2012年高考必做創(chuàng)新題——類比推廣題

立體幾何型

（★★★☆）必做1 若從點(diǎn)O所作的兩條射線OM，ON上分別有點(diǎn)M1，M2與點(diǎn)N1，N2，則三角形面積之比為：=·． 若從點(diǎn)O所作的不在同一個(gè)平面內(nèi)的三條射線OP，OQ和OR上分別有點(diǎn)P1，P2與點(diǎn)Q1，Q2和R1，R2，則類似的結(jié)論為：________．

精妙解法 顯然這是平面圖形與立體圖形的類比．可猜想平面的面積與三棱錐的體積相類比． 故猜想=··．

（★★★★）必做2 有這樣一個(gè)事實(shí)，同一個(gè)平面內(nèi)有兩個(gè)邊長(zhǎng)都是a的正方形，把一個(gè)正方形的中心固定在另一個(gè)正方形的某頂點(diǎn)，然后轉(zhuǎn)動(dòng)這個(gè)正方形，則無(wú)論怎樣轉(zhuǎn)動(dòng)這兩個(gè)正方形重疊部分的面積恒為． 類比到空間，試想有兩個(gè)棱長(zhǎng)均為a的正方體，把一個(gè)正方體的中心固定在令一個(gè)正方體的某頂點(diǎn)，再轉(zhuǎn)動(dòng)這個(gè)正方體，則不論這個(gè)正方體轉(zhuǎn)動(dòng)到何位置，則這兩個(gè)正方體重疊部分的體積恒為（ ）

A． B． C． D．

精妙解法 在平面圖形中，取特殊位置，重疊部分可以是一個(gè)邊長(zhǎng)為的小正方形，其面積S=a·a=a2． 類比推理到空間，可知重疊部分是一個(gè)棱長(zhǎng)為的小正方體，其體積V=a=，選A

（★★★★）必做3 設(shè)面積為S的平行四邊形的第i條邊的邊長(zhǎng)為ai（i=1，2，3，4），P是該四邊形內(nèi)一點(diǎn)，點(diǎn)P到第i條邊的距離記為hi，若====k，則（ihi）=. 類比上述結(jié)論，體積為V的三棱錐的第i個(gè)面的面積記為Si（i=1，2，3，4），Q是該三棱錐內(nèi)的一點(diǎn)，點(diǎn)Q到第i個(gè)面的距離記為di，若====k，則（idi）等于_______.

精妙解法 因?yàn)槠叫兴倪呅蔚拿娣eS=（a1d1+a2d2+a3d3+a4d4），由已知條件有（ihi）=. 因?yàn)槠矫嬷械拿娣e與空間中的體積是一組類比關(guān)系，且由棱錐的體積公式易于得到（idi）=.

證明：三棱錐的體積V=（S1d1+S2d2+S3d3+S4d4），又因?yàn)?===k，所以3V=k（idi）.

極速突擊 求解此類試題的關(guān)鍵是能夠準(zhǔn)確確定類比對(duì)象. 關(guān)于空間問(wèn)題與平面問(wèn)題的類比，通常可抓住幾何要素間的對(duì)應(yīng)關(guān)系作對(duì)比.

多面體多邊形；面邊；體積面積；二面角平面角；面積線段長(zhǎng). 在平時(shí)的學(xué)習(xí)中，同學(xué)們要注意培養(yǎng)自己的類比思想.

金刊提醒

立體幾何型類比推理是通過(guò)平面幾何的知識(shí)得到立體幾何知識(shí)的重要方法. 具體問(wèn)題中同學(xué)們要準(zhǔn)確掌握平面與立體圖形間的類比對(duì)象，同時(shí)也要掌握平面與立體的相關(guān)性質(zhì)、定理及結(jié)論. 必要時(shí)要能夠利用幾何證明的方法證明類比推理得到結(jié)論的正確性.

其他類型

（★★★★★）必做4 設(shè)有一個(gè)邊長(zhǎng)為1的正三角形，記為A1 ，將A1 的每邊三等分，在中間的線段上向形外作正三角形，去掉中間的線段后得到的圖形記為A2，將A2 的每邊三等分，再重復(fù)上述過(guò)程，得到圖形A3，再重復(fù)上述過(guò)程，得到圖形A4，則A4的周長(zhǎng)是_____________．

精妙解法 通過(guò)觀察可以發(fā)現(xiàn)，圖形的周長(zhǎng)剛好組成等比數(shù)列：3，4，3×，3×，即A4的周長(zhǎng)為．

（★★★★）必做5 若等差數(shù)列｛an｝的首項(xiàng)為a1，公差為d，前n項(xiàng)的和為Sn，則數(shù)列為等差數(shù)列，且通項(xiàng)為=a1+（n－1）·． 類似地，若各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列｛bn｝的首項(xiàng)為b1，公比為q，前n項(xiàng)的積為T(mén)n，則數(shù)列｛｝為等比數(shù)列，它的通項(xiàng)為_(kāi)______．

精妙解法 等差數(shù)列與等比數(shù)列一個(gè)是“加”一個(gè)是“乘”，這自然是一組類比關(guān)系，而通過(guò)已知與所求，又可得到與開(kāi)n次方之間的類比關(guān)系，從而可得到乘以n與n次方是類比關(guān)系，綜上可知=b1（）n－1.

極速突擊 本題是關(guān)于數(shù)列定義型的類比推理問(wèn)題，等差數(shù)列和等比數(shù)列是一類類比對(duì)象，從定義的角度分析，其乘法與加法是一對(duì)類比對(duì)象，在具體問(wèn)題中同學(xué)們要能夠通過(guò)分析題中的已知條件和所求問(wèn)題之間區(qū)別來(lái)進(jìn)一步獲取類比對(duì)象. 而兩個(gè)數(shù)列中的一些元素，如首項(xiàng)，公差、公比和前n項(xiàng)和則是一種對(duì)應(yīng)關(guān)系.

（★★★★）必做6 運(yùn)用物理中矢量運(yùn)算及向量坐標(biāo)表示與運(yùn)算，我們知道：

若兩點(diǎn)等分單位圓時(shí)，有相應(yīng)關(guān)系為：

sinα+sin（π＋α）=0，

cosα+cos（π＋α）＝0；

由此可以推知：

（1）三等分單位圓時(shí)的相應(yīng)關(guān)系為：____________________________

______________________________；

（2）n等分單位圓時(shí)的相應(yīng)關(guān)系為：____________________________

______________________________．

精妙解法 （1）sinα+sinα++sinα+=0；cosα+cosα++cosα+=0．

（2）sinα+sinα++sinα++sinα++…+sinα+=0；

cosα+cosα++cosα++cosα++…+cosα+=0．

金刊提醒

求解關(guān)于數(shù)列問(wèn)題的歸納類比推理問(wèn)題，往往是運(yùn)算之間呈現(xiàn)類比關(guān)系，而對(duì)于數(shù)列本身的性質(zhì)和元素來(lái)說(shuō)是不變的，因此，建議同學(xué)們熟練掌握數(shù)列的各個(gè)性質(zhì)、公式，具體求解中要注意對(duì)已知條件的分析，以及注意式子運(yùn)算的差異.