2012年高考數學沖刺金卷(三)

一、選擇題：理科共8小題，每小題5分，共40分；文科共9小題，每小題5分，共45分．

1． （理）已知集合A=｛xx（2－x）>0）｝，B=｛yy=｝，則A∩B等于（ ）

A． B． ｛x0

C． ｛xx>0｝ D． ｛x－2≤x≤2｝

（文）已知復數z1=2+i，z2=1－i，則z=z1·z2在復平面上對應的點位于（ ）

A． 第一象限 B． 第二象限

C． 第三象限 D． 第四象限

2． （理）若p：（x2+x+1）≥0，q：x≥－2，則p是q的（ ）

A． 充分而不必要條件 B． 必要而不充分條件

C． 充要條件 D． 既不充分也不必要條件

（文）若集合A=｛x－2

A． ｛０，１｝Ｂ． ｛１｝ Ｃ． （１，２） Ｄ． ［０，２）

3． （理）如果復數z=（a+2i）（1+i）的模為4，則實數a的值為（ ）

A． 2B． 2 C． ±2 D． ±2

（文）已知命題p：x∈R，x2+x－1<0，則命題p的否定是（ ）

A． x∈R，x2+x－1≥0 B． x∈R，x2+x－1>0

C． x∈R，x2+x－1≥0 D． x∈R，x2+x－1<0

4． （理）若（ax－1）5的展開式中x3的系數是80，則實數a的值為（ ）

A． 2B． 2 C． D． －2

（文）直線l經過A（1，0），B（0，）兩點，那么直線l的傾斜角等于（ ）

A． πB． π C． D．

5． （理）如圖1所示，在棱長為2的正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F分別為DD1，DB的中點，則以下結論中錯誤的是（ ）

A． B1C∥平面ADD1A1

B． B1C⊥EF

C． 三棱錐B1－EFC的體積為1

D． B1C與平面CC1D1D所成的角為30°

（文）某幾何體的三視圖如圖2，則該幾何體的體積是（ ）

A． 12B． 16

C． 48D． 64

6． （理）已知雙曲線－=1，直線l過其左焦點F1，交雙曲線左支于A，B兩點，且AB=4，F2為雙曲線的右焦點，△ABF2的周長為20，則M的值為（ ）

A． 20B． 16 C． 9 D． 8

（文）若曲線f（x）=xsinx+1在x=處的切線與直線ax+2y+1=0互相垂直，則實數a等于（ ）

A． －2B． －1 C． 1 D． 2

7． （理）在等比數列｛an｝中，a1=1，a2012=4，函數f（x）=x（x－a1）（x－a2）…（x－a2012），則函數y=f（x）在點（0，0）處的切線方程為（ ）

A． y=2011xB． y=22011x C． y=2012x D． y=22012x

（文）方程－x－2=0的根所在的區間為（ ）

A． （－1，0）B． （0，1） C． （1，2） D． （2，3）

8． （理）點Q在x軸上，若存在過Q的直線交函數y=2x的圖象于A，B兩點，滿足=，則稱點Q為“Ω點”，那么下列結論中正確的是（ ）

A． x軸上所有的點都是“Ω點”

B． x軸上僅有有限個點是“Ω點”

C．x軸上所有的點都不是“Ω點”

D． x軸上有無窮多個點（但不是所有的點）是“Ω點”

（文）已知雙曲線－=1，直線l過其左焦點F1，交雙曲線左支于A，B兩點，且AB=4，F2為雙曲線的右焦點，△ABF2的周長為20，則M的值為（ ）

A． 20 B． 16 C． 9 D． 8

9． （文）設O為坐標原點，點A（1，1），若點B（x，y）滿足x2+y2－2x－2y+1≥0，1≤x≤2，1≤y≤2，則·取得最小值時，點B的個數是（ ）

A． 1B． 2 C． 3 D． 無數個

二、填空題：理科共8小題，考生作答7小題，每小題5分，共35分；文科共7小題，考生作答6小題，每小題5分，共30分．

（一）選做題（請理科考生在9、10、11三題中任選兩題作答，如果全做，那么按前兩題記分；請文科考生在10、11兩題中任選一題作答，如果全做，那么按第10題記分）

9． （理）（坐標系與參數方程選講）已知圓C的極坐標方程為ρ=2cosθ，直線l的極坐標方程為ρcosθ－2ρsinθ+7=0，則圓心C到直線l的距離是_________．

10． （理）（不等式選講）函數y=+的最大值為_________．

（文）（坐標系與參數方程選講）已知圓C的極坐標方程為ρ=2cosθ，直線l的極坐標方程為ρcosθ－2ρsinθ+7=0，則圓心C到直線l的距離是_________．

11． （優選法選講）李先生是位愛好品茶的人，現在他對泡黑茶時的開水的溫度用分數法進行優選，已知試驗范圍為（71°C，92°C），精確度要求為±1°C，則第1個試驗點應為_________°C．

（二）必做題（12～16題）

12． （理）在△ABC中，已知·=4，·=－12，則=_________．

（文）在△ABC中，a，b，c分別是角A，B，C所對的邊，A=，a=，c=1，則△ABC的面積S=________．

13． 在一次運動員的選拔中，測得到7名選手身高（單位：cm）分布的莖葉圖如圖3． 已知記錄的平均身高為174 cm，但有一名候選人的身高記錄不清楚，其末位數記為x，那么x的值為________．

14． （理）如圖執行程序框圖（如圖4），那么輸出的S值為_________．

（文）給出如圖5所示的程序框圖，那么輸出的數是________．

圖4 圖5

15． （理）已知Ω=｛（x，y）x≤1且y≤1｝，X是曲線y=x3－x與x軸所圍成的封閉區域． 區域X的面積等于________． 現向區域Ω內隨機擲點，則點落在區域X內的概率為_________．

（文）若方程x2－ax+4=0在區間［1，4］上有實數解，則實數a的取值范圍是_________．

16． （理）對正整數n，設x是關于x的方程nx3+2x－n=0的實數根，記an=［（n+1）xn］（n=2，3，…）（符號［x］表示不超過x的最大整數），則a2=___________，（a2+a3+…+a2012）=____________．

（文）已知函數f（x）=［x［x］］（n

（1）f（3.67）=_________；

（2）數列｛an｝的通項公式an=_________．

三、解答題：本大題共6小題，共75分．

17． （本小題滿分12分）（理）在△ABC中，a，b，c分別是角A，B，C的對邊，且（2a+c）cosB+bcosC=0．

（1）求角B的值；

（2）已知函數f（x）=2cos（2x－B），將f（x）的圖象向左平移個單位長度后得到函數g（x）的圖象，求g（x）的單調增區間．

（文）已知函數f（x）=sin（ωx+φ）（ω>0，0<φ<π）的最小正周期為π，且函數f（x）的圖象過點，－1．

（1）求ω和φ的值；

（2）設g（x）=f（x）+f－x，求函數g（x）的單調遞增區間．

18． （本小題滿分12分）（理）

某班同學利用五一假期進行社會實踐，對［25，55］歲的人群隨機抽取n人進行了一次生活習慣是否符合低碳觀念的調查，若生活習慣符合低碳觀念的稱為“低碳族”，否則稱為“非低碳族”，得到如下統計表和各年齡段人數頻率分布直方圖：

表1

圖6

（1）補全頻率分布直方圖并求n、a、p的值；

（2）從［40，50）歲年齡段的“低碳族”中采用分層抽樣法抽取18人參加戶外低碳體驗活動，其中選取3人作為領隊，記選取的3名領隊中年齡在［40，45）歲的人數為X，求X的分布列和期望EX．

（文）某班50名學生在一次百米測試中，成績全部介于13秒與18秒之間，將測試結果按如下方式分成五組：第一組［13，14），第二組［14，15），…，第五組［17，18］，圖7是按上述分組方法得到的頻率分布直方圖．

（1）若成績大于或等于14秒且小于16秒認為良好，求該班在這次百米測試中成績良好的人數；

（2）若從第一、五組中隨機取出兩個成績，求這兩個成績的差的絕對值大于1的概率．

19． （本小題滿分12分）（理）

如圖8，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB=BC=2AA1，∠ABC=90°，D是BC的中點．

（1）求證：A1B∥平面ADC1；

（2）求二面角C1－AD－C的余弦值；

（文）如圖9，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝1，AC＝2，BC＝，D，E分別是AC1和BB1的中點．

（1）證明：DE∥平面ABC；

（2）求直線DE與平面BB1C1C所成的角．

20． （本小題滿分13分）

（理）如圖10，有一塊邊長為1 km的正方形區域ABCD，在點A處有一個可轉動的探照燈，其照射角∠PAQ始終為45°（其中點P，Q分別在邊BC，CD上），設∠PAB=θ，tanθ=t．

（1）用t表示出PQ的長度，并探求△CPQ的周長l是否為定值；

（2）問探照燈照射在正方形ABCD內部區域的面積S的最大值是多少．

（文）某旅游景點2011年利潤為100萬元，因市場競爭，若不開發新項目，預測從2011年起每年利潤比上一年減少4萬元． 2012年初，該景點一次性投人90萬元幵發新項目，預測在未扣除開發所投入資金的情況下，第n年（n為正整數，2012年為第1年）的利潤為1001+萬元． 設從2012年起的前n年，該景點不開發新項目的累計利潤為A萬元，開發新項目的累計利潤為Bn萬元（須扣除開發所投入資金）．

（1）求An，Bn的表達式;

（2）問該新項目的開發是否有效（即開發新項目的累計利潤超過不開發新項目的累計利潤），如果有效，從第幾年開始有效；如果無效，請說明理由．

21． （本小題滿分13分）

（理）已知點M是離心率為的橢圓C：+=1（a>b>0）上一點，過點M作直線MA，MB交橢圓C于A，B兩點，且斜率分別為k1，k2．

（1）若點A，B關于原點對稱，求k1·k2的值；

（2）若點M的坐標為（0，1），且k1+k2=3，求證：直線AB過定點，并求直線AB的斜率k的取值范圍．

（文）已知橢圓C的中心在原點，左焦點為（－，0），離心率為． 設直線l與橢圓C有且只有一個公共點P，記點P在第一象限時直線l與x軸、y軸的交點分別為A，B，且向量=+． 求：

（1）橢圓C的方程；

（2）的最小值及此時直線l的方程．

22． （本小題滿分13分）

（理）已知函數f（x）=lnx， 其導函數為f ′（x），令φ（x）=f ′（x）．

（1）設g（x）=f（x+a）+φ（x+a），求函數g（x）的極值．

（2）設Sn=φ1+，T=φ1+，n∈N.

（i）求證：

（ii）是否存在正整數n0，使得當n>n0時，都有0<－ln2<成立？若存在，求出一個滿足條件的n的值；若不存在，請說明理由．

（文）已知函數f（x）=ax2+lnx（a∈R）．

（1）當a=時，求f（x）在區間［1，e］上的最大值和最小值．

（2）如果函數g（x）， f（x）， f（x）在公共定義域D上，滿足f（x）