2012年高考數(shù)學(xué)沖刺金卷(六)

一、選擇題：理科共8小題，每小題5分，共40分；文科共10小題，每小題5分，共50分．

1． 已知復(fù)數(shù)z滿(mǎn)足（1+i）z=1－i，則z等于（ ）

A． 1－iB． 1+i C． i D． －i

2． 設(shè)U=R，M=xy=，N=yy=，則CU（M∩N）等于（ ）

A． （1，+∞） B． ［1，+∞）

C． ｛0｝∪［1，+∞） D． ｛0｝∪（1，+∞）

3． 等差數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)和為Sn，已知a2=8，S2=6，則S3的值是（ ）

A． 16B． 24 C． 30 D． 36

4． “m=－2”是“直線2x+（m－1）y+1=0與直線（m2－1）x+2y－3=0相互垂直”的（ ）

A． 充分不必要條件 B． 必要不充分條件

C． 充要條件 D． 既不充分也不必要條件

5． 下列函數(shù)中，最小正周期為π，且圖象關(guān)于直線x=對(duì)稱(chēng)的是（ ）

A． y=sin2x+ B． y=sin2x－

C． y=sin－ D． y=sin+

6． 如圖1所示，A，B，C是圓O上的三個(gè)點(diǎn)，++=0，CO的延長(zhǎng)線與線段AB交于圓內(nèi)一點(diǎn)D，若圓O的半徑是2，則AB等于（ ）

A． B． 2

C． D． 2

7． 函數(shù)y=3的圖象大致是（ ）

A B C D

8． （理）已知平面直角坐標(biāo)系xOy上的區(qū)域D由不等式組2x+y≥10，0≤x≤4，0≤y≤8給定，若M（x1，y1）和N（x2，y2）為D上的動(dòng)點(diǎn)，則z=·的最大值為（ ）

A． 65B． 80 C． 100 D． 101

（文）已知平面直角坐標(biāo)系xOy上的區(qū)域D由不等式組2x+y≥10，0≤x≤4，0≤y≤8給定，若M（x，y）為D上的動(dòng)點(diǎn)，則z=x+y的最小值為（ ）

A． 5B． 6 C． 9 D． 12

9． （文）沿一個(gè)正方體三個(gè)面的對(duì)角線截得的幾何體如圖2所示，則該幾何體的左視圖為（ ）

A B C D 圖2

10． （文）已知凸函數(shù)的性質(zhì)定理：“若函數(shù)f（x）在區(qū)間D上是凸函數(shù)，則對(duì)于區(qū)間D內(nèi)的任意x1，x2，…，xn，有：［f（x1）+f（x2）+…+f（xn）］≤f”，若函數(shù)y=sinx在區(qū)間（0，π）上是凸函數(shù)，則在△ABC中，sinA+sinB+sinC的最大值是（ ）

A． B． C． D．

二、填空題：理科共7小題，共30分；文科共4小題，共20分． 其中14～15題，考生只能從中選做一題

9． （理）（1－x）x+展開(kāi)式中x4的系數(shù)為_(kāi)______（用數(shù)字作答）．

10． （理）已知f（x）=x－2－x+2，則不等式f（x）>3的解集是______．

11． 已知雙曲線－=1的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，離心率e=2，且它的一個(gè)頂點(diǎn)與拋物線y2=－8x的焦點(diǎn)重合，則此雙曲線的方程為_(kāi)____________．

12． 已知程序框圖如圖3，則輸出的S=_________．

圖3 圖4 圖5

13． （理）如圖4所示，A、B、C和D為海上的四個(gè)小島，要建三座橋，將這四個(gè)小島連接起來(lái)，則不同的建橋方案共有_________種．

（文）已知cos=，coscos=，coscos·cos=，coscoscoscos=，…，根據(jù)這些結(jié)果，猜想出一般結(jié)論是________．

14． （幾何證明選講選做題）如圖5，AB是圓O的直徑，直線CE與圓O相切于點(diǎn)C，AD⊥CE于點(diǎn)D，若圓O的面積為4π，∠ABC=30°，則AD的長(zhǎng)為_(kāi)________．

15． （坐標(biāo)系與參數(shù)方程選做題）在極坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為2，，曲線C的方程為ρ=2cosθ，則OA（O為極點(diǎn)）所在直線被曲線C所截弦的長(zhǎng)度為_(kāi)________．

三、解答題：本大題共6小題，共80分．

16． （本小題滿(mǎn)分12分）

已知函數(shù)f（x）=sin2x－2sin2x（x∈0，）．

（1）求函數(shù)f（x）的值域；

（2）求函數(shù)f（x）的零點(diǎn)．

17． （本小題滿(mǎn)分12分）

為考察某學(xué)校高中生的性別與是否喜歡數(shù)學(xué)課程之間的關(guān)系，隨機(jī)抽取該校高中生250名，得到二維條形圖．

圖6

（1）根據(jù)二維條形圖，對(duì)2×2列聯(lián)表填空． 若分別從男同學(xué)和女同學(xué)中隨機(jī)選取一名同學(xué)擔(dān)任數(shù)學(xué)通訊員，那么選出的兩人恰好都是喜歡數(shù)學(xué)的概率是多少？

（2）（理）從不喜歡數(shù)學(xué)的同學(xué)中選2人，其中有ξ人是女同學(xué)，求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望；

（文）在多大程度上可以認(rèn)為“性別與喜歡數(shù)學(xué)有關(guān)系”？

參考:K2=

18． （本小題滿(mǎn)分14分）

如圖7，A是以BC為直徑的圓上的一點(diǎn)，DC⊥平面ABC，DE∥CA，BC=DC=2AC=4DE=4．

（1）證明：BA⊥平面ACDE．

（2）（理）求二面角B－DE－A的余弦值；

（文）求點(diǎn)C到平面BDE的距離．

19． （本小題滿(mǎn)分14分）

橢圓E：+=1（a>b>0）的離心率e=，F(xiàn)1（－2，0）和F2（2，0）是它的焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)F1直線l與橢圓E相交于A，B兩點(diǎn)．

（1）求橢圓E的方程．

（2）（理）是否存在直線l，滿(mǎn)足點(diǎn)F2在以AB為直徑的圓上？若存在，求出直線l的方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

（文）當(dāng)BF1－AF2取最大值時(shí)，求過(guò)A，B及橢圓E的上頂點(diǎn)C（0，b）的圓的方程．

20． （本小題滿(mǎn)分14分）

已知函數(shù)f（x）的圖象是在［a，b］上連續(xù)不斷的曲線，定義：

f（x）=min｛f（t）a≤t≤x，x∈［a，b］｝，

f（x）=max｛f（t）a≤t≤x，x∈［a，b］｝，

其中min｛f（x）x∈D｝表示函數(shù)f（x）在D上的最小值，max｛f（x）x∈D｝表示函數(shù)f（x）在D上的最大值． 若存在最小正整數(shù)k，使得f（x）－f（x）≤k（x－a）對(duì)任意的x∈［a，b］成立，則稱(chēng)函數(shù)f（x）為［a，b］上的“k階收縮函數(shù)”．

（1）試判斷函數(shù)f（x）=x2－1是否為［1，2］上的“k階收縮函數(shù)”． 如果是，請(qǐng)求出k的值；如果不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．

（2）已知函數(shù)g（x）=－x3+3x2是［0，b］上的“2階收縮函數(shù)”，求b的取值范圍．

21． （本小題滿(mǎn)分14分）

已知y=f（x）是定義域?yàn)椋?，+∞）的單調(diào)遞增函數(shù)，且對(duì)任意的正數(shù)x，y，均有f（xy）=f（x）+f（y），各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列｛an｝滿(mǎn)足：f（Sn）=fan+f（a+1），其中Sn為數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)和．

（1）求數(shù)列｛an｝的通項(xiàng)公式．

（2）（理）求證：ln（n+1）<<2（n∈N）；

（文）已知Sn為數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)和，若對(duì)于任意的實(shí)數(shù)λ∈［0，1］，總存在自然數(shù)k，當(dāng)n≥k時(shí)，Sn－n－2≥（1－λ）（an－1）恒成立，求k的最小值．

（3）（理）設(shè)Tn是數(shù)列｛2｝前n項(xiàng)的和，

證明：當(dāng)n≥3時(shí)，++…+<．