2012年高考必做創(chuàng)新題——定義信息題

集合運算型

（★★★）必做1 對于任意的兩個正數(shù)m，n，定義運算⊙：當m，n都為偶數(shù)或奇數(shù)時，m⊙n=；當m，n為一奇一偶時，m⊙n=，設(shè)集合A=｛（ａ，ｂ）ａ⊙ｂ＝６，ａ，ｂ∈N｝，則集合A中的元素個數(shù)為_____．

精妙解法 由題意得，（1）當a，b都為偶數(shù)或都為奇數(shù)時，=6a+b=12，此時a，b∈｛｛2，10｝，｛4，8｝，｛6｝｝或a，b∈｛｛1，11｝，｛3，9｝，｛5，7｝｝，符合題意的點（a，b）有（2×2＋1）+3×2=11個；

（2）當a，b為一奇一偶時，=6ab=36，此時a，b∈｛｛1，36｝，｛3，12｝，｛4，9｝｝，符合題意的點（a，b）有3×2=6個．

綜上，集合A中的元素共有17個．

極速突擊 解決此類問題常分為三大步驟：（1）對新定義進行信息提取，確定化歸的方向；（2）對新定義所提取的信息進行加工，探求解決方法；（3）對定義中提出的知識進行轉(zhuǎn)換，有效地輸出，其中對定義信息的提取和化歸轉(zhuǎn)化是解題的關(guān)鍵，也是解題的難點．

金刊提醒

集合的創(chuàng)新題常以定義新的運算為主. 由于集合知識本身不難，故此類試題一般難度不大，屬于易得分題目，但在求解過程中，有些同學卻“大意失荊州”. 為此，大家要注意兩點. 首先，此類試題一般都不會再延續(xù)集合的原有運算，但是如果涉及集合，則集合中元素的性質(zhì)是不可丟失的，故要注意對集合中元素性質(zhì)的應(yīng)用. 其次，此類試題還以考查邏輯思維能力為主，一般不會存在較大量的計算，故在求解過程中要重視審題，重視對定義的理解和運用.

函數(shù)性質(zhì)型

（★★★★）必做2 設(shè)函數(shù)y＝f（x）在（a，b）上的導(dǎo)數(shù)為f ′（x）， f ′（x）在（a，b）上的導(dǎo)數(shù)為f ″（x），若在（a，b）上，f ″（x）<0恒成立，則稱函數(shù)f（x）在（a，b）上為“凸函數(shù)”，若函數(shù)f（x）＝x4－mx3－x2為區(qū)間（－1，3）上的“凸函數(shù)”，則m的值為_____．

精妙解法 由函數(shù)f（x）＝x4－mx3－x2得， f ′（x）＝x3－mx2－3x，f ″（x）＝x2－mx－3． 若f（x）為區(qū)間（－1，3）上的“凸函數(shù)”，則有f ″（x）＝x2－mx－3<0在區(qū)間（－1，3）上恒成立． 由二次函數(shù)的圖象知，當且僅當f ″（-1）=1+m-3≤0f ″（3）=9-3m-3≤0，即m≤2m≥2，得m＝2．

極速突擊 此類試題內(nèi)容不多，而且給出的信息定義也比較明確易懂，求解此類試題的關(guān)鍵在于尋找“類比”的對象，即將所求問題類比為所掌握的熟悉的試題類型，從而能夠應(yīng)用已有的思想方法進行求解，保證解題的準確性和效率．

（★★★）必做3 若直角坐標平面內(nèi)兩點P，Q滿足條件：①P，Q都在函數(shù)f（x）的圖象上；②P，Q關(guān)于原點對稱，則稱點對（P，Q）是函數(shù)f（x）的一個“友好點對”（點對（P，Q）與（Q，P）看做同一個“友好點對”）． 已知函數(shù)f（x）=2x2+4x+1，x<0，，x≥0，則f（x）的“友好點對”有_____個．

精妙解法 由題意，在函數(shù)f（x）=上任取一點A（a，b），則該點關(guān)于原點對稱的點B（－a，－b）在函數(shù)f（x）=2x2+4x+1上，故b=，－b=2a2－4a+1，所以有=－2a2+4a－1（a≥0）． 令g（x）=，h（x）=－2x2+4x－1（x≥0），由圖象可知：f（x）的“友好點對”有2個．

極速突擊 解答的關(guān)鍵在于對“友好點對”的正確理解，合理地利用圖象法解決．

金刊提醒

函數(shù)性質(zhì)型的創(chuàng)新試題，在很大程度上都是在已有函數(shù)性質(zhì)的基礎(chǔ)上進行研究的. 因此，熟練掌握和應(yīng)用基本初等函數(shù)的圖象及性質(zhì)是求解此類題型的關(guān)鍵. 在具體的求解過程中同學們要熟練地應(yīng)用各類數(shù)學方法，如排除法、特殊值法、圖象法等，而且要能夠應(yīng)用相應(yīng)的數(shù)學思想解題，還要能應(yīng)用轉(zhuǎn)化的數(shù)學方法，將新題型轉(zhuǎn)化為熟悉的題型進行求解.

數(shù)列定義型

（★★★）必做4 在一個數(shù)列中，若每一項與它的后一項的積都為同一個常數(shù)（有限數(shù)列的最后一項除外），則稱該數(shù)列為等積數(shù)列，其中的常數(shù)稱為公積． 若數(shù)列是等積數(shù)列，且a10=2，公積為6，則a1·a5·a9…a2005=__________．

精妙解法 先對等積數(shù)列進行一般性的探討． 設(shè)｛an｝是等積數(shù)列，公積為m，則由等積數(shù)列的定義知，數(shù)列｛an｝的各項依次為a1，，a1，，…，即an=a1，n為奇數(shù)，，n為偶數(shù).由2005=1+（n－1）·4可得：n=502． 又因為a10=2，公積為6，所以a1=3，a1·a5·a9…a2005=3502．

極速突擊 抓住給出的信息，觀察數(shù)列的規(guī)律，總結(jié)出項數(shù)與項之間的關(guān)系，求出通項公式．

（★★★★）必做5 設(shè)m>3，對于有窮數(shù)列｛an｝（n=1，2，…，m）， 令bk為a1，a2，…，ak中的最大值，稱數(shù)列｛bn｝為｛an｝的“創(chuàng)新數(shù)列”． 數(shù)列｛bn｝中不相等項的個數(shù)稱為｛an｝的“創(chuàng)新階數(shù)”． 例如數(shù)列2，1，3，7，5的創(chuàng)新數(shù)列為2，2，3，7，7，創(chuàng)新階數(shù)為3．

考察自然數(shù)1，2，…，m（m>3）的所有排列，將每種排列都視為一個有窮數(shù)列｛cn｝．

（1）若m=5，寫出創(chuàng)新數(shù)列為3，4，4，5，5的所有數(shù)列｛cn｝.

（2）是否存在數(shù)列｛cn｝，使它的創(chuàng)新數(shù)列為等差數(shù)列？若存在，求出所有的數(shù)列｛cn｝，若不存在，請說明理由.

（3）在創(chuàng)新階數(shù)為2的所有數(shù)列｛cn｝中，求它們的首項的和．

精妙解法 （1）由題意，創(chuàng)新數(shù)列為3，4，4，5，5的數(shù)列｛cn｝有兩個，即：

數(shù)列3，4，1，5，2；數(shù)列3，4，2，5，1．

（2）存在數(shù)列｛cn｝，它的創(chuàng)新數(shù)列為等差數(shù)列．

設(shè)數(shù)列｛cn｝的創(chuàng)新數(shù)列為｛en｝（n=1，2，…，m），因為em為c1，c2，…，cm中的最大值． 所以em=m．

由題意知：ek為c1，c2，…，ck中最大值，ek+1為c1，c2，…，ck，ck+1中最大值，所以ek≤ek+1，且ek∈｛1，2，…，m｝． 若｛en｝為等差數(shù)列，設(shè)其公差為d，則d=ek+1－ek≥0，且d∈N，當d=0時，｛en｝為常數(shù)列，又em=m，所以數(shù)列｛en｝為m，m，…，m，此時數(shù)列｛cn｝是首項為m的任意一個符合條件的數(shù)列；

當d=1時，因為em=m，所以數(shù)列｛en｝為1，2，3，…，m，此時數(shù)列｛cn｝是1，2，3，…，m；

當d≥2時，因為em=e1+（m－1）d≥e1+（m－1）×2=2m－2+e1，又m>3，e1>0，所以em>m，這與em=m矛盾，所以此時｛en｝不存在，即不存在｛cn｝使得它的創(chuàng)新數(shù)列為d≥2的等差數(shù)列． 綜上，當數(shù)列｛cn｝為：

（1）首項為m的任意符合條件的數(shù)列；

（2）數(shù)列1，2，3，…，m時，它的創(chuàng)新數(shù)列為等差數(shù)列．

（3）設(shè)｛cn｝的創(chuàng)新數(shù)列為｛en｝（n=1，2，…，m），由（2）知，em=m，由題意，得e1=c1，所以當數(shù)列｛cn｝的創(chuàng)新階數(shù)為2時，｛en｝必然為c1，c1，…，c1，m，m，…，m（其中c1

金刊提醒

數(shù)列的定義、等差數(shù)列的定義、等比數(shù)列的定義是高考對數(shù)列考查的重點內(nèi)容之一，但是單純地考查已經(jīng)遠遠不能滿足課標中對能力的要求，故常常會以一種信息題的方式加以考查，但是只要我們抓住數(shù)列定義的本質(zhì)，則可“以不變應(yīng)萬變”，順利求解. 關(guān)于數(shù)列問題建議同學們熟練地掌握各個數(shù)列定義的同時，還要能夠熟練掌握和應(yīng)用相關(guān)的性質(zhì)，也要能夠掌握常見題型的解法，同時注意類比思維能力的培養(yǎng)，注重從多角度來思考問題.

其他類型

（★★★）必做6 若自然數(shù)n使得作豎式加法n+（n+1）+（n+2）均不產(chǎn)生進位現(xiàn)象，則稱n為“良數(shù)”． 例如：32是“良數(shù)”，因32+33+34不產(chǎn)生進位現(xiàn)象；23不是“良數(shù)”，因23+24+25產(chǎn)生進位現(xiàn)象． 那么，小于1000的“良數(shù)”的個數(shù)為（ ）

A． 27B． 36 C． 39 D． 48

精妙解法 首先考慮個位，個位上的數(shù)字式相連續(xù)的三個數(shù)字之和，要滿足其要求，只需滿足n+（n+1）+（n+2）<10，所以個位僅能取0，1，2． 再考慮百位和十位，由定義可知，百位和十位分別是相同的數(shù)，故都滿足3n<10，所以百位和十位可以取0，1，2，3． 所以良數(shù)有4×4×3=48種，故選D．

極速突擊 本題本質(zhì)上屬于排列組合的信息題，求解過程中要考慮特殊元素和位置，滿足特殊優(yōu)先的原則． 求解此類問題首先要做的就是“對號”，即是將問題歸類為相應(yīng)的知識模塊，其次是利用相應(yīng)的模塊知識進行求解．很多的信息題不過是在原有的問題的基礎(chǔ)上披了一件“新衣服”，我們要得到問題的實質(zhì)就必須通過觀察、研究去發(fā)現(xiàn)問題的本質(zhì)，還原其本來的面目．

（★★★★）必做7 對于直角坐標平面內(nèi)的任意兩點A（x1 ，y1 ），B（x2 ，y2 ），定義它們之間的一種“距離”： AB=x2－x+y－y. 給出下列三個命題：

①若點C在線段AB上，則AC+CB=AB；

②在△ABC中，若∠C=90°，則AC2+CB2=AB2；

③在△ABC中，AC+CB>AB．

其中真命題是________．

精妙解法 對于直角坐標平面內(nèi)的任意兩點A（x1，y1），B（x2，y2），定義它們之間的一種“距離”：AB=x2－x+y－y.

①若點C在線段AB上，設(shè)C點坐標為（x0，y0），x0在x1，x2之間，y在y，y之間，則AC+CB=x0－x1+y－y+x2－x0+y－y=x2－x+y－y=AB.

③在△ABC中，AC+CB=x0－x1+y－y+x2－x0+y－y＞（x0－x1）+（x2－x0）+（y－y）+（y－y）=x2－x+y－y=AB.

所以命題①③成立，而命題②在△ABC中，若∠C=90°，則AC2+CB2=AB2，明顯不成立．

極速突擊 對于此題中的新概念，對閱讀理解能力有一定的要求． 但是，透過現(xiàn)象看本質(zhì)，命題①中的本質(zhì)是三點共線，點C在線段AB之間，①顯然成立；命題③由兩邊之和大于第三邊，顯然成立． 它們考查的還是基礎(chǔ)數(shù)學知識，所以說“新題”不一定是“難題”，掌握好三基，以不變應(yīng)萬變才是我們的制勝法寶．

金刊提醒

新定義型的信息題，可依附于很多的知識進行命制，常見的分為七類，涉及了集合、函數(shù)、數(shù)列、程序框圖、向量、排列組合、概率.求解這些類題型的共同點：（1）審題. 通過審題要能夠準確地理解定義、獲取題中有利于解題的條件；（2）轉(zhuǎn)化. 是將問題轉(zhuǎn)化為所熟悉的問題類型；（3）應(yīng)用邏輯分析能力、發(fā)散思維能力各類數(shù)學思想和方法進行求解問題.