略談數學教學中課本題的改變

吳蓉

正值創新教學的不斷深入，教材中的例、習題正受命題者的青睞。為更顯“主體”和“主導”地位，宜突出一個變字，創造一個“新”字。現就轉換因果關系、轉換條件設問、轉換圖形結構來改變，以提高復習的高效性。

課本題；改變；高效性

課本是學生獲得知識的倉庫，也是命題者情有獨鐘的原創。以課本中的例題和習題為基礎進行巧變而命中考的數學題，是一種源于教材，高于教材嶄新的亮點。例如2009年重慶市的一題中考題，就是我們浙江省的九年級上冊P115頁的第6題而改變，無獨有偶，而溫州市的中考題也是對此題的拓展與延伸。既然是一種傾向，一種方向，且合情合理。我們何不快馬加鞭，在新課或復習中，對課本的例題和習題進行拓展，延伸以巧變。

基于多年對中考命題的探究，中考命題是在考查基礎知識和基本技能的同時，不僅注重學生的數學思想，探究能力，創新思維，可巧的是許多題目是對例題、習題的優化改造。為了便于表達，筆者以實例改變因果關系，改變條件設問，改變圖形結構，且以一變一賞析以共同探討。如何？

具體以浙教版八年級下課本目標與評定的第7題為例來談談如何進行課本題的巧變。

試題來源：

（浙教版八年級（下）課本目標與評定的第7題）如圖1，在□ABCD中，∠ADC的平分線交AB于點E，∠DEA=68啊?

(1)求證：AD=AE；

(2)求平行四邊形ABCD各內角的度數。

[賞析]原題的主要設計意圖是能運用平行四邊形的基本性質，由“角平分線+平行線+等腰三角形”這一基本模式解決問題，是一道基本的幾何題，目的是為了考查學生基本的計算和幾何推理能力。

改變方向：

轉換因果關系，由淺入深實現改變，培養學生的逆向思維能力，提高學生的遷移應用的能力，從而實現復習的高效率。

保留原題中的“在平行四邊形ABCD中”這個大框架不變，互換原題中的條件和結論。

[改變一]變式1：已知：如圖2，在□ABCD中，AD=AE，∠DEA=68啊?

(1)求證：DE平分∠ADC；

(2)求平行四邊形ABCD各內角的度數。（圖2）

變式2：已知：如圖2，在四邊形ABCD中，AD∥BC，∠ADC的平分線交AB于點E，AD=AE，∠DEA=68啊?

(1)求證：四邊形ABCD為平行四邊形；

(2)求四邊形ABCD各內角的度數。

[賞析]變式1是把角平分線和等腰三角形的知識互換，變式2是平行線和等腰三角形的知識互換。這樣的變化讓學生對命題和逆命題有進一步的理解，同時在研究問題的過程中，引導學生有意去做與常規思維相反的探索，培養學生的逆向思維能力，不僅對提高解題能力有益，更重要的是改善學生學習數學的思維方式，有助于形成良好的思維習慣，激發學生的創新開拓精神，培養良好的思維品質，提高學習效果和學習興趣。

轉換已知條件，設問角度來實現改變，促成對知識的全面理解與掌握，培養學生思維的多向性，實現復習的高效果。

[改變二]：保留原題中的“在平行四邊形ABCD中”這個大框架不變，增加適當的條件。

1.賦予相應線段的長度，讓學生進行相應問題的計算。

變式3：如圖3，在□ABCD中，∠ADC的平分線交AB于點E，且AE=5，BE=3。求□ABCD的周長。

變式4：如圖4，在□ABCD中，∠ADC的平分線交AB

點E，交CB的延長線于F。

（1）請找出圖中所有等腰三角形，并選擇一個進行證明；

（2）連結EC，若AD=3，DC=4，求∶的值。

[賞析]變式3和變式4雖然增加了相應的數據，但解決問題的切入口還是原題中的證明結論AD=AE。通過這樣的分析學生很快明白，要進行相應的計算，它們與原題的處理方式是一樣的，這樣即節省了時間，又提高了學生的解題能力。

2.增加平行四邊形另一個內角的角平分線，讓學生進行幾何推理和探究。

變式5：已知：如圖5，在□ABCD中，∠ADC的平分線交AB于點E，∠ABC的平分線交CD于點F。

（1）求證：四邊形BEDF是平行四邊形；

（2）若=，求AD：AB的值。

變式6：已知：如圖6，在平行四邊形ABCD中，∠ADC的平分線交AB于點E，交CB的延長線于G，∠ABC的平分線交CD于點F。求證：四邊形DGBF是等腰梯形。

變式7：已知：如圖7，在平行四邊形ABCD中，∠ADC的平分線交AB于點E，∠DAB的平分線交CD于點F。

(1)求證：DE⊥AF；

（2）連結EF，請說明四邊形AEFD是菱形。

變式8：已知：如圖8，在平行四邊形ABCD中，AB>AD，∠ADC的平分線交AB于點E，∠DCB的平分線交AB于點F。

(1)求證：AF=BE；

(2)若AD=3，AB=4，求EF的長；

(3)探究：當點E、F重合時，平行四邊形的相鄰兩邊AD于AB有怎樣的數量關系。

變式9：已知：如圖9，在平行四邊形ABCD中，AB>AD，DG、CG、AP、BP分別為∠ADC、∠BCD、∠DAB、∠ABC的平分線，且DG與A交于點M，CG交BP于點N。

①判斷四邊形MGNP的形狀；

②若平行四邊形ABCD的面積=S，求四邊形MGNP的面積。

[賞析]以上幾個變式中的兩條角平分線是一組對角或一組鄰

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角的平分線，學生能很容易利用平行線和角平分線的知識，得出這兩條角平分線的位置關系，這樣不管平行四邊形ABCD的邊長發生怎樣的變化，都能利用這個不變關系探究和解決問題。通過這樣的變化，學生對平行四邊形，角平分線和等腰三角形的相關知識能融會貫通，形成完整的知識框架和不錯的幾何推理能力。

通過結合直角坐標系來轉換圖形結構來實現改變，訓練啟迪學生思維的發散性及綜合運用知識的能力，實現復習的高效應。

[改變三]：變式10：如圖，在平面直角坐標系中，□OABC的一頂點O在坐標原點，邊OA在X軸上，BC//OA，且A點坐標為（8，0），C點坐標為（3，4），∠OCB的角平分線交X軸于E點。

（1）求CE所在直線的解析式；

（2）P是直線CE上一動點，若|PA-PO|=m，

①問是否存在一點P，使得m=0，若存在，求出P點的坐標，若不存在，請說明理由。

②請思考m有最大值嗎？若有，請求出m的最大值，并請寫出此時P點的坐標；若沒有，請說明理由。

（3）若OF為∠AOC的角平分線，交BC于點F，交CE于點M。P點以1個單位每秒的速度從C點出發沿著線段CE向E點運動，Q點以2個單位每秒的速度從O點出發沿著線段OF向F點運動。記運動時間為t，PQ長為y，則請求出y關于t的函數解析式（當其中一個點到達終點就停止運動）。

[賞析]能與直角坐標系的結合來實現圖形變換是研究幾何圖形性質的重要思想方法，讓學生了解并初步掌握它不僅是必要的而且是可能的，通過對課本習題的改變，學生對數學壓軸題的編制和解答有了初步的了解，減少了對中考壓軸題的恐懼心理，以后遇到這類問題時就會有一定的方法和思想。

教學中通過對例、習題的一題多問，一題多變，層層推進，以達“變則靈，靈則通。”學生的考分上去了，實效和素質就顯現了，且使學生題題頓生新鮮感。可謂“題不在難，有法則靈，量不在多，巧變則行。”只要我們不懈努力，探究巧變，就能變、變、變，變出水平變出鮮。

[1]黃道清.變式教學在初中數學課堂中的應用.數學教學與研究.2010.03

[2]葛鐵雷.問題變式有效運用于初中數學復習課.數學學習與研究.2010.06

[3]李林才.初中數學復習課中問題變式有效應用探討.中國科教創新導刊.2009.30