2012年高考必做解答題——概率統計題

隨機事件的概率、古典概型和幾何概型

（★★★★★）必做1 某人居住在城鎮的A處，準備開車到單位上班，若該地各路段發生堵車事件都是相互獨立的，且在同一路段發生堵車事件最多只有一次，發生堵車時間的概率如圖1（例如A→C→D算兩個路段：路段AC發生堵車事件的概率為，路段CD發生堵車事件的概率為）．請你為其選擇一條由A至B的線路，使途中發生堵車的概率最?。?/p>

圖1

精妙解法 由A至B的線路有三種選擇：A→C→D→B，A→C→F→B，A→E→F→B． 按線路A→C→D→B來走，發生堵車的可能包括：三個路段中恰有一個發生堵車，或恰有兩個發生堵車，或三個均發生堵車，其反面為三個路段均不發生堵車事件． 故途中發生堵車的概率為：1－1－·1－1－=. 同理，按線路A→C→F→B來走，途中發生堵車的概率為：1－1－1－1－=；按線路A→E→F→B來走，途中發生堵車的概率為：1－1－1－·1－=． 由于>>，故選擇A→C→F→B的線路，途中發生堵車的概率最?。?/p>

（★★★★★）必做2 某市有A、B兩所示范高中響應政府號召，對該市甲、乙兩個教育落后地區開展支教活動． 經上級研究決定：向甲地派出3名A校教師和2名B校教師，向乙地派出3名A校教師和3名B校教師． 由于客觀原因，需從擬派往甲、乙兩地的教師中各自任選一名互換支教地區．

（1）求互換后兩校派往兩地區教師人數不變的概率；

（2）求互換后A校教師派往甲地區人數不少于3名的概率．

精妙解法 （1）記“互換后派往兩地區的兩校的教師人數不變”為事件E，有以下兩種情況：

①互換的是A校的教師，記此事件為E1，則P（E1）=·=；

②互換的是B校的教師，記此事件為E2，則P（E2）=·=． 則互換后派往兩地區的兩校的教師人數不變的概率為P（E）=P（E1）+P（E2）=+=．

（2）令“甲地區A校教師人數不少于3名”為事件F，包括兩個事件：“甲地區A校教師人數有3名”設為事件F1；“甲地區A校教師人數有4名”設為事件F2，且事件F1，F2互斥． 則P（F1）=·+·=；P（F2）=·=． 甲地區A校教師人數不少于3名的概率為P（F）=P（F1）+P（F2）=+=．

（★★★★★）必做3 已知函數f（x）=x3－（a－1）x2+b2x，其中a，b為實常數，

（1）若任取a∈｛0，1，2，3，4｝，b∈｛0，1，2，3｝，求函數f（x）在R上是增函數的概率；

（2）若任取a∈［0，4］，b∈［0，3］，求函數f（x）在R上是增函數的概率．

破解思路 函數在R上單調遞增，說明其導數值不小于零是條件． 第1問中（a，b）取值個數有限，是古典概型；第2問中（a，b）的取值個數無限，是幾何概型，把（a，b）看做坐標平面上的點，就構造出了基本事件所在的面，只要算出隨機事件在這個面內占有的面積即可．

精妙解法 f ′（x）=x2－2（a－1）x+b2．

若函數f（x）在R上是增函數，則f ′（x）≥0在R上恒成立，所以對f ′（x）=x2－2（a－1）x+b2，恒有Δ=4（a－1）2－4b2≤0，即a－1≤b

（1）設“f（x）在R上是增函數”為事件A，其對應區域為｛（a，b）a－1≤b｝． 因為a∈｛1，2，3，4｝，b∈｛1，2，3｝，所以（a，b）的所有可能為：（1，1），（1，2），（1，3），（2，1），（2，2），（2，3），（3，1），（3，2），（3，3），（4，1），（4，2），（4，3），共計12種． 那么滿足“f ′（x）≥0恒成立的要求”的（a，b）的所有可能為：（1，1），（1，2），（1，3），（2，1），（2，2），（2，3），（3，2），（3，3），（4，3），共計9種，

所以其概率為P==．

（2）設“f（x）在R上是增函數”為事件B，對應區域為｛（a，b）a－1≤b｝，全部試驗結果構成的區域Ω=｛（a，b）0≤a≤4，0≤b≤3｝，如圖2：

圖2

所以S陰影=3×4－×1×1－×3×3． 又SΩ=3×4，所以P（B）==．

金刊提醒

求解古典概型由三步完成：第一步求解試驗所有基本事件數n；第二步求解隨機事件A包含的基本事件數m，該步同學們要認真審題，理順已知條件以及隱含條件，對復雜問題應采取分類討論的策略，各個擊破，但要不重不漏；第三步運用古典概型計算公式P（Ａ）＝. 同時，牢記互斥事件的加法法則“若事件A與B互斥，則P（Ａ＋Ｂ）=P（Ａ）＋Ｐ（Ｂ）”，對立事件的減法法則“P（）＝１－Ｐ（Ａ）”，以及獨立事件的乘法法則“若事件A與B相互獨立，則P（ＡＢ）＝Ｐ（A）P（B）”.

離散型隨機變量的分布列、期望與方差

（★★★★★）必做4 某高校的自主招生考試數學試卷共有8道選擇題，每個選擇題都給了4個選項（其中有且僅有一個是正確的）． 評分標準規定：每題只選1項，答對得5分，不答或答錯得0分． 某考生每道題都給出了答案，已確定有4道題的答案是正確的，而其余的題中，有兩道題每題都可判斷其中兩個選項是錯誤的，有一道題可以判斷其中一個選項是錯誤的，還有一道題因不理解題意只能亂猜． 對于這8道選擇題，試求：

（1）該考生得分為40分的概率；

（2）該考生所得分數ξ的分布列及數學期望Eξ．

精妙解法 （1）要得40分，8道選擇題必須全做對，在其余四道題中，有兩道題答對的概率為，有一道題答對的概率為，還有一道題答對的概率為，所以得40分的概率為P=×××=．

（2）依題意，該考生得分ξ的取值是20，25，30，35，40，得分為20表示只做對了四道題，其余各題都做錯，故所求概率為P（ξ=20）=×××=；同樣可求得得分為25分的概率為P（ξ=25）=C××××+×××+×××=；得分為30分的概率為P（ξ=30）=；得分為35分的概率為P（ξ=35）=；得分為40分的概率為P（ξ=40）=． 于是ξ的分布列為：

故Eξ=20×+25×+30×+35×+40×=，該考生所得分數的數學期望為．

（★★★★★）必做5 某研究小組在電腦上進行人工降雨模擬試驗，準備用A、B、C三種人工降雨方式分別對甲、乙、丙三地實施人工降雨，其試驗數據統計如下．

假定對甲、乙、丙三地實施的人工降雨彼此互不影響，請你根據人工降雨模擬試驗的統計數據，

（1）求甲、乙、丙三地都恰為中雨的概率；

（2）考慮到旱情和水土流失，如果甲地恰需中雨即達到理想狀態，乙地必須是大雨才達到理想狀態，丙地只需小雨或中雨即達到理想狀態，記“甲、乙、丙三地中達到理想狀態的個數”為隨機變量ξ，求隨機變量ξ的分布列和數學期望Eξ．

精妙解法 （1）記“甲、乙、丙三地都恰好為中雨”為事件M，根據人工降雨模擬試驗的統計數據，得到用A，B，C三種降雨方式為中雨的概率分別是，，． 因為甲、乙、丙三地實施的人工降雨彼此互不影響，所以甲、乙、丙三地都恰好為中雨的概率P（M）=××=．

（2）設甲、乙、丙三地降雨量達到理想狀態的概率分別是p1，p2，p3，則p1=，p2=，p3=+=． ξ的可能取值為0，1，2，3，P（ξ=0）=××=，P（ξ=1）=××+××+××=，P（ξ=2）=××+××+××=，P（ξ=3）=××=，

所以Eξ=×0+×1+×2+×3=．

極速突擊 解決此類題目的思路是“正確求解隨機變量ξ的取值列出ξ的分布列計算期望Eξ=xipi”．

金刊提醒

求離散型隨機變量的數學期望和方差，必須先求出其分布列，然后套用公式EX=xipi和DX=（xi－Eξ）2pi.

抽樣方法與總體分布的估計

（★★★★★）必做6 某校在2012年的自主招生考試成績中隨機抽取100名學生的筆試成績，被抽取學生的成績均不低于160分，且低于185分，圖3是按成績分組得到的頻率分布表的一部分（每一組均包括左端點數據而不包括右端點數據），且第3組、第4組、第5組的頻數之比依次為3∶2∶1．

（1）請完成頻率分布直方圖；

（2）為了能選拔出最優秀的學生，該高校決定在筆試成績較高的第3組、第4組、第5組中用分層抽樣的方法抽取6名學生進入第二輪面試，求第3、4、5組每組各抽取多少名學生進入第二輪面試；

（3）在（2）的前提下，學校決定在6名學生中隨機抽取2名學生由考官A面試，求第4組至少有一名學生被考官A面試的概率．

精妙解法 （1）由題意知第1、2組的頻數分別為：100×0.01×5=5，100×0.07×5=35． 故第3、4、5組的頻數之和為：100－5－35=60，從而可得其頻數依次為30，20，10，其頻率依次為0.3，0.2，0.1，其頻率分布直方圖如圖4．

（2）由第3、4、5組共60人，用分層抽樣抽取6人． 故第3、4、5組中應抽取的學生人數依次為：第3組：×6=3人；第4組：×6=2人；第5組：×6=1人．

（3）由（2）知共有6人（記為A1，A2，A3，B1，B2，C）被抽出，其中第4組有2人（記為B1，B2）． 有題意可知：抽取兩人作為一組共有（A1，A2），（A1，A3），（A1，B1），（A1，B2），（A1，C），（A2，A3），（A2，B1），（A2，B2），（A2，C），（A3，B1），（A3，B2），（A3，C），（B1，B2），（B1，C），（B2，C）共15種等可能的情況，而滿足題意的情況有（A1，B1），（A1，B2），（A2，B1），（A2，B2），（A3，B1），（A3，B2），（B1，B2），（B1，C），（B2，C）共9種，因此所求事件的概率為=．

（★★★★★）必做7 某市為“市中學生知識競賽”進行選拔性測試，且規定：成績大于或等于90分的有參賽資格，90分以下（不包括90分）的則被淘汰．若現有500人參加測試，學生成績的頻率分布直方圖如圖5．

圖5

（1）求獲得參賽資格的人數；

（2）根據頻率直方圖，估算這500名學生測試的平均成績；

（3）若知識競賽分初賽和復賽，在初賽中每人最多有5次選題答題的機會，累計答對3題或答錯3題即終止，答對3題者方可參加復賽，已知參賽者甲答對每一個問題的概率都相同，并且相互之間沒有影響，已知他連續兩次答錯的概率為，求甲在初賽中答題個數的分布列及數學期望．

精妙解法 （1）由頻率分布直方圖得，獲得參賽資格的人數為500×（0.0050+0.0043+0.0032）×20=125人．

（2）設500名學生的平均成績為，則=（×0.0065+×0.0140+×0.0170+×0.0050+×0.0043+×0.0032）×20=78.48分.

（3）設學生甲每道題答對的概率為P（A），則（1－P（A））2=，所以P（A）=． 學生甲答題個數X的可能值為3，4，5，則P（X=3）=+=，P（X=4）=C+C·=，P（X=5）=C=． 所以X服從分布列

Ｅ（Ｘ）=×3+×4+×5=．

金刊提醒

近幾年高考試卷往往有機地將統計與概率綜合考查，首先以統計圖表呈現數據，考查對莖葉圖、頻率分布表和頻率分布直方圖的認識，然后通過分層抽樣，并對抽樣的數據進行分析，考查各類分布列.

回歸分析與獨立性檢驗

（★★★★★）必做8 數學課程改革試驗中，某數學教師分別用A、B兩種不同的教學方式實驗甲、乙兩個高一新班（均為60人，入學數學平均分和優秀率都相同，勤奮程度和自覺性都一樣）． 現隨機抽取甲、乙兩班各20名學生的數學期末市統考成績，得莖葉圖（如圖6）：

甲班 乙班

2 9 0 1 5 6 8

6 6 3 2 1 8 0 1 2 5 6 6 8 9

8 3 2 2 1 7 3 6 8

9 8 7 7 6 6 5 7 9 9

9 9 8 8 5

圖6

（1）依莖葉圖判斷哪個班級的平均分高；

（2）學校規定：成績不低于85分為優秀，請填寫下面2×2列聯表，并判斷能否以97.5%的把握認為“成績優秀與教學方式有關”；

（3）現從乙班數學成績不低于85分的同學中隨機抽取2人，成績不低于90分的同學獎100元，否則獎50元，記X為這2人所得的獎金和，求X的分布列和數學期望．

參考公式：K2=，其中n=a+b+c+d

參考數據：

精妙解法 （1）甲班數學成績集中于60～90分之間，而乙班數學成績集中于80～100分之間，所以乙班的平均分高．

（2）

K2=≈5.584>5.024因此有97.5%的把握認為“成績優秀與教學方式有關”．

（3）依題意知X=100，150，200，P（X=100）==，P（X=150）==，P（X=200）==，所以X的分布列為

E（x）=100×+150×+200×=150．

（★★★★★）必做9 產品的廣告支出x（單位：萬元）與銷售收入y（單位：萬元）之間有對應的數據關系，如表8所示.

表8

（1）畫出表中數據的散點圖；

（2）求出y對x的回歸直線方程；

（3）若廣告費為9萬元，則銷售收入約為多少萬元？

精妙解法 （1）作出的散點圖如圖7所示.

圖7

（2）觀測散點圖可知各點大致分布在一條直線附近，列出下表：

表9

易得ｘ=，y=，所以===，=y－bｘ=－×=－2，故y對x的回歸直線方程為=x－2.

（3）當x=9時，=×9－2=129.4，故當廣告費為9萬元時，銷售收入約為129.4萬元.

金刊提醒

（1）如果散點圖中各點大致分布在一條直線附近，那么說明兩變量具有線性相關關系.當散點圖大致表現為線性相關時，求回歸直線方程才有意義；（2）若兩變量具有線性相關關系，則它必過點（ｘ，y）.