二輪復習之概率與統計突破

概率與統計是高等數學的重要組成部分，是考查應用意識的主要載體，已成為每年高考命題的重點、熱點．概率與統計試題具有一定的靈活性和綜合性，與現實生活密切相關，往往以實際問題為情境，與其他知識融合滲透，考查我們對知識的運用能力和創新意識．備戰2012年高考，概率統計復習要關注三個方面：①重視基本概念和基本公式；②重視離散型隨機變量的分布列及其數學期望、方差的求法；③以應用題為背景，考查概率統計知識，強化運用所學知識與方法解決問題的能力．

1．串聯情況：排列、組合是概率統計的基礎，兩者既有聯系又有區別．排列與組合的共同點是“從n個不同元素中，任取m個不同元素”；而不同點是排列要“按照一定的順序排成一列”，而組合是“并成一組（與順序無關）”．因此，“有序”與“無序”是排列與組合的重要特征．

2．考情分析：在每年的高考中都有考查，通常以客觀題出現，常與兩個計數原理、概率統計交匯命題，是各地區高考命題的熱點．

3．破解技巧：解決排列組合問題時，常用的技巧：

（1）特殊元素（位置）優先安排；

（2）合理分類與準確分步．

4．經典例題：?搖

有4位同學在同一天的上、下午參加“身高與體重”、“立定跳遠”、“肺活量”、“握力”、“臺階”五個項目的測試，每位同學上、下午各測試一個項目，且不重復．若上午不測“握力”項目，下午不測“臺階”項目，其余項目上、下午都各測試一人，則不同的安排方式共有_______種（用數字作答）．

破解思路本題可以先考慮安排上午的測試項目，再安排下午的測試項目，運用列舉法解決．

經典答案記4位同學分別為A、B、C、D，則上午共有A=24種安排方式．不妨先假設上午如表1所示安排方式，

表1

則下午可如下安排：BADC、BCAD、BCDA、BDAC，CABD、CADB、CDAB、CDBA，DABC、DCAB、DCBA，共11種安排方式．因此，全天共有24×11=264種安排方式．

圖1中有一個信號源和五個接收器．接收器與信號源在同一個串聯線路中時，就能接收到信號，否則就不能接收到信號．若將圖中左端的六個接線點隨機地平均分成三組，將右端的六個接線點也隨機地平均分成三組，再把所有六組中每組的兩個接線點用導線連接，則這五個接收器能同時接收到信號的概率是（）

圖1

A．B．C．D．

破解思路本題主要考查組合、概率知識，破解的關鍵是審清題意——“五個接收器能同時接收到信號”，即需五個接收器與信號源串聯在同一個線路中，解題中要用到平均分組的計數求法．

經典答案由題意，左端的六個接線點隨機地平均分成三組有=15種分法，同理右端的六個接線點也隨機地平均分成三組有=15種分法；要五個接收器能同時接收到信號，則需五個接收器與信號源串聯在同一個線路中，即五個接收器的一個全排列，再將排列后的第一個元素與信號源左端連接，最后一個元素與信號源右端連接，所以符合條件的連接方式共有A=120種，所求的概率是P==，故選D．

1．串聯情況：事件的“互斥”和“相互獨立”是兩個不同的概念，雖然它們都是針對兩個事件而言的，但互斥事件是說兩個事件不能同時發生，而相互獨立事件可以同時發生，并且一個事件發生與否對另一事件的發生沒有影響．互斥事件運用概率的加法公式，而相互獨立事件運用概率乘法公式．

2．考情分析：高考試題題中，常常是將互斥事件、相互獨立事件等交匯在一起進行考查，主要考查我們的理解辨別能力．

3．破解技巧：解題時，在透徹理解各類事件的基礎上，準確把題中所涉及的事件進行分解，明確所求問題所包含的事件類型．

4．經典例題：

甲罐中有5個紅球、2個白球和3個黑球，乙罐中有4個紅球、3個白球和3個黑球．先從甲罐中隨機取出一球放入乙罐，分別以A1，A2和A3表示由甲罐取出的球是紅球、白球和黑球的事件；再從乙罐中隨機取出一球，以B表示由乙罐取出的球是紅球的事件，則下列結論中正確的是_________（寫出所有正確結論的編號）．

①P（B）=；②P（BA1）=；③事件B與事件A1相互獨立；④A1，A2，A3是兩兩互斥的事件；⑤P（B）的值不能確定，因為它與A1，A2，A3中哪一個發生有關．

破解思路本題從概率模型入手考查互斥事件、相互獨立事件及條件概率．解題的關鍵是正確理解題意，明確基本概念的內蘊，把事件B的概率進行轉化P（B）=P（BA1）+P（BA2）+P（BA3），可知事件B的概率是確定的．

經典答案易見是兩兩互斥的事件，而P（B）=P（BA1）+P（BA2）+P（BA3）=×+×+×=．故選②④．

在某次普通話測試中，為測試漢字發音水平，設置了10張卡片，每張卡片印有一個漢字的拼音，其中恰有3張卡片上的拼音帶有后鼻音“g”．

（1）現對三位被測試者先后進行測試，第一位被測試者從這10張卡片中隨機抽取1張，測試后放回，余下2位的測試也按同樣的方法進行．求這三位被測試者抽取的卡片上，拼音都帶有后鼻音“g”的概率；

（2）若某位被測試者從10張卡片中一次隨機抽取3張，求這三張卡片上，拼音帶有后鼻音“g”的卡片不少于2張的概率．

破解思路第1問首先確定每位測試者抽到一張帶“g”卡片的概率，再利用相互獨立事件的概率公式計算；第2問利用互斥事件的概率公式計算．

經典答案（1）每次測試中，被測試者從10張卡片中隨機抽取1張卡片上，拼音帶有后鼻音“g”的概率為，因為三位被測試者分別隨機抽取一張卡片的事件是相互獨立的，所以概率為××＝．

（2）設Ai（i＝1，2，3）表示所抽取的三張卡片中，恰有i張卡片帶有后鼻音“g”的事件，且其相應的概率為P（Ai），則P（A2）＝＝，P（A3）＝＝，因而所求概率為P（A2＋A3）＝P（A2）＋P（A3）＝＋＝．

1．串聯情況：兩種概型中每個基本事件出現的可能性都是相等的，但古典概型問題中所有可能出現的基本事件只有有限個，而幾何概型問題中所有可能出現的基本事件有無限個．

2．考情分析：古典概型是高考重點考查的概率模型，常與計數原理、排列組合結合起來考查；幾何概型易與線性規劃、定積分等幾何知識交匯命題，多以選擇題、填空題的形式出現．

3．破解技巧：古典模型的概率問題，關鍵是正確求出基本事件總數和所求事件包含的基本事件數，要準確理解基本事件的構成；利用幾何概型求概率時，關鍵是試驗的全部結果構成的區域和事件發生的區域的尋找，有時需要設出變量，在坐標系中表示所需要的區域．

4．經典例題：

已知集合A=｛x－1≤x≤0｝，集合B=｛xax+b#8226;2x－1<0，0≤a≤2，1≤b≤3｝．

（1）若a，b∈N，求A∩B≠的概率；

（2）若a，b∈R，求A∩B=的概率．

破解思路本題以集合為載體，導數為工具，考查兩種概率模型的求法．對于（1）要求運用導數知識列舉（a，b），再利用古典概型求解；（2）根據條件列出不等式，再用幾何概型求解．

經典答案（1）因為a，b∈N，（a，b）可取（0，1），（0，2），（0，3），（1，1），（1，2），（1，3），（2，1），（2，2），（2，3）共9組．令函數f（x）=ax+b#8226;2x－1，x∈［－1，0］，則f′（x）=a+bln2#8226;2x．因為a∈［0，2］，b∈［1，3］，所以f′（x）>0，即f（x）在［－1，0］上是單調遞增函數．f（x）在［－1，0］上的最小值為－a＋－1．要使A∩B≠，只需－a＋－1<0，即2a－b＋2>0．所以（a，b）只能取（0，1），（1，1），（1，2），（1，3），（2，1），（2，2），（2，3）共7組．所以A∩B≠的概率為．

（2）因為a∈［0，2］，b∈［1，3］，所以（a，b）對應的區域是邊長為2的正方形（如圖2），面積為4．

圖2

由（1）可知，要使A∩B=；只需f（x）min=－a+－1≥0?圯2a－b+2≤0，所以滿足A∩B=的（a，b）對應的區域是圖中的陰影部分．所以S陰影=×1×=，所以A∩B=的概率為P==．

1．串聯情況：離散型隨機變量及其分布列是高中概率統計的核心內容，要求能寫出隨機變量的可能取值以及概率分布，要求熟練掌握兩點分布、二項分布、超幾何分布模型．

2．考情分析：求離散型隨機變量的分布列，以及分布列求隨機變量的數學期望與方差，特別是二項分布，成為新課程高考內容的重點和必考對象，主要考查我們觀察、分析、解決問題的能力以及我們收集、轉化、處理信息的能力．

3．破解技巧：解決此類問題時，注意以下幾點：（1）離散型隨機變量分布列的判斷；（2）求離散型隨機變量的分布列、期望與方差應用；（3）根據離散型隨機變量的分布列求概率；（4）根據離散型隨機變量分布列、期望與方差性質求參數．

4．經典例題：

甲、乙、丙三人參加了一家公司的招聘面試，面試合格者可正式簽約，甲表示只要面試合格就簽約．乙、丙則約定：兩人面試都合格就一同簽約，否則兩人都不簽約．設甲面試合格的概率為，乙、丙面試合格的概率都是，且面試是否合格互不影響．

（1）求至少有1人面試合格的概率；

（2）求簽約人數ξ的分布列和數學期望．

破解思路本題考查概率、分布列及期望的求解．第1問運用間接法；第2問先確定ξ的取值，再運用互斥事件、相互獨立事件的概率公式求出分布列，進而求得數學期望．

經典答案（1）用A，B，C分別表示事件甲、乙、丙面試合格．由題意知A，B，C相互獨立，且P（A）=，P（B）=P（C）=，至少有1人面試合格的概率是1－P（）=1－P（）P（）P（）=1－××=.

（2）ξ的可能取值為0，1，2，3．P（ξ=0）=P（B）+P（C）+P（）=P（）P（B）P（）+P（）P（）P（C）+P（）P（）P（）=××+××+××=；P（ξ=1）=P（AC）+P（AB）+P（A）=××+××+××=；P（ξ=2）=P（BC）=××=；P（ξ=3）=P（ABC）=××=；所以ξ的分布列是

所以ξ的期望Eξ=0×+1×+2×+3×=.

1．串聯情況：統計是研究如何收集、整理、分析數據的學科，要求理解抽樣方法，體會用樣本估計總體及其特征的思想，體會統計思維與確定性思維的差異，能認識變量間的相關關系．統計與概率的相關知識能有機地結合．

2．考情分析：近幾年高考試題中設計了許多背景與我們日常生活非常貼近的統計綜合題，通過對統計圖表分析出來的頻率值估算事件發生的概率．概率與統計交匯的考查，主要以課本知識為基礎，以統計思想為主線，考查我們分析解決問題的能力．

3．破解技巧：在弄清題意、讀懂題目所給圖表信息的基礎上，建立適當的概率模型、運用有關公式進行求解，要求熟練掌握基礎知識和基本方法、理解數據處理的幾種基本思想、方法和作用．

4．經典例題：

為調查某市學生百米運動成績，從該市學生中按照男、女生比例隨機抽取50名學生進行百米測試，學生成績全部都介于13秒到18秒之間，將測試結果按如下方式分成五組，第一組［13，14），第二組［14，15），…，第五組［17，18］，圖3是按上述分組方法得到的頻率分布直方圖．根據有關規定，成績小于16秒為達標．

（1）用樣本估計總體，某班有學生45人，設ξ為達標人數，求ξ的數學期望與方差；

圖3

（2）如果男、女生使用相同的達標標準，則男、女生達標情況如表2.

表2

根據上表數據，能否有99%的把握認為“體育達標與性別有關”？若沒有，你能否提出一個更好的解決方法來？

附：K2=

破解思路本題以頻率分布直方圖為載體，考查運用樣本估計總體及其特征的思想．（1）把問題歸結為二項分布求解；（2）運用獨立性檢驗原理，判斷兩個分類變量之間的關系．

經典答案（1）成績在［13，16）的頻率：（0.04+0.18+0.38）×1=0.6，若用樣本估計總體，則總體達標的概率為0.6．從而ξ～B（45，0.6），所以Eξ=45×0.6=27（人），Dξ=10.8．

（2）

K2=≈8.333，由于K2≈8.333>6.625，故有99%的把握認為“體育達標與性別有關”，故應根據男、女生性別劃分達標的標準．

1．串聯情況：新課程高考注重在知識點的交匯處命題，這就為概率的出題提供了空間，概率可以和函數、數列、幾何、算法等知識結合．

2．考情分析：“在知識網絡交匯處設計試題”是近年高考命題的重要理念．要注意挖掘知識內在聯系，領會知識間的自然交匯．

3．破解技巧：在復習備考的過程中，要把握好知識間的縱橫聯系與整合，打破數學內部章節界限，使自己對所學內容真正融會貫通，運用自如，形成網絡化的知識體系．

4．經典例題：

甲、乙兩人做射擊游戲，甲、乙兩人射擊擊中與否是相互獨立事件，規則如下：若射擊一次擊中，原射擊者繼續射擊，若射擊一次不中，就由對方接替射擊．已知甲、乙兩人射擊一次擊中的概率均為，且第一次由甲開始射擊．

（1）求前4次射擊中，甲恰好射擊3次的概率；

（2）若第n次由甲射擊的概率為an，求數列｛an｝的通項公式，并說明當n趨向于+∞時的實際意義．

破解思路本題以相互獨立事件為背景，考查概率與遞推數列，由遞推關系求得通項公式，運用極限的思想說明問題的實際意義．

經典答案記A為甲射擊，B為乙射擊，則

（1）前4次射擊中甲恰好射擊3次可列舉為AAAB，AABA，ABAA，其概率為P=××+××+××=．

（2）“第n+1次由甲射擊”這一事件，包括“第n次由甲射擊，第n+1次繼續由甲射擊”及“第n次由乙射擊，第n+1次由甲射擊”兩事件，則有an+1=an+（1－an）=an+，其中a1=1，an+1－=an－，所以數列an－等比數列．所以an=+，當n趨向于+∞時，an趨向于．

實際意義為當甲、乙兩人射擊次數較多時，甲、乙兩人分別射擊的次數接近相等．

甲、乙兩人進行圍棋比賽，約定每局勝者得1分，負者得0分，比賽進行到有一人比對方多2分或打滿6局時停止．設甲在每局中獲勝的概率為pp>，且各局勝負相互獨立．已知第二局比賽結束時比賽停止的概率為．若圖4為統計這次比賽的局數n和甲、乙各自的總得分數S，T的程序框圖．其中如果甲獲勝，輸入a=1，b=0；如果乙獲勝，則輸入a=0，b=1．

（1）在圖4中，第一、第二兩個判斷框應分別填寫什么條件？

（2）求p的值；

（3）設ξ表示比賽停止時已比賽的局數，求隨機變量ξ的分布列和數學期望Eξ．

破解思路本題是概率與算法的綜合題．破解的關鍵是讀懂程序框圖，結合程序框圖求出p值；對于（3）先確定ξ的所有可能值，設每兩局比賽為一輪，則該輪結束時比賽停止的概率為，進而求得其分布列及數學期望．

經典答案（1）程序框圖中的第一個條件框應填M=2，第二個應填n=6．（答案不唯一．如：第一個條件框填M>1，第二個條件框填n>5，或者第一、第二條件互換，都可以．）

圖4

（2）依題意，當甲連勝2局或乙連勝2局時，第二局比賽結束時比賽結束，所以有p2+（1－p）2=，解得p=或p=．因為p>，所以p=．

（3）依題意知，ξ的所有可能值為2，4，6．設每兩局比賽為一輪，則該輪結束時比賽停止的概率為．若該輪結束時比賽還將繼續，則甲、乙在該輪中必是各得一分，此時，該輪比賽結果對下輪比賽是否停止沒有影響．從而有P（ξ=2）=，P（ξ=4）=1－=，P（ξ=6）=1－#8226;1－#8226;1=．

所以隨機變量ξ的分布列為：

故Eξ=2×+4×+6×=．

品酒師需定期接受酒味鑒別功能測試，一種通常采用的測試方法如下：拿出n瓶外觀相同但品質不同的酒讓其品嘗，要求其按品質優劣為它們排序；經過一段時間，等其記憶淡忘之后，再讓其品嘗這n瓶酒，并重新按品質優劣為它們排序，這稱為一輪測試．根據一輪測試中的兩次排序的偏離程度的高低為其評分．

現設n=4，分別以a1，a2，a3，a4表示第一次排序時被排為1，2，3，4的四種酒在第二次排序時的序號，并令X=1－a1+2－a2+3－a3+4－a4，則X是對兩次排序的偏離程度的一種描述．

（1）寫出X的可能值集合．

（2）假設a1，a2，a3，a4等可能地為1，2，3，4的各種排列，求X的分布列．

（3）某品酒師在相繼進行的三輪測試中，都有X≤2，

①試按（2）中的結果，計算出現這種現象的概率（假定各輪測試相互獨立）；

②你認為該品酒師的酒味鑒別功能如何？說明理由．

破解思路本題以絕對值為載體，考查分布列和期望的簡單應用以及閱讀理解、轉化化歸能力．（1）X的可能取值集合為｛0，2，4，6，8｝，在1、2、3、4中奇數與偶數各有兩個，a2，a中的奇數個數等于a，a中的偶數個數，得到1－a1+3－a3與2－a2+4－a4的奇偶性相同；（2）可以用列表或者樹狀圖列出1、2、3、4的排列，計算每種排列下X的值，算出概率，寫出分布列．

（3）將三輪測試都有X≤2的概率記作p，求出概率的值和已知量進行比較，得到結論．

經典答案（1）X的可能值集合為｛０，２，４，６，８｝．在1，2，3，4中奇數與偶數各有兩個，所以a2，a4中的奇數個數等于a1，a3中的偶數個數，因此1－a1+3－a3與2－a2+4－a4的奇偶性相同，從而X=（1－a1+3－a3）+（2－a2+4－a4）必為偶數，X的值非負，且易知其值不大于8，容易舉出X的值等于0，2，4，6，8各值的排列的例子．

（2）可用列表或樹狀圖列出1，2，3，4的一共24種排列，計算每種排列下的X值，在等可能的假定下得到

（3）①首先P（X≤2）=P（X=0）+P（X=2）=，將三輪測試都有X≤2的概率記作p．由上述結果和獨立性假設，得p==．②由于p==<是一個很小的概率，這表明憑隨機猜測得到三輪測試都有X≤2的結果的可能性很小，所以我們認為該品酒師確實有良好的味覺鑒別功能，不是靠隨機猜測．

1.串聯情況：（1）二項分布及其應用主要以條件概率、相互獨立事件同時發生的概率、獨立重復試驗的概率為載體，綜合考查某一事件發生的概率，進而通過計算期望與方差考查總體取值的平均水平和穩定性；（2）正態分布主要考查正態分布的意義和性質，通過把一般正態總體轉化為標準正態，常以客觀題的形式出現．

2．考情分析：在每年的高考中都有考查，獨立重復事件多以解答題的形式出現，而正態分布常出現在客觀題中，偶爾也會在解答題中出現.

3.破解技巧：（1）準確判斷某隨機變量是否服從二項分布，要看兩點：①在每次試驗中，試驗的結果只有兩個，即發生與不發生；②在每次試驗中，事件發生的概率相同．若滿足，則在此獨立重復試驗中以事件發生的次數為隨機變量，此時該隨機變量服從二項分布．

（2）理解正態分布曲線的意義及性質是解答此類問題的關鍵：如正態分布密度函數f（x）=e，圖象關于直線x=μ對稱，均值為μ，方差為σ2等．

4．經典例題：

在一個圓錐體的培養房內培養了40只蜜蜂，準備進行某種實驗，過圓錐高的中點有一個不計厚度且平行于圓錐底面的平面把培養房分成兩個實驗區，其中小錐體叫第一實驗區，圓臺體叫第二實驗區，且兩個實驗區是互通的．假設蜜蜂落入培養房內任何位置是等可能的，且蜜蜂落入哪個位置相互之間是不受影響的．

（1）求蜜蜂落入第二實驗區的概率；

（2）若其中有10只蜜蜂被染上了紅色，求恰有一只紅色蜜蜂落入第二實驗區的概率；

（3）記X為落入第一實驗區的蜜蜂數，求隨機變量X的數學期望EX．

破解思路恰當地回歸到相應的概率模型中去，是解答概率與統計應用問題的突破口.只有找到合適的概率模型，我們才能迅速抓住問題的本質，進而設計相應的解題策略．第1小題考查幾何概型的“三維”測度問題；第2小題實際上可轉化為獨立重復事件的概率；對于第3小題，“落入第一實驗區的蜜蜂數”服從二項分布，不必通過列隨機變量分布圖求數學期望，直接代公式即可．

經典答案（1）記“蜜蜂落入第一實驗區”為事件A，“蜜蜂落入第二實驗區”為事件B．依題意，P（A）===，所以P（B）=1－P（A）=，所以蜜蜂落入第二實驗區的概率為．

（2）記“恰有一只紅色蜜蜂落入第二實驗區”為事件C，則P（C）=C××==，所以恰有一只紅色蜜蜂落入第二實驗區的概率．

（3）因為蜜蜂落入培養房內任何位置是等可能的，且蜜蜂落入哪個位置相互之間是不受影響的，所以變量X滿足二項分布，即X～40，，EX=40×=5

在某校舉行的數學競賽中，全體參賽學生的競賽成績近似服從正態分布N（70，100）．已知成績在90分以上（含90分）的學生有12名．

（1）此次參賽學生總數約為多少人？

（2）若該校計劃獎勵競賽成績排在前50名的學生，設獎的分數線約為多少分？可共查閱的（部分）標準正態分布表Φ（x0）=P（x

破解思路本小題主要考查正態分布，考查運用概率統計知識解決實際問題的能力．

經典答案（1）設參賽學生的分數為ξ，因為ξ～N（70，100），由條件知，P（ξ≥90）＝1－P（ξ<90）＝1－F（90）＝1－Φ＝1－Φ（2）＝1－0.9772＝0.0228．這說明成績在90分以上（含90分）的學生人數約占全體參賽人數的2．28％，因此，參賽總人數約為≈526（人）．

（2）假定設獎的分數線為x分，則P（ξ≥x）＝1－P（ξ

1．重視對審題能力的培養

概率統計問題，大都以應用題的面目出現，同學們由于審題不夠細心而出錯的現象比較普遍，出現的錯誤主要有：主觀臆斷、混淆事件、重復計算、遺漏條件．因此我們要學會審題，培養自身的閱讀理解能力，提高應用數學知識、方法分析問題和解決問題的能力．

2．回歸教材，加強對概率思想、基本方法的理解

近幾年高考中往往都是在考查對一些基本隨機事件的求法，有些試題在教材中能找到相應的影子，在復習中要重視基本知識的掌握和落實，課本中的定理、定義，例題、習題都需要扎扎實實地吃透、消化．