分析題目結構特征,選擇高效證明方法

數學是一門思維的科學，而證明則是數學的標志性思維方式，體現了思維的特征．通過證明方法的學習，養成言之有理、論證有據的習慣，從而有助于發展數學思維能力，形成理性思維和科學精神．數學證明的基本方法包括直接證明方法（如分析法、綜合法、數學歸納法）和間接證明方法（反證法）．

直接證明是從命題的條件出發，根據已知的定義、定理、公理，直接推證結論的真實程度．間接證明不是直接證明結論，而是先提出一個與命題的結論相反的假設，然后從這個假設出發，經過正確的推理，導出矛盾，從而否定相反的假設，達到肯定原命題正確的一種方法．在近幾年的高考題中，用分析法分析問題、綜合法證明問題的類型較多，數學歸納法也是數學證明的重要方法．

當證明的命題條件和結論之間關系看起來比較容易溝通，證明思路比較清晰時，可以采用綜合法來證明，立體幾何證明問題，三角、代數問題一般考慮用綜合法來處理．

從已知條件出發，以已知的定義、公理、定理為依據，逐步下推，直到推出要證明的結論為止，這種證明方法通常稱為綜合法．綜合法證明的一般步驟是：P0（已知）?圯P1?圯P2?圯…?圯Q（結論）．在應用綜合法時，應從命題的前提出發，在選定了真實性是無可爭辯的出發點以后（它基于題設或已知的真命題），再依次由它得出一系列的命題（或判斷），其中每一個都是真實的（但它們個并不一定都是所需求的），且最后一個必須包含我們要證明的命題的結論時，命題得證．在證明時，并非一開始就能找到通達命題結論的思路，只是在證明的過程中對每步結論進行分析、推敲、比較、選擇后才能得到．當然，在較多地積累了一些解題經驗，掌握了一些證法之后，則可較為順利地得到證明的思路．

設≤x≤2，

求證：2++<8．

證明由于a，b∈R+時，≤，得a+b≤，那么，+≤=，2+≤=2≤2=8．

上述第一個不等式中等號成立的條件為：2x－3=15－3x?圯x=?埸，2，故原不等式成立．

反思欲從左邊證到右邊，必須消去x；如何消？只有經過平方，才能將x從根號中“解救”出來，“解救”出來后才有消去的可能；于是在基本不等式中開始“搜索”與平方有關的不等式，慢慢地≤就“浮出水面”，綜合法自然也就誕生了．

在運用綜合法證明時，要注意以下幾點：首先要明確方向，選擇最佳途徑是綜合法的難點；其次在推理中，聯系最終結果進行猜想，防止迷路和刪除無用的中間結果；最后由條件得出的每一個命題，必須都是真命題，否則，結論得不到證明．

當證明命題不知從何入手，或者所給條件形式簡單而結論復雜的題目，往往采用分析法來解．對于證明不等式問題，也可以運用分析法來證明．

分析法就是從證明的結論出發，逐步尋找使它成立的充分條件，直至最后，把要證明的結論歸結為判定一個明顯成立的條件（已知條件、定理、定義、公理等）為止．這種證明方法的邏輯依據是三段論推理，證明的步驟是：Q（結論）?坩Q1?坩Q2?坩Q3?坩#8226;#8226;#8226;?坩P0（條件或事實）．

應用分析法時，并非一開始就確信由結論出發所產生的那些推斷（或命題）都正確，各個推理步驟及依次考慮的概念、定理、法則等都適合．這種推理方法僅僅是建立與需要證明的命題的等效關系，因而需要從這些關系中逐個考查，逐個思考，逐個分析，逐個判斷，在得到了所需的確定結論時（它們是已證的命題或已知的條件），才知道前面各步推理的適當與否，從而找出證明的路子．

設a，b，c為任意三角形的三邊長，I=a+b+c，S=ab+bc+ca，試證：3S≤I2<4S．

證明由I2=（a+b+c）2=a2+b2+c2+2（ab+bc+ca）=a2+b2+c2+2S，故要證3S≤I2<4S，只需證3S≤a2+b2+c2+2S<4S，即S≤a2+b2+c2<2S（※）（這對于保證結論成立是充分必要的）．

欲證（※）式左部分，只需證a2+b2+c2－ab－bc－ca≥0，即只需要證（a2+b2－2ab）+（b2+c2－2bc）+（c2+a2－2ca）≥0（這對于保證前一式結論成立也是充要的）．

要證上式成立，可證三括號中式子都不為負（這一條件對保證上結論成立是充分不必要的），因為有a2+b2－2ab=（a－b）2≥0，b2+c2－2bc=（b－c）2≥0，c2+a2－2ca=（c－a）2≥0，故結論為真．

欲證（※）式右部分，只需證a2+b2+c2－2ab－2bc－2ca<0，即要證（a2－ab－ac）+（b2－bc－ba）+（c2－ca－cb）<0，欲證上式，則至少要證以上三個括號中的式子之一小于零（這一條件對保證上式結論成立只是必要的，并不充分），即要證a2

反思本題綜合性較強，在證明的過程中，既有按結論成立的充分條件而推演的步驟，也有按結論成立的必要條件而推演的步驟，同時也有按結論成立的充要條件而推演的步驟．沒有分析就沒有綜合，在數學證明中不能把分析法和綜合法絕對分開．

數學歸納法是一種以數學歸納法原理（即自然數歸納原理）為根據的演繹推理，它將一個無窮歸納過程轉化為一個有限步驟的演繹過程，所以它是證明有關自然數問題的有力工具．確用數學歸納法可以證明等式問題、不等式問題、整除問題、幾何問題等．

一種計算裝置，有一數據入口A和一個運算出口B，按照某種運算程序：①當從A口輸入自然數1時，從B口得到，記為f（1）=；②當從A口輸入自然數n（n≥2）時，在B口得到的結果f（n）是前一個結果f（n－1）的倍．

（1）當從A口分別輸入自然數2，3，4時，從B口分別得到什么數？試猜想f（n）的關系式，并證明你的結論．

（2）記Sn為數列｛f（n）｝的前n項的和，當從B口得到16112195的倒數時，求此時對應的Sn的值．

解析（1）由已知得f（n）=#8226;f（n-1）（n≥2，n∈N?鄢），當n=2時，f（2）=×f（1）=×=，同理可得f（3）=，f（4）=，猜想f（n）=．（※）

下面用數學歸納法證明（※）成立.①當n=1，2，3，4時，由上面的計算結果知（※）成立.②假設n=k（k≥4，k∈N?鄢）時，（※）成立，即f（k）=，那么當n=k+1時，f（k+1）=f（k）=#8226;，即f（k+1）=，所以當n=k+1時，（※）也成立．

綜合①②所述，對?坌n∈N?鄢，f（n）=成立．

（2）由（1）可得==，所以n=2007．因為f（n）=－，所以S2007=1－+－+－+…+－=1－=．

反思用數學歸納法證明有關問題命題的關鍵在第二步，即n=k+1時為什么成立？n=k+1時成立是利用假設n=k時成立，根據有關的定理、定義、公式、性質等數學結論推證出其成立，而不是直接代入，否則n=k+1時成立也成假設了，命題并沒有得到證明．

在平時的學習中，我們要深刻理解各種證明方法的特點，掌握不同方法的應用類型，多去分析命題中條件與結論的特點，才能準確快速地找到突破口，使所求問題得證．