上，如何根據立體幾何問題的實際情況選擇合理的方法，做到問題與方法的匹配便顯得十分重要. 平時要注意通過典型問題的剖析，體驗兩大方法各自的特點，提高對立體幾何問題的直覺，從而應試時能從容、淡定、合理地選擇解題對策.

2. 設計解題程序，正確使用向量方法

用向量方法解決立體幾何問題的最大優勢是一般不用作輔助線，把立體幾何的證明問題、計算問題統一化歸為空間向量的計算問題.其解題過程有一定的規律性，所以空間向量的正確、合理的使用顯得非常重要，這個“規定動作”不但要做準確，而且要做熟練.

3. 遵循五項原則？搖自然運用傳統方法

眾所周知，在用傳統方法解答立體幾何問題時，如何根據題目要求合理地添設輔助線是解決問題的關鍵所在，許多學生對此問題感到很“糾結”，覺得沒有一般規律可循，通過大量的練習以求提高解題能力，從而陷入題海而不能自拔.事實上，若平時練習中能注意總結與反思，則還是有一般規律可循的.通過研究發現，在添設立體幾何輔助線時，若能遵循以下五項基本原則，再根據具體情況作具體分析，則能較自然地添設好解決問題所需要的輔助圖形，從而使問題得到解決.

原則之一：繼承平面幾何作圖方法的原則. 由于平面幾何是立體幾何的基礎，立體幾何是平面幾何的推廣，有許多立體幾何問題可以轉化為平面幾何問題，平面幾何中構作輔助線的常用方法在立體幾何圖形中的任一平面內仍然適用. 因此，平面幾何中的構作輔助線的基本原則和方法應得到繼承和發揚.

原則之二：努力顯化題目條件的原則. 在解題中若能把所有的已知條件的作用發揮到極致，則問題必然能得到圓滿的解決，所以對于立體幾何問題，在已知條件中提及的各個幾何量（角、距離等）在圖形中最好能表示出來. 例如，已知某二面角的大小，則最好能作出這個二面角的平面角；已知某兩異面直線所成角的大小，則最好能通過平移其中一條（或兩條）直線作出兩直線所成的角，等等.

原則之三：努力顯化題目結論的原則. 對于一些立體幾何中的角和距離的計算問題，其常規方法是作出結論要求的角和距離. 例如，若要求某一個二面角的大小，則如何畫出這個二面角的平面角是首先要解決的問題.

原則之四：中點再中點，利用中位線的原則. 若在圖形中已涉及到線段的中點，則通常在以這條線段為其中一邊的三角形中，取另兩邊的中點，然后利用三角形的中位線定理解決問題.

原則之五：面面垂直時，作交線的垂線的原則. 當圖形中存在直二面角時（即有兩個互相垂直的平面時），則可在過其中一個平面內的某一點（與條件或結論聯系密切的“明星點”）在這個平面內作兩垂直平面交線的垂線，利用平面和平面垂直的性質定理.