2012年高考數學沖刺金卷(四)

一、選擇題：理科共10小題，每小題5分，共50分；文科共12小題，每小題5分，共60分．

1． 已知復數z=，則復數z的共軛復數為（ ）

A． 1+i B． －1+i C． 1－i D． －1－i

2． 設集合P=｛3，log2a｝，Q=｛a，b｝，若P∩Q=｛0｝，則P∪Q等于（ ）

A． ｛3，0｝B． ｛3，0，1｝ C． ｛3，0，2｝ D． ｛3，0，1，2｝

3． （理）程序框圖如圖1所示，該程序運行后輸出的S的值是（ ）

A． 2B． －

C． －3 D．

（文）已知等比數列｛an｝中，a1=2，且有a4a6=4a，則a3等于（ ）

A． B． 1

C． 2 D．

4． （理）已知m，n，l為三條不同的直線，α，β為兩個不同的平面，則下列命題中正確的是（ ）

A． α∥β，mα，nβm∥n

B． l⊥β，α⊥βl∥α

C． m⊥α，m⊥nn∥α

D． α∥β，l⊥αl⊥β

（文）函數y=sinx+cosx的一條對稱軸是（ ）

A． x=B． x= C． x= D． x=

5． （理）橢圓+=1上一點P與橢圓的兩個焦點F1，F2的連線互相垂直，則△PF1F2的面積為（ ）

A． 20 B． 22 C． 24 D． 28

（文）程序框圖如圖2所示，該程序運行后輸出的S的值是（ ）

A． 2B． －

C． －3D．

6． （理）平面上有四個互異的點A，B，C，D，滿足（－）·（－）=0，則三角形ABC是（ ）

A． 直角三角形

B． 等腰三角形

C． 等腰直角三角形

D． 等邊三角形

（文）已知m，n為直線，α，β為平面，給出下列命題：

A． m⊥α，m⊥n n∥α B． m⊥β，n⊥βm∥n

C． m∥α，m∥βα∥β D． mα，nβ，α∥βm∥n

7． （理）已知函數f（x）=2x+x，g（x）=x+log2x，h（x）=x3+x的零點依次為a，b，c，則a，b，c的大小順序正確的是（ ）

A． b>c>aB． b>a>c C． a>b>c D． c>b>a

（文）平面上有三個互異的點A，B，C，滿足（+）·=0，則三角形ABC是（ ）

A． 直角三角形 B． 等腰三角形

C． 等腰直角三角形 D． 等邊三角形

8． （理）在樣本的頻率分布直方圖中， 共有9個小長方形， 若第一個長方形的面積為0．02， 前五個與后五個長方形的面積分別成等差數列且公差互為相反數，若樣本容量為160， 則中間一組（即第五組）的頻數為（ ）

A． 12B． 24 C． 36 D． 48

圖3

（文）橢圓+=1上一點P與橢圓的兩個焦點F1，F2的連線互相垂直，則△PF1F2的面積為（ ）

A． 20 B． 22 C． 24 D． 28

9． （理）已知x，y∈Z，n∈N，設f（n）是不等式組x≥1，0≤y≤－x+n 表示的平面區域內可行解的個數，由此可推出f（1）=1， f（2）=3，…， 則f（10）等于（ ）

A． 45 B． 55 C． 60 D． 100

（文）已知函數f（x）=2x+x，g（x）=x+log2x，h（x）=x3+x的零點依次為a，b，c，則a，b，c的大小順序正確的是（ ）

A． b>c>aB． b>a>c C． a>b>c D． c>b>a

10. （理）如圖4，正五邊形ABCDE的邊長為2，甲同學在△ABC中用余弦定理解得AC=，乙同學在Rt△ACH中解得AC=，據此可得cos72°的值所在區間為（ ）

A． （0.1，0.2）

B． （0.2，0.3）

C． （0.3，0.4）

D． （0.4，0.5）

（文）在樣本的頻率分布直方圖中，共有9個小長方形， 若第一個長方形的面積為0．02，前五個與后五個長方形的面積分別成等差數列且公差互為相反數，若樣本容量為160，則中間一組（即第五組）的頻數為（ ）

A． 12B． 24 C． 36 D． 48

圖5

11． （文）已知x，y∈Z，n∈N，設f（n）是不等式組x≥1，0≤y≤－x+n表示的平面區域內可行解的個數，由此可推出f（1）=1， f（2）=3，…， 則f（10）等于（ ）

A． 45 B． 55 C． 60 D． 100

12． （文）已知f（x）=1+x－+－+…+，若函數f（x）有唯一零點x1則有（ ）

A． x1∈（－2，－1） B． x1∈（－1，0）

C． x1∈（0，1） D． x1∈（1，2）

二、填空題：理科共5小題，每小題4分，共20分；文科共4小題，每小題4分，共16分．

11． （理）已知等差數列｛an｝中，a5=1，a3=a2+2，則S11=_______．

12． （理）一個幾何體的三視圖如圖6所示（單位長度：cm），則此幾何體的表面積是_______．

13． （理）如圖7放置的邊長為1的正方形ABCD的頂點A、D分別在x軸、y軸正半軸上（含原點）上滑動，則·的最大值是_______．

（文）二項式x3－的展開式中的常數項為_______．

14． （理）在曲線y=x2（x≥0）上的某點A處作一切線使之與曲線以及x軸所圍成的面積為，則切點A的坐標是_______．

（文）一個幾何體的三視圖如圖8所示（單位長度：cm），則此幾何體的表面積是_______．

15． （理）數學與文學之間存在著許多奇妙的聯系，如詩中有回文詩，數學有回文數． 有一種詩，順念倒念都有意思，稱這樣的詩為“回文詩”． 如：“云邊月影沙邊雁，水外天光山外樹”，倒過來讀，便是“樹外山光天外水，雁邊沙影月邊云”，其意境和韻味讀來真是一種享受！在正整數中，有一種數無論是從左往右，還是從右往左讀，都是同一個數，稱這樣的數為“回文數”． 如：88，454，7337，43534等都是回文數，讀起來還真有趣！

二位的回文數有11，22，33，44，55，66，77，88，99，共9個；

三位的回文數有101，111，121，131，…，969，979， 989，999，共90個；四位的回文數有1001，1111， 1221，…，9669，9779，9889，9999，共90個；由此推測：十位的回文數總共有___個．

（文）如圖9放置的邊長為1的正方形ABCD的頂點A、D分別在x軸、y軸正半軸上（含原點）上滑動，則·的最大值是_______．

16． （文）數學與文學之間存在著許多奇妙的聯系，如詩中有回文詩，數學有回文數． 有一種詩，順念倒念都有意思，稱這樣的詩為“回文詩”． 如：“云邊月影沙邊雁，水外天光山外樹”，倒過來讀，便是“樹外山光天外水，雁邊沙影月邊云”，其意境和韻味讀來真是一種享受！在正整數中，有一種數無論是從左往右，還是從右往左讀，都是同一個數，稱這樣的數為“回文數”． 如：88，454，7337，43534等都是回文數，讀起來還真有趣！

二位的回文數有11，22，33，44，55，66，77，88，99，共9個；

三位的回文數有101，111，121，131，…，969，979， 989，999，共90個；四位的回文數有1001，1111， 1221，…，9669，9779，9889，9999，共90個；由此推測：十位的回文數總共有______個．

三、解答題：理科共6小題，共80分；文科共6小題，共74分．

16． （本小題滿分13分）（理）

已知函數f（x）=sin2x－+2cos2x－1（x∈R）.

（1）求f（x）的單調遞增區間；

（2）在△ABC中， f（A）=，三內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知b，a，c成等差數列，且·=9，求a的值．

17． （本小題滿分13分）（理）

“石頭、剪刀、布”是一種廣泛流傳于我國民間的古老游戲，其規則是：用三種不同的手勢分別表示石頭、剪刀、布；兩個玩家同時出示各自手勢1次記為1次游戲，“石頭”勝“剪刀”，“剪刀”勝“布”，“布”勝“石頭”；雙方出示的手勢相同時，不分勝負． 現假設玩家甲、乙雙方在游戲時出示三種手勢是等可能的．

（1）求出在1次游戲中玩家甲勝玩家乙的概率；

（2）若玩家甲、乙雙方共進行了3次游戲，其中玩家甲勝玩家乙的次數記作隨機變量X，求X的分布列及其期望．

（本小題滿分12分）（文）

已知數列｛an｝是等差數列，｛bn｝是各項都為正數的等比數列，且a1=b1=1，a3+b5=21，a5+b3=13．

（1）求｛an｝，｛bn｝的通項公式；

（2）求數列的前n項和Sn．

18． （本小題滿分13分）（理）

如圖10，側棱垂直底面的三棱柱ABC－A1B1C1中，AB⊥AC，AA1+AB+AC=3，AB=AC=t（t>0），P是側棱AA1上的動點．

（1）當AA=AB=AC時，求證：AC⊥平面ABC；

（2）若二面角A－BC－C的平面角的余弦值為，試求實數t的值．

（本小題滿分12分）（文）已知函數f（x）=sin2x－+2cos2x－1（x∈R）.

（1）求f（x）的單調遞增區間；

（2）在△ABC中， f（A）=，三內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知b，a，c成等差數列，且·=9，求a的值．

19． （本小題滿分13分）（理）

已知橢圓C1、拋物線C2的焦點均在x軸上，C1的中心和C2的頂點均為原點O，從每條曲線上取兩個點，將其坐標記錄于表1中：

表1

（1）求C1和C2的標準方程．

（2）請問是否存在直線l滿足條件：

①過C2的焦點F；

②與C1交不同兩點M，N，且滿足⊥． 若存在，求出直線l的方程；若不存在，說明理由．

（本小題滿分12分）（文）

為適應新課程改革的需要，調動學生學習的興趣，拓寬學生學習的視野，某中學對高二年級理科、文科分別開設了三門選修課，學生是否選修哪門課互不影響，經過高二理科、文科各隨機抽取50人進行問卷調查，獲得數據如下：選修1門：理科15人、文科10人；選修2門：理科15人、文科25人；選修3門：理科20人、文科15人． 若總體按此規律分布：

（1）求理科所選門數x不少于文科所選門數y的概率；

（2）求事件“x+y≤4”的概率．

20． （本小題滿分14分）（理）

設f（x）=x3－2x2－4x－7．

（1）求f（x）的單調區間；

（2）當a>2時，證明：對任意的實數x>2且x≠a，恒有f（x）>f（a）+f ′（a）（x－a）；

（3）設x0是函數y=f（x）的零點，實數α滿足f（α）>0，β=α－，試探究實數α，β，x0的大小關系，并證明你的結論．

（本小題滿分12分）（文）

如圖11，側棱垂直底面的三棱柱ABC－A1B1C1中，AB⊥AC，AA1+AB+AC=3，AB=AC=t（t>0），P是側棱AA1上的動點．

（1）當AA1=AB=AC時，求證：A1C⊥平面ABC1；

（2）若P是側棱AA1上的一個動點，試用t表示三棱錐P－BCC1的體積V，并求V的最大值．

21． （本小題滿分14分）（理）

本題有（1）（2）（3）三個選答題，每題7分，請考生任選2題作答，滿分14分． 如果多做，那么按所做的前兩題記分．

（1）（本小題滿分7分）選修4-2：矩陣與變換

已知二階矩陣Ma 13 d有特征值λ=－1及對應的一個特征向量e1= 1－3．

（Ⅰ）求矩陣M；

（Ⅱ）設曲線C在矩陣M的作用下得到的方程為x2+2y2=1，求曲線C的方程．

（2）（本小題滿分7分）選修4-4：坐標系與參數方程

在直角坐標系xOy中，曲線C的參數方程為x=1+t2，y=2t2+1（t為參數），若圓P在以該直角坐標系的原點O為極點、x軸的正半軸為極軸的極坐標系下的方程為ρ2－4ρcosθ+3=0．

（Ⅰ）求曲線C的普通方程和圓P的直角坐標方程；

（Ⅱ）設點A是曲線C上的動點，點B是圓P上的動點，求AB的最小值．

（3）（本小題滿分7分）選修4-5：不等式選講

已知函數f（x）=x+1+x－2，不等式t≤f（ｘ）在R上恒成立．

（Ⅰ）求t的取值范圍；

（Ⅱ）記t的最大值為T，若正實數a，b，c滿足a2+b2+c2=T，求a+2b+c的最大值．

21． （本小題滿分13分）（文）

已知橢圓C過點（－2，0），，．

（1）求橢圓C的標準方程；

（2）過點（1，0）直線l與橢圓C交不同兩點M，N且滿足⊥，求直線l的方程．

22． （本小題滿分13分）（文）

設f（x）=x3－2x2－4x－7．

（1）求f（x）的單調區間；

（2）確定方程f（x）=0的根的一個近似值，使其誤差不超過0.5，并說明理由；

（3）當a>2時，證明：對任意的實數x>2，恒有f（x）≥f（a）+f ′（a）（x－a）．