二輪復習之解析幾何突破

解析幾何問題，特別是圓錐曲線問題一直是數(shù)學高考中的熱點問題，高考數(shù)學試卷中的最后兩大題中往往有一題是有關圓錐曲線的綜合問題，所以它也是高考數(shù)學中最具挑戰(zhàn)性的問題之一；許多同學覺得解析幾何問題“很恐怖”，在考試中遇到這類問題感到“一籌莫展，無從下手”，很難找到解題的突破口；或者雖然有了一個“解題方案”，但在具體操作過程中又遇到這樣、那樣的困難，很難走到“理想的彼岸”．本文試圖通過對幾道例題的分析和解答，介紹解決解析幾何問題中要注意的問題及一些常用的解題對策，幫助大家消除對解析幾何問題的恐懼心理，提高應試能力．

1．串聯(lián)情況：平面幾何是初中的教學內容，是學習立體幾何與解析幾何的基礎，由于平面幾何與解析幾何的研究對象都是平面圖形，因此在解決解析幾何問題時了解相關平面圖形的幾何性質是完美解決問題的前提．

2．考情分析：縱觀近幾年的各地高考數(shù)學試卷，直線與圓錐曲線的位置問題一直是解析幾何中的熱點問題，尤其是圓錐曲線焦點弦問題，由于容易得到很多漂亮的性質，也容易編擬出具有一定挑戰(zhàn)性的試題，所以往往也成了命題者關注的“焦點”．有關直線與圓的有關問題也偶爾“靈光一現(xiàn)”．雖然高考試卷中不可能出現(xiàn)平面幾何的試題，但上述兩類問題與平面幾何知識通常有著天然的聯(lián)系．

3．破解技巧：（1）對于直線與圓的考題，通常有以下兩類解決方法可供選擇，其一是用代數(shù)方法解之；其二是充分利用相關圖形的幾何性質解之；其中第一類思想方法比較簡單，但往往伴隨而來的是繁雜的運算，相對而言第二類方法顯得很簡捷，但必須有較好的平面幾何功底．

（2）對于圓錐曲線中的“觸焦問題”（與焦點相關的問題），在選擇解題方法時，應優(yōu)先考慮利用圓錐曲線的定義及平面幾何的知識解之，即明確解決這類問題的最常用的思路是充分利用其幾何意義去解決問題．在具體操作中要注意以下兩個轉化：

（A）注意問題所涉及的曲線（橢圓和雙曲線）上的點到曲線的兩個焦點的距離之間相互轉化．

（B）注意問題所涉及的曲線上的點到焦點的距離與到相應準線的距離間的相互轉化．

4．經(jīng)典例題：

已知圓C1：（x+3）2+y2=4，C2：x2+（y－5）2=4，過平面內的點P有無窮多對互相垂直的直線l1，l2，它們分別與圓C1、圓C2相交，且被圓C1、圓C2截得的弦長相等，求點P的坐標．

破解思路若用代數(shù)方法求解，則可設P（a，b），直線l1的斜率為k，則l1，l2被圓C1、圓C2截得的弦長可用a，b，k表示之，由此可得到關于k的恒等式，從而得到關于a，b的兩個方程，進而求得a，b的值；大家不妨試一試！

注意到圓C1、圓C2是兩個相離的等圓，所以它們關于線段C1C2的中垂線對稱，不難猜想，點P在線段C1C2的中垂線上，再由特例法（當直線l1，l2分別過圓心C1，C2時）找到滿足條件的點P后再加以證明即可．

經(jīng)典答案如圖1，以線段C1C2為斜邊作等腰直角三角形P1C1C2，下面證明點P1符合要求：直線l1，l2分別和直線P1C1，P1C2重合時，顯然滿足要求；

再把直線P1C1，P1C2繞點P1順時針旋轉θ角時，設直線l1，l2被圓C1、圓C2截得的弦分別為A1B1，A2B2，分別取A1B1，A2B2的中點D1，D2，連結C1D1，C2D2，則Rt△P1C1D1≌Rt△P1C2D2，所以C1D1=C2D2，所以A1B1=A2B2．

由于θ的大小可有無窮多種取法，所以點P1符合要求．

由C1（－3，0），C2（0，5）可得點P的坐標為（1，1）或（－4，4）．

已知l1，l2是雙曲線－=1的兩條漸近線，過橢圓+=1（a>b>0）的右焦點F（c，0）作直線m，使m⊥l1，m與l2的交點為P，m與已知橢圓的交點記作A與B（如圖2）．

求：λ=的最大值及其此時橢圓的離心率e的值．

破解思路要解決本題可分兩大步驟來完成，第一步：把λ表示成關于橢圓離心率e的函數(shù)（實在不行，可先建立一個關于λ與e的方程）；第二步：求出這個函數(shù)最值即得所需結論．解題的關鍵是如何由已知條件，得到關于λ與e的方程，由于點P恰在橢圓的右準線上，因此可以考慮使用“橢圓上的點到焦點的距離與到相應準線間的距離間的相互轉化”策略，再結合解三角形的知識解決之．

經(jīng)典答案設直線m的方程為y=（x－c），易求得點P的坐標為P，，所以P恰在橢圓的右準線l上，作BN⊥l于N，AM⊥l于M．

設AF=u，BF=v，則AM=AF=，BN=BF=，所以λ===，所以v=λu，

直角梯形AMNB中，BN－AM=，AB=u+v=（1+λ）u．

因為tan∠ABN=，所以cos∠ABN===#8226;，即=，令2－e2=t，則1

而s==≤=－1，由t=得t=，此時e=，smax=－1，即0<≤－1，解得1<λ≤+1．

所以λ=的最大值為+1，此時e=．

1．串聯(lián)情況：方程思想和基本量方法是解決數(shù)學問題的重要方法之一，對于解析幾何中的一些問題，尤其是有關求圓錐曲線方程的問題，若用方程的思想與基本量方法分析解決之會顯得很“自然”．

2．考情分析：由題設條件求圓錐曲線的標準方程是圓錐曲線中最常見的一種題型，近幾年的高考圓錐曲線大題一般設置兩三個小題，其中的第一小題通常是求曲線的標準方程．

3．破解技巧：易見中心在原點，焦點在坐標軸上的橢圓、雙曲線共有兩個基本量，即確定這樣的橢圓、雙曲線只需兩個獨立的條件．

操作時只需把題設條件“翻譯”成關于其中的兩個基本量（如：a，b）的方程，然后求所得方程組的解即可．頂點在原點，對稱軸為坐標軸的拋物線有且僅有一個基本量，所以求拋物線的方程的思想方法更加簡單．操作時要注意焦點是在x軸上，還是在y軸上，還是兩種情況均有可能，當其中的一個已知條件比較直接時，可選使用這個條件求出其中一個系數(shù)，以簡化運算過程．

4．經(jīng)典例題：

已知：雙曲線的中心在坐標原點，過雙曲線右焦點且斜率為的直線與雙曲線交于A，B兩點，若OA⊥OB，AB=4，求雙曲線的標準方程．

破解思路易見雙曲線的焦點在x軸上，所以可設其方程為－=1，只須把條件OA⊥OB，AB=4“翻譯”成關于a，b的兩個方程，再解關于a，b的方程組即可得到結論．

經(jīng)典答案設雙曲線的方程為－=1，右焦點為F（c，0），其中a，b，c∈R+，c2=a2+b2．設A（x1，y1），B（x2，y2），=t（t>0），直線AB的方程為x=y+c．

由x2－y2=c2，x－y=c2得（1+t）x2－1+y2=x2－2xy+y2，即+－2－t=0．

由于kOA#8226;kOB==－1，所以+－t=0，解得t=3，即b2=3a2，c=2a，故雙曲線的方程為3x2－y2=3a2．

把直線AB的方程為x=y+2a代入雙曲線方程得4y2+4ay+9a2=0，所以（y－y）2=（y+y）2－4yy=6a2．

又因為AB2=（x－x）2+（y－y）2=（y－y）2=16，所以a2=1，雙曲線方程為x2－=1．

反思解決本題的思想方法比較簡單，其難點是對運算能力的要求較高，一不小心就會陷入繁雜的運算之中而不能自拔，所以如何簡化圓錐曲線問題的運算過程顯得尤為重要．上述解法的可取之處如下：其一是把直線AB的方程寫成x=y+c有利于簡化運算；

其二是構造關于的方程，使kOA#8226;kOB=－1能與之直接“對話”；其三是利用條件OA⊥OB得到b2=3a2，打開了勝利之門．

1．串聯(lián)情況：函數(shù)是中學數(shù)學的主線，函數(shù)思想是中學數(shù)學中最重要的思想方法之一，最值和范圍問題是中學數(shù)學中的永恒話題，而函數(shù)思想是分析解決最值問題最“給力”的武器．

2．考情分析：（1）最值問題和參數(shù)的范圍問題是解析幾何試題中出現(xiàn)相對頻繁的題型，通常涉及求面積、線段長、離心率及其他相關參數(shù)值的取值范圍問題．

（2）對于解幾何中定值問題，雖然在現(xiàn)行的教材中沒有專門的介紹，但在高考試卷中還是屢見不鮮的．

3．破解技巧：（1）對于解析幾何中的最值和范圍問題，一般可用建立目標函數(shù)方法解決之．若能把所求參數(shù)表示成某一個變量的函數(shù)，則問題就可化歸為求這個函數(shù)的最值（或值域）．

（2）解析幾何中的定值問題，所涉及的量“照理”應是一個變量，即這個量應隨某一個量的變化而變化，若它真的是一個定值，則它“恰巧”與這個量的變化無關；所以我們只須“裝腔作勢”地把它表示成關于這個變量的函數(shù)，化簡以后必可得這個函數(shù)為常數(shù)，從而問題也得到解決．

4．經(jīng)典例題：

橢圓C過定點M－1，，兩個焦點分別為F1（－1，0），F(xiàn)2（1，0），過點M作傾斜角互補的兩條直線MA，MB分別交橢圓于A，B．

（1）求證：直線AB的斜率為定值；

（2）求△MAB的面積S的最大值．

破解思路（1）注意到A，B兩點的坐標都隨直線MA的斜率k的變化而變化，故直線AB的斜率“照理”也應該隨k變化而變化，所以我們只須“裝腔作勢”地把直線AB的斜率用k表示之，化簡后即可得到定值．

經(jīng)典答案（1）容易得到橢圓的方程為+y2=1，設直線MA的斜率為k，則直線MB的斜率為－k，直線MA的方程y－=k（x+1），即y=k（x+1）+，代入橢圓方程可得：［（x+1）－1］2+2k（x+1）?搖+=2，即（x+1）［（1+2k2）#8226;（x+1）?搖+2k－2］=0，所以xA=－1+，y=+，同理可得xB=－1+，y=+．

所以y－y=，xA－xB=，故kAB===－（定值）．

評注（1）本題的證明對運算的要求較高，上述解題過程中充分利用“點M在橢圓上”及“A，B兩點的地位相同”等性質，運算過程還是顯得比較簡潔．

（2）設點M關于y軸的對稱點為M1，則當k→0時，直線AB與橢圓在點M1處的切線重合．所以在解答前也可以先猜想AB的斜率應等于橢圓在點M1切線的斜率－，這樣可使解題的目標更加明確．

破解思路（2）注意到M為定點，所以△MAB的面積S隨直線AB的變化而變化，由于直線AB斜率為定值，所以可選擇直線AB在y軸上（或x軸上）的截距為目標函數(shù)的變量解決之．

經(jīng)典答案（2）由（1）可知直線AB的斜率為－，所以可設直線AB的方程為x=－y+t，作MN∥x軸交線段AB于N，則Nt－1，，MN=t．

把x=－y+t代入x2+2y2=2可得4y2－2ty+t2－2=0，故有y+y=t，y#8226;y=（t2－2），所以（y－y）2=（y+y）2－4yAyB=（4－t2），即y－y=，△MAB的面積S=f（t）=MNy－y=t=≤#8226;=，由4－t2=t2得t=±，所以t=±時，△MAB的面積S取最大值．

1．串聯(lián)情況：從表面上看，在有關解析幾何的試題中連不等式的“影子”都很難找到；在大千世界中，等是相對的，而不等是絕對的，在解析幾何中也是如此，在解決有關解析幾何問題時，若能合理地利用不等式往往能給它“致命一擊”．

2．考情分析：對于解析幾何中的最值問題，除了幾何意義法及目標函數(shù)法外，目標不等式法也是一種不錯的選擇．

3．破解技巧：要探求某一參變量的取值范圍時，我們只須得到這個參變量應滿足的目標不等式，然后解這個目標不等式即可，所謂“退一步海闊天空”就是這個道理！但在具體操作時，其思考方法與目標函數(shù)法相同，最后選擇目標不等式法還是目標函數(shù)法要視具體情況而定．

4．經(jīng)典例題：

已知M（x0，y0）為直角坐標平面中第一象限內的一個定點，直線l過點M且與坐標軸圍成的三角形的面積為定值S0，那么滿足條件的直線l有幾條？

破解思路由于過點M的直線與坐標軸在第三象限不能圍成三角形，而在第二、四象限圍成的三角形的面積可以取到任意正實數(shù)，且面積的大小與直線構成一一映射；故問題可化歸為求與坐標軸在第一象限內圍成的三角形面積為S0的直線l有多少條，也可化歸為求直線l與坐標軸在第一象限內圍成的三角形OAB面積的最小值．

注意到S△OAB=OAOB，所以直線l的方程的形式選擇截距式較為合理．

經(jīng)典答案如圖4，設過點M（x0，y0）的直線l分別交x軸正半軸于點A（a，0），交y軸的正半軸于點B（0，b），則直線l的方程為+=1，所以1=+≥2，即ab≥4x0y0，所以△OAB的面積S=ab≥2x0y0．

由==得a=2x0，b=2y0，所以a=2x0，b=2y0時，S取最小值2x0y0．

由于對于任意給定的正實數(shù)S0，當直線l和坐標在第二（第四）象限圍成的三角形的面積為S0時，滿足條件的直線l有且僅有一條，所以：

（1）0

（2）S0=2x0y0時，滿足條件的直線l有且僅有三條．

（3）S0>2x0y0時，滿足條件的直線l有且僅有四條．

如圖5，梯形ABCD中，AB=2CD，點E分有向線段所成的比為λ，雙曲線經(jīng)過C，D，E三點，且以A，B為焦點，當≤λ≤時，求雙曲線的離心率e的取值范圍．

破解思路本題是參變量的取值范圍問題，易見當λ的值確定后，雙曲線的形狀也隨之確定，即雙曲線的離心率e隨λ的變化而變化，又注意到≤λ≤，故可選擇λ為自變量，把e表示為關于λ的目標函數(shù)，然后求出e的取值范圍．

經(jīng)典答案以AB的中垂線為y軸，直線AB為x軸建立直角坐標系，則CD⊥y軸，雙曲線過點C，D，且以A，B為焦點．

由雙曲線的對稱性知C，D關于y軸稱，設A（－c，0），B（c，0），由于AB=2CD，故可設C，h．

因為E分的比為λ，設E（x0，y0），則x0==#8226;，y=.設雙曲線的方程為－=1，則由C，h在雙曲線上，得－=1，即=e2－1．

又E，也在雙曲線上，所以e2－#8226;=1，e2－（e2－4）=1，解得λ=1－．

又≤λ≤，所以≤1－≤，解得7≤e2≤10，所以e∈［，］．

反思（1）本題的解題關鍵是利用“C，D，E三點在雙曲線上”等條件建立λ和e的關系式，h和b僅起到“橋”的作用．

（2）在操作過程中發(fā)現(xiàn)把λ用e表示反而顯得比較簡單，所以改用建立關于e的目標不等式的方法解之，這與把問題化歸為求目標函數(shù)e2=－－2（其中≤λ≤）的值域有異曲同工之妙．

1．串聯(lián)情況：解析幾何的本質就是用代數(shù)方法研究幾何圖形的性質，是數(shù)形結合的典范；而平面向量又是數(shù)和形之間“天然的橋梁”，所以運用平面向量解決解析幾何問題是很自然的選擇．

2．考情分析：縱觀近幾年各地高考數(shù)學試卷，平面向量與解析幾何的結合體現(xiàn)在以下兩個方面，其一是平面向量在試題的敘述中起到“包裝”作用，即其中的一些題設條件是以向量的形式給出的（如：例6）；其二是在解答有關與長度、角度有關的解析幾何問題過程中合理地運用平面向量這個工具可以優(yōu)化解題過程．

3．破解技巧：（1）對于利用平面向量僅起到“包裝”作用的試題，其對策通常是設法剝去問題的過度“包裝”看清問題的本質所在．

（2）在解決有關與長度、角度有關的解析幾何問題不要忘記平面向量這個好幫手．

4．經(jīng)典例題：

設A，B分別為橢圓+=1的左、右頂點，點P是橢圓右準線上且不在x軸上的任意一點，若直線AP，BP分別與橢圓相交于異于A，B的點M，N，證明：點B在以MN為直徑的圓內．

破解思路（1）要證明點B在以MN為直徑的圓內，只須證明∠MBN為鈍角，即證明∠MBP為銳角，也即證明#8226;>0．

（2）由于A，B為定點，且點P在定直線x=4上，所以M，N，P中的任意一點確定，則其他兩點隨之確定，整個圖形也完全確定，因此可以從中選擇一個點的坐標為基本變量，然后用這個基本變量表示#8226;．

經(jīng)典答案（方法一：以點P的坐標為基本變量）由題意可得A（－2，0），B（2，0），右準線的方程為x=4，而P在右準線上，所以可設P（4，λ）．直線PA的方程為y=（x+2），代入橢圓方程得（x+2）3+?搖（x+2）－12=0，解得xM=－2，yM=．

=－4，，=（2，λ），所以#8226;=－8+=>0，所以∠MBP為銳角，故∠MBN為鈍角，所以結論成立．

反思由于點M與點N的地位相同，且都可以看成由點P“生成”，因此選擇以點P的坐標為基本變量，顯得比較自然．

但縱觀上述解法，由點P的坐標表示點M的坐標時，由于不可避免地要求直線與橢圓的交點坐標，因此運算較煩瑣且有一定的技巧性．

（方法二：以點M的坐標為基本量）由題意可得A（－2，0），B（2，0），右準線的方程為x=4．

因為點P在橢圓上，所以可設M（2cosθ，sinθ），所以=（2cosθ－2，sinθ）．直線AM的方程為=，令x=4得P4，，所以=2，，所以#8226;=4cosθ－4+=4cosθ－4+9（1－cosθ）=5（1－cosθ）>0，所以∠MBP為銳角，故∠MBN為鈍角，所以結論成立．

1．串聯(lián)情況：眾所周知，“從曲線到方程”和“從方程到曲線”是解析幾何的兩個基本問題，要用代數(shù)方法研究曲線的性質，首先要解決的問題是探求曲線的方程，求動點的軌跡方程作為解析幾何中的兩大基本問題之一，其重要性是不言而喻的．

2．考情分析：對于求曲線的軌跡方程問題的考查，能很好地反映考生邏輯思維能力、運算能力、分析問題和解決問題的能力，因此也是高考數(shù)學中有關解析幾何問題中命題的熱點，也是多數(shù)考生公認的難點之一．

3．破解技巧：破解這個問題必須過以下三關：第一關：掌握基本方法關，即掌握求軌跡方程的一些常用方法，并掌握各種方法的適用范圍及操作程序．其中常用的方法有：①定義法、②直接法、③轉移法、④復數(shù)法、⑤參數(shù)法、⑥交軌法、⑦斜率法等．

第二關：選擇方法操作關，即能根據(jù)題目條件，合理地選擇解題方法，并進行操作．

第三關：純粹完備結論關，即注意最后結論的純粹性和完備性．

4．經(jīng)典例題：

過點A（0，－2）的直線與拋物線y2=4x相交于P，Q兩點，求以OP，OQ為鄰邊的平行四邊形第四個頂點M的軌跡方程．

破解思路由于OPMQ為平行四邊形，所以OM的中點和PQ的中點N重合，故可借助于N點求M的軌跡方程，選擇斜率法法解之．其操作程序為：設點列式?圯兩式相減?圯分解因式?圯出現(xiàn)斜率?圯消去斜率?圯得到方程?圯驗證結論．

經(jīng)典答案設P（x1，y1），Q（x2，y2），M（x，y），則OM的中點為N，．

因為OPMQ是平行四邊形，所以N，也是QP的中點，所以x1+x2=x，y1+y2=y.又y=4x1，…（1）?搖y=4x2，…（2）?搖

（2）－（1）得（y+y）（y－y）=4（x2－x1），即（y+y）=4，所以kPQ#8226;y=4．

又A，P，Q，N共線，所以kPQ=kAN=，所以y#8226;=4，即y2+4y=4x．

又N，在拋物線y2=4x的開口內，所以<4，即y2<8x．由y2+4y=4x，y2<8x得2y2+8y>y2，解得y<－8或y>0．

點M的軌跡方程為：

（y+2）2=4（x+1）（y<－8或y>0）．

反思（1）本題容易忽視軌跡的純粹性；在用“兩式相減”法求動弦中點的軌跡方程時，還需注意動直線與曲線是否一定有交點，上述解法利用“N點必在拋物線的開口內”，巧妙地求出了軌跡的取值范圍，簡化了運算過程．

（2）用“兩式相減”法（斜率法）求動弦的中點軌跡的運算簡單且易于操作，但所求問題必需與動弦的斜率相關，否則“英雄”也無用武之地．

1．形成系統(tǒng)知識網(wǎng)絡，做好查漏補缺工作．

在數(shù)學高考中，出現(xiàn)任何概念性錯誤都是致命的，對于基本概念和基礎知識的掌握不能有半點閃失．在第二輪復習中，對各個知識模塊的基本概念及其基礎知識最好能再梳理一遍.對于解析幾何，由于其研究對象只是一條直線和四條曲線（圓、橢圓、雙曲線、拋物線），所以復習時可對照高考要求，對各條曲線逐條進行解決，做到既能定性分析，又能定量分析．

平時考試中犯的錯誤有很大一部分是“習慣性”的錯誤，在高考中要盡量杜絕這種事情的發(fā)生，所以對解析幾何的一些易錯點要特別引起注意．

2．熟悉典型問題解法，做到以不變應萬變．

在高考中的解析幾何試題，特別是圓錐曲線的綜合問題，雖然可以說是紛繁復雜、千變萬化，但往往是以下十類典型問題中的若干個問題的組合．因此對這些典型問題要做到“上有政策，下有對策”，這樣才能以不變應萬變，力于不敗之地．

附：圓錐曲線中的十類典型問題

（1）求圓錐曲線的標準方程．

（2）說明圓錐曲線的幾何性質．

（3）直線與圓錐曲線的位置關系問題．

（4）與圓錐曲線過焦點的弦相關的問題．

（5）與圓錐曲線弦的中點相關的問題．?搖

（6）與圓錐曲線的弦長相關的問題．

（7）圓錐曲線中的最值與取值范圍問題．

（8）圓錐曲線中的定值、定位問題．

（9）圓錐曲線中的對稱問題．

（10）與圓錐曲線相關的軌跡問題．

3．提高運算熟練程度，做到操作過程不出事故．

圓錐曲線問題之所以成為高考中的難點，其中一個很重要的原因是對運算的要求相對較高，而運算能力差又是許多考生“永遠的痛”．對于不可回避的正常運算，要靜心演算，且要注意提高熟練程度；平時也要注意解題方法的選擇，積累一些簡化運算的技能技巧、熟記一些常用的數(shù)量關系，也是很有必要的，雖然可能是“非主流”的方法，但有時會很管用．