解幾、立幾、概率與統(tǒng)計(jì)

縱觀全國各地的高考試題，我們不難發(fā)現(xiàn)創(chuàng)新型試題層出不窮：它們不僅立意新穎、內(nèi)涵深刻，而且在求解思路上也與眾不同，也是高考試題中一道亮麗的風(fēng)景線．在本期里，《數(shù)學(xué)金刊》試題研究組為大家?guī)斫馕鰩缀巍⒘Ⅲw幾何及概率統(tǒng)計(jì)這三方面的創(chuàng)新試題．

1．如圖1，圓周上按順時針方向標(biāo)有1，2，3，4，5五個點(diǎn)．一只青蛙按順時針方向繞圓從一個點(diǎn)跳到另一點(diǎn)．若它停在奇數(shù)點(diǎn)上，則下一次只能跳一個點(diǎn)；若停在偶數(shù)點(diǎn)上，則跳兩個點(diǎn)．該青蛙從5這點(diǎn)跳起，經(jīng)2011次跳后它將停在的點(diǎn)是（）

A．1B．2C．3D．4

2．A=｛1，2，3｝，B=｛x∈Rx2－ax+b=0，a∈A，b∈A｝，則A∩B=B的概率是（）

A．B．C．D．1

3．已知二面角α－l－β的平面角為θ，點(diǎn)P在二面角內(nèi)，PA⊥α，PB⊥β，A，B為垂足，且PA=4，PB=5，設(shè)A，B到棱l的距離分別為x，y，當(dāng)θ變化時，點(diǎn)（x，y）的軌跡方程是（）

A．x2－y2=9（x≥0）

B．x2－y2=9（x≥0，y≥0）

C．y2－x2=9（y≥0）

D．y2－x2=9（x≥0，y≥0）

4．某校高三（1）班的一次數(shù)學(xué)測試成績的莖葉圖（圖2）和頻率分布直方圖（圖3）都受到不同程度的破壞，但可見部分如下，據(jù)此解答如下問題：

圖2圖3

（1）求全班人數(shù)及分?jǐn)?shù)在［80，90）之間的頻數(shù)；

（2）估計(jì)該班的平均分?jǐn)?shù)，并計(jì)算頻率分布直方圖中［80，90）間的矩形的高；

（3）若要從分?jǐn)?shù)在［80，100］之間的試卷中任取兩份分析學(xué)生失分情況，在抽取的試卷中，求至少有一份分?jǐn)?shù)在［90，100］之間的概率．

5．在正三角形ABC中，E，F(xiàn)，P分別是AB，AC，BC邊上的點(diǎn)，滿足===（如圖4），將△AEF沿EF折起到△A1EF的位置，使二面角A1－EF－B成直二面角，連結(jié)A1B，A1P（如圖5）．

（1）求證：A1E⊥平面BEP；

（2）求直線A1E與平面A1BP所成角的大小．

6．給定橢圓C：+=1（a>b>0），稱圓心在原點(diǎn)O、半徑為的圓是橢圓C的“伴橢圓”，若橢圓C的一個焦點(diǎn)為F2（，0），其短軸上的一個端點(diǎn)到F2距離為；

（1）求橢圓C的方程及其“伴橢圓”的方程；

（2）若傾斜角為45°的直線與橢圓C只有一個公共點(diǎn)，且與橢圓C的“伴橢圓”相交于M，N兩點(diǎn)，求弦MN的長；

（3）若點(diǎn)P是橢圓C“伴橢圓”上一動點(diǎn)，過點(diǎn)P作直線l1，l2，使得l1，l2與橢圓C都只有一個公共點(diǎn)，求證：l1⊥l2．

1．由題意有5→1→2→4→1→2→4→1，從1開始，每跳3次為一個循環(huán)，又（2011－1）÷3=670，所以選A

2．有序?qū)崝?shù)對（a，b）的取值情形共有9種，滿足A∩B=B（即B?哿A）的情形有：

（1）（1，1），（1，2），（1，3），（2，2），（2，3），（3，3），此時B=；

（2）（2，1），此時B=｛1｝；

（3）（3，2），此時B=｛1，2｝．所以A∩B=B的概率為P=，選C．

3．B

4．（1）由莖葉圖知，分?jǐn)?shù)在［50，60）之間的頻數(shù)為2，頻率為0．008×10=0．08，全班人數(shù)為=25，所以分?jǐn)?shù)在［80，90）之間的頻數(shù)為25－2－7－10－2=4．

（2）法1：分?jǐn)?shù)在［50，60）之間的總分為56+58=114，分?jǐn)?shù)在［60，70）之間的總分為60×7+2+3+3+5+6+8+9=456，分?jǐn)?shù)在［70，80）之間的總分為70×10+1+2+2+3+4+5+6+7+8+9=747，分?jǐn)?shù)在［80，90）之間的總分約為85×4=340，分?jǐn)?shù)在［90，100］之間的總分?jǐn)?shù)為95+98=193，所以，該班的平均分?jǐn)?shù)為=74；

法2：分?jǐn)?shù)在［50，60）之間的頻率為=0．08，分?jǐn)?shù)在［60，70）之間的頻率為=0．28，分?jǐn)?shù)在［70，80）之間的頻率為=0．40，分?jǐn)?shù)在［80，90）之間的頻率為=0．16，分?jǐn)?shù)在［90，100］之間的頻率為=0．08，所以，該班的平均分約為55×0．08+65×0．28+75×0．40+85×0．16+95×0．08=73．8．

頻率分布直方圖中［80，90）間的矩形的高為÷10=0．016．

（3）將［80，90）之間的4個分?jǐn)?shù)編號為1，2，3，4，［90，100］之間的2個分?jǐn)?shù)編號為5，6，在［80，100］之間的試卷中任取兩份的基本事件為：（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），（2，3），（2，4），（2，5），（2，6），（3，4），（3，5），（3，6），（4，5），（4，6），（5，6），共15個，其中，至少有一個在［90，100］之間的基本事件有9個，故至少有一個分?jǐn)?shù)在［90，100］之間的頻率是=．

5．不妨設(shè)正三角形ABC的邊長為3，則

（1）在圖4中，取BE中點(diǎn)D，連結(jié)DF，則===，所以AF=AD=2，而∠A=60°，即△ADF是正三角形．又AE=ED=1，所以EF⊥AD，所以在圖5中有A1E⊥EF，BE⊥EF，所以∠A1EB為二面角A1－EF－B的平面角．因?yàn)槎娼茿1－EF－B為直二面角，所以A1E⊥BE．又BE∩EF=E，所以A1E⊥平面BEF，即A1E⊥平面BEP．

圖6

（2）由（1）可知A1E⊥平面BEP，BE⊥EF，建立如圖6的坐標(biāo)系，則E（0，0，0），A1（0，0，1），B（2，0，0），F(xiàn)（0，，0）.在圖4中，不難得到EF∥DP，且EF=DP；DE∥FP，DE=FP，故點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，，0），所以=（2，0，－1），=（－1，，0），=（0，0，1）.不妨設(shè)平面A1BP的法向量n1=（x，y，z），則#8226;n1=2x－z=0，#8226;n1=－x+y=0.令y=得n1=（3，，6），所以cos〈n1，〉===，故直線A1E與平面A1BP所成角的大小為．

6．（1）因?yàn)閏=，a=，所以b=1，所以橢圓的方程為+y2=1，伴隨圓的方程為x2+y2=4．

（2）設(shè)直線l的方程y=x+b，由y=x+b，+y2=1得4x2+6bx+3b2－3=0．由Δ=（6b）2－16（3b2－3）=0得b2=4，圓心到直線l的距離為d==，所以MN=2=2．

（3）①當(dāng)l1，l2中有一條無斜率時，不妨設(shè)l1無斜率．因?yàn)閘1與橢圓只有一個公共點(diǎn)，則其方程為x=或x=－．當(dāng)l1方程為x=時，此時l1與伴隨圓交于點(diǎn)（，1），（，－1），此時經(jīng)過點(diǎn)（，1）或（，－1）且與橢圓只有一個公共點(diǎn)的直線是y=1（或y=－1），即l2為y=1（或y=－1），顯然直線l1，l2垂直；同理可證l1方程為x=－時，直線l1，l2垂直．②當(dāng)l1，l2都有斜率時，設(shè)點(diǎn)P（x0，y0），其中x+y=4．設(shè)經(jīng)過點(diǎn)P（x0，y0），與橢圓只有一個公共點(diǎn)的直線為y=k（x－x0）+y0，由y=kx+（y0－kx0），+y2=1消去y得x2+3［kx+（y0－kx0）］2－3=0，即（1+3k2）x2+6k（y0－kx0）x+3（y0－kx0）2－3=0，Δ=［6k（y0－kx0）］2－4#8226;（1+3k2）［3（y0－kx0）2－3］=0，經(jīng)過化簡得：（3－x）k2+2x0y0k+1－y=0．因?yàn)閤+y=4，所以有（3－x）k2+2x0y0k+（x－3）=0．設(shè)l1，l2的斜率分別為k1，k2，因?yàn)閘1，l2與橢圓都只有一個公共點(diǎn)，所以k1，k2滿足方程（3－x）k2+2x0y0k+（x－3）=0，因而k1#8226;k2=－1，即l1，l2垂直．